高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线课后练习题

3.2.2 双曲线的几何性质

分层作业

A层 基础达标练

1. 点到双曲线的一条渐近线的距离为(  )

A.  B.  C. 4 D. 3

2. 等轴双曲线的一个焦点是，则其标准方程为(  )

A.  B.  C.  D.

3. 已知双曲线，其虚轴长为2，则双曲线的离心率是(  )

A.  B.  C. 3 D.

4. 已知双曲线的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为(  )

A.  B.  C.  D.

5. 当变化时，对于双曲线，值不变的是(  )

A. 实轴长 B. 虚轴长 C. 焦距 D. 离心率

6. [2023泰州质检]在平面直角坐标系中，双曲线：的渐近线的倾斜角是渐近线的倾斜角的2倍，第二象限内一点在渐近线上，且与双曲线的右焦点、点构成底边长为的等腰三角形，则双曲线的标准方程为(  )

A.  B.  C.  D.

7. [2023常州期末]已知双曲线的焦点关于一条渐近线的对称点在轴上，则该双曲线的离心率为.

8. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上.

（1） 求双曲线的方程；

（2） 求证：；

（3） 求的面积.

B层 能力提升练

9. [2023启东期中]设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的(  )

A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

10. （多选题）已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是(  )

A. 的长轴长与 的实轴长相等 B. 的短轴长与 的虚轴长相等

C. 焦距相等 D. 离心率不相等

11. （多选题）已知对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，则(  )

A. 双曲线 的焦点到渐近线的距离为2

B. 双曲线 的虚轴长为2

C. 双曲线 的两条渐近线互相垂直

D. , 为双曲线 的两个焦点，过点 的直线与双曲线 的一支相交于 ， 两点，则 的周长为8

12. 已知双曲线，，为左、右顶点，为右焦点，为虚轴的上端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是(  )

A.  B.  C.  D.

13. 记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值.

14. 若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则.

15. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆，将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，，则该双曲线的焦距为.

图1

图2

16. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点， .

（1） 求双曲线的方程；

（2） 过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求的值.

C层 拓展探究练

17. 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可黏合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，高为，则喉部（最细处）的直径为(  )

A.  B.  C.  D.

18. （多选题）已知曲线，则(  )

A. 上的点 满足 ， B. 关于 轴、 轴对称

C. 与 轴、 轴共有3个公共点 D. 与直线 只有1个公共点

3.2.2 双曲线的几何性质

分层作业

A层 基础达标练

1. B

2. D

3. A

4. A

5. D

6. A

7.

8. （1） 解 因为，所以双曲线的实轴、虚轴相等.

可设双曲线方程为 .

因为双曲线过点，

所以 ，即，

所以双曲线方程为.

（2） 证明 不妨设，分别为左、右焦点，则，，所以.

因为点在双曲线上，所以，即，所以.

（3） 解的底边.

由（2）知，

所以的高，

所以.

B层 能力提升练

9. B

10. CD

11. AC

[解析]由题意可设双曲线的方程为，把点代入上式，得双曲线的方程为,所以双曲线的虚轴长为4；等轴双曲线的两条渐近线互相垂直；且渐近线方程为，焦点坐标分别为，，故焦点到渐近线的距离为2；由双曲线的定义可知的周长为，故错误.故选.

12. B

[解析]以，为直径的圆与线段有两个不同的交点，所以，，解得；

且圆心到直线的距离为，化简，得，所以，.又，解得，所以双曲线离心率的取值范围是,.故选.

13. 2（答案不唯一，满足即可）

14.

15.

16. （1） 解由题易知，可设.因为点在双曲线上且在轴上方，所以，得，所以.在中，，，所以.由双曲线的定义可知，，故双曲线的方程为.

（2） 易知两条渐近线方程分别为，.设双曲线上的点，两条渐近线的夹角为 ，则.

不妨设在上，在上，则点到两条渐近线的距离分别为，.因为在双曲线上，所以.

又，

所以，，

所以，.

C层 拓展探究练

17. D

[解析]该塔筒的轴截面如图所示，以为喉部对应点，设与分别为上、下底面对应点，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在轴为轴建立如图所示的坐标系.

由题意可知，，设，则.

设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以.方程可化简为，

将点，的坐标代入（*）式，可得解得，

则喉部的直径.故选.

18. ACD

[解析]当时,表示椭圆在轴及轴上方的部分；当时,表示双曲线在轴下方的部分.作出图象如图.

双曲线的一条渐近线为直线，故选项正确，选项错误.故选.