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高中苏教版 (2019)3.2 双曲线第1课时教案
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这是一份高中苏教版 (2019)3.2 双曲线第1课时教案，共13页。教案主要包含了双曲线的定义，双曲线的标准方程，双曲线在生活中的应用等内容，欢迎下载使用。
第1课时 双曲线的标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题．
导语
前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见．如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容．
一、双曲线的定义
问题1 如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆．我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果F1F2＜AB，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果F1F2＞AB，两圆不相交，不存在交点轨迹．
如图，在F1F2＞AB的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？
提示 如题图，曲线上的点满足条件：MF1－MF2＝常数．
知识梳理
双曲线定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
注意点：
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝F1F2时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
例1 已知A(0，－5)，B(0,5)，PA－PB＝2a，当a＝3，a＝5时，P点的轨迹分别为( )
A．双曲线，一条直线
B．双曲线，两条直线
C．双曲线一支，一条直线
D．双曲线一支，一条射线
答案 D
解析 当a＝3时，2a＝6，此时AB＝10，
∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)．
当a＝5时，2a＝10，此时AB＝10，
∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线．
反思感悟 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件．
跟踪训练1 已知F1(－6,0)，F2(6,0)，动点P满足PF1－PF2＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
答案 B
解析 F1，F2是定点，且F1F2＝12，所以满足条件PF1－PF2＝10的点P的轨迹应为双曲线的一支．
二、双曲线的标准方程
问题2 类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
提示 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上任意一点，则
|PF1－PF2|＝2a(a为大于0的常数)，
因为PF1＝eq \r(x＋c2＋y2)，PF2＝eq \r(x－c2＋y2)，
所以eq \r(x＋c2＋y2)－eq \r(x－c2＋y2)＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,c2－a2)＝1.
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
问题3 设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足PF1－PF2＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
提示 eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
知识梳理
双曲线的标准方程
注意点：
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(2)a与b没有大小关系．
(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)焦距为2eq \r(6)，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6)．
解 (1)因为焦点在x轴上，且c＝eq \r(6)，
所以设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,6－a2)＝1,0又因为过点(－5,2)，所以eq \f(25,a2)－eq \f(4,6－a2)＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍去)．
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,5)－y2＝1.
(2)方法一 由已知得c＝6，且焦点在y轴上．
因为点A(－5,6)在双曲线上，
所以2a＝eq \r(－5－02＋6＋62)－eq \r(－5－02＋6－62)＝13－5＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是eq \f(y2,16)－eq \f(x2,20)＝1.
方法二 因为焦点在y轴上，所以双曲线方程可以设为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1.
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝36，,\f(36,a2)－\f(25,b2)＝1，))
解得a2＝16，b2＝20.
所以所求的双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,20)＝1.
反思感悟 求双曲线的标准方程
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．
(2)当mn<0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线．
跟踪训练2 焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2eq \r(6)，2eq \r(2))的双曲线的标准方程为 ．
答案 eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1
解析 设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2eq \r(6)，2eq \r(2))代入方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(16,a2)－\f(4,b2)＝1，①,\f(24,a2)－\f(8,b2)＝1，②))
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1.
三、双曲线在生活中的应用
例3 神舟“九号飞船”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方向角．
解 如图所示，
以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，
则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2eq \r(3))．
∵PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－eq \r(3)，线段BC的中点D(－4，eq \r(3))，
∴直线PD的方程为y－eq \r(3)＝eq \f(1,\r(3))(x＋4)，①
又PB－PA＝4＜6＝AB，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
∴双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥3)，②
联立①②，得P点坐标为(8,5eq \r(3))，
∴kPA＝eq \f(5\r(3),8－3)＝eq \r(3)，因此P在A的北偏东30°上．
反思感悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
跟踪训练3 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是 ；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是 km.
答案 x2－eq \f(y2,3)＝1(x>0) 2eq \r(7)－2
解析 如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．
则DA－DB＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支．
故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故轨迹方程为x2－eq \f(y2,3)＝1(x>0)．
根据题意知C(3，eq \r(3))，MB＋MC＝MA＋MC－2≥AC－2＝2eq \r(7)－2.
