高中湘教版（2019）3.2 双曲线练习题

3.2.2　双曲线的简单几何性质

A级必备知识基础练

1.双曲线=1的左顶点与右焦点间的距离为(　　)

A.2 B.4 C.5 D.8

2.(2022天津一中高二期中)离心率为2的双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程是(　　)

A.x±y=0 B.x±y=0 

C.x±y=0 D.x±y=0

3.已知双曲线C的离心率为e=,虚轴长为2,则其标准方程为(　　)

A.=1

B.=1或=1

C.=1或=1

D.=1或=1

4.双曲线C:=1(m>0)的一条渐近线的方程为2x+y=0,则双曲线C的离心率为 (　　)

A. B.2 C.4 D.

5.已知双曲线的方程为x2-=1,则下列叙述正确的是(　　)

A.焦点坐标为(±1,0) 

B.渐近线方程为y=±x

C.离心率为 

D.实轴长为2

6.(多选题)(2022山西大同一中高二月考)若双曲线C的一个焦点为F(5,0),P是双曲线上一点,且双曲线的渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是(　　)

A.C的标准方程为=1

B.C的离心率为

C.焦点到渐近线的距离为3

D.|PF|的最小值为2

7.已知点(3,0)是双曲线x2-=1(b>0)的一个焦点,则b=　　　　　,顶点到渐近线的距离为　　　　　. 

8.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点之间的距离为,求此双曲线的标准方程.

B级关键能力提升练

9.(2022北京陈经纶中学高二期中)已知双曲线的一条渐近线为直线x-y=0,且一个焦点坐标是(-2,0),则双曲线的标准方程是(　　)

A.y2-=1 B.-y2=1

C.x2-=1 D.-x2=1

10.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m等于(　　)

A.- B.-4 

C.4 D.

11.(多选题)已知双曲线=1(m>0),则下列说法正确的是(　　)

A.离心率的最小值为4

B.当m=2时,离心率最小

C.离心率最小时,双曲线的标准方程为=1

D.离心率最小时,双曲线的渐近线方程为x±y=0

12.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过左焦点F1作垂直于x轴的直线交双曲线的两条渐近线于M,N两点,若∠MF2N是钝角,则双曲线离心率的取值范围是(　　)

A.(2,+∞) 

B.(,+∞) 

C.(1,2) 

D.(1,)

13.已知双曲线C:-y2=1,P为C上的任意点,设点A的坐标为(3,0),则|PA|的最小值是　　　　　. 

14.焦距为2c的双曲线C:=1(a>0,b>0),如果满足“2b=a+c”,则称此双曲线为“等差双曲线”.

(1)若双曲线C是“等差双曲线”,求其渐近线的方程;

(2)对于焦距为10的“等差双曲线”,若过点M(0,2)的直线l与其仅有一个公共点,求直线l的方程.

C级学科素养创新练

15.(2022安徽宿州高二期中)已知F1,F2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线C上的点A满足|AF1|=2|AF2|,且AF1的中点在y轴上,则双曲线C的离心率为(　　)

A. B. C.2 D.+1

参考答案

3.2.2　双曲线的简单几何性质

1.D　由=1,知a=3,c=5,所以左顶点与右焦点间的距离为a+c=8.

故选D.

2.D　由题意,双曲线=1的离心率为e==2,则a∶b∶c=1∶∶2,即,

所以双曲线=1的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.故选D.

3.D　由题意可得2b=2,所以b=.

又因为e=,所以可得a2=9,焦点可能在x轴,也可能在y轴上,故选D.

4.D　根据题意,双曲线C:=1(m>0)的一条渐近线的方程为2x+y=0,

则有=2,即m=8,则双曲线的方程为=1,其中a=,b=2,则c=,则双曲线的离心率为e=.故选D.

5.B　由已知得a=1,b=,c=,所以实轴长为2a=2,焦点坐标为(±,0),离心率为e=,故A,C,D不正确;

双曲线的渐近线方程为y=±x,故B正确.故选B.

6.AD　由于双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),

所以渐近线的方程为y=±x,即bx±ay=0,由题意,即b=a,

再由c2=a2+b2=a2+a2=25,可得a2=9,b2=16,

所以双曲线的标准方程为=1,故A正确;

离心率e=,故B不正确;

焦点F到渐近线的距离d==b=4,故C不正确;

|PF|的最小值为c-a=5-3=2,故D正确.

故选AD.

7.2　因为点(3,0)是双曲线x2-=1(b>0)的一个焦点,所以a=1,c=3,所以b=2,于是双曲线的渐近线方程为y=±2x,顶点为(±1,0),所以顶点到渐近线的距离为d=.

8.解∵e=,∴,∴,

∴a2=3b2. ①

又直线AB的方程为bx-ay-ab=0,

∴直线AB与原点之间的距离d=,

即4a2b2=3(a2+b2). ②

解①②组成的方程组,得a2=3,b2=1.

∴双曲线的标准方程为-y2=1.

9.B　由题意可得焦点在x轴上,故可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),

所以可得双曲线的渐近线方程为y=±x,

由题意可得解得所以双曲线的标准方程为-y2=1.

10.A　双曲线方程化为标准形式y2-=1,则有a2=1,b2=-,由题设条件知,2=,得m=-.

11.BCD　由双曲线的方程可得a2=m,b2=m2-m+4,所以c2=a2+b2=m+m2-m+4=m2+4,所以双曲线的离心率e==2,

当且仅当m=且m>0,即m=2时,等号成立,

故A不正确,B正确;

离心率最小时m=2,这时双曲线的标准方程为=1,渐近线方程为x±y=0,故C,D正确.

故选BCD.

12.B　如图所示.∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F2,

过其左焦点F1作x轴的垂线交双曲线渐近线于M,N两点,

∴|MF1|=|NF1|=,|F1F2|=2c.

∵∠MF2N是钝角,∴∠MF2F1>45°,

∴|F1F2|<|MF1|,即2c<,∴2ac<bc,

整理得4a2<b2,由e2=1+>5,

解得e>或e<-(舍去),故选B.

13.　设点P的坐标为(x,y),则|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+-1=x-2+,根据双曲线的范围知|x|≥2,

∴当x=时,|PA|2取最小值为,即|PA|的最小值为.

14.解(1)联立得3b=4a,所以渐近线方程为y=±x.

(2)根据题意可知2c=10,所以c=5,由(1)得3b=4a,所以a=3,b=4,故双曲线的标准方程为=1.

又因为过点M(0,2)的直线l与双曲线仅有一个公共点,所以直线l平行于该双曲线的渐近线,即直线l的斜率k=±,故所求直线l的方程为y=x+2或y=-x+2.

15.B　设F1(-c,0),F2(c,0),由双曲线C上的点A满足|AF1|=2|AF2|,AF1的中点D在y轴上,可得|DF2|=|DF1|=|AD|=|AF2|,所以AF2⊥F1F2,即AF2⊥x轴,A的横坐标为c.

令x=c,可得y=±.

在直角三角形AF1F2中,∠F1AF2=60°,可得tan∠F1AF2=,即,即e2-2e-=0,解得e=或e=-(舍去).

故选B.