当A，M，C共线时等号成立．
1．知识清单：
(1)双曲线定义的应用．
(2)双曲线方程的求法．
(3)双曲线在实际生活中的应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错．
1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 当方程表示双曲线时，一定有ab<0，反之，当ab<0时，若c＝0，则方程不表示双曲线．
2．若椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,a2)＝1与双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,2)＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A.eq \f(1,2) B．1或－2
C．1或eq \f(1,2) D．1
答案 D
解析 由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，解得a＝1.
3．若方程eq \f(x2,m－1)＋eq \f(y2,m2－4)＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2,2)
答案 C
解析 由题意，方程可化为eq \f(y2,m2－4)－eq \f(x2,1－m)＝3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－4>0，,1－m>0，))解得m＜－2.
4．相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是( )
A．双曲线的一支 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
答案 B
解析 由已知可得|PA－PB|＝2k<4k＝AB，
根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，
则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线．
课时对点练
1．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,16)＝1(a>0)的一个焦点为(5,0)，则a的值为( )
A．9 B．6 C．5 D．3
答案 D
解析 根据题意，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,16)＝1(a>0)的一个焦点为(5,0)，即c＝5，
则有a2＋16＝25，解得a＝3.
2．双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(y2,20)－eq \f(x2,16)＝1 D.eq \f(y2,20)－eq \f(x2,4)＝1
答案 B
解析 2a＝|eq \r(－5＋62＋22)－eq \r(－5－62＋22)|＝4eq \r(5)，
所以a＝2eq \r(5)，
又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,16)＝1.
3．设F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,24)＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于( )
A．4eq \r(2) B．8eq \r(3) C．24 D．48
答案 C
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(PF1－PF2＝2，,3PF1＝4PF2，))解得PF1＝8，PF2＝6.
在△PF1F2中，PF1＝8，PF2＝6，F1F2＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴＝eq \f(1,2)PF1·PF2＝24.
4．已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A．3或7 B．6或14
C．3 D．7
答案 A
解析 设F2是双曲线的右焦点，
连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，
∴ON＝eq \f(1,2)PF2，
∵|PF1－PF2|＝4，PF1＝10，∴PF2＝14或6，
∴ON＝eq \f(1,2)PF2＝7或3.
5．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长AB＝m，则△ABF2的周长为( )
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
答案 C
解析 由双曲线的定义，知AF2－AF1＝2a，BF2－BF1＝2a，
所以AF2＋BF2＝(AF1＋BF1)＋4a＝m＋4a，
所以△ABF2的周长l＝AF2＋BF2＋AB＝4a＋2m.
6．(多选)双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．17 B．7 C．22 D．2
答案 CD
解析 设双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，
则a＝5，b＝3，c＝eq \r(34)，
设P为双曲线上一点，不妨令PF1＝12(12>a＋c＝5＋eq \r(34))，
∴点P可能在左支，也可能在右支，
由|PF1－PF2|＝2a＝10，得|12－PF2|＝10，
∴PF2＝22或2.
∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
7．若双曲线以椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为 .
答案 eq \f(x2,7)－eq \f(y2,9)＝1
解析 椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点在x轴上，且a＝4，b＝3，c＝eq \r(7)，所以焦点为(±eq \r(7)，0)，左、右顶点为(±4,0)．于是双曲线经过点(±eq \r(7)，0)，焦点为(±4,0)，则a′＝eq \r(7)，c′＝4，所以b′2＝9，所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,7)－eq \f(y2,9)＝1.
8．已知方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
答案 (－1,3)
解析 eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，
则(m2＋n)(3m2－n)>0，
所以－m2由双曲线性质知，c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，
其中c是半焦距，所以焦距2c＝2·2|m|＝4，
解得|m|＝1，所以－19．已知双曲线中，a＝4，经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(4\r(10),3)))，求该双曲线的标准方程．
解 当焦点在x轴上时，
设所求标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，
把点A的坐标代入，得b2＝－eq \f(16,15)×eq \f(160,9)<0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，
设所求标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,b2)＝1(b>0)，
把点A的坐标代入，得b2＝9.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.
10.2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，若PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．
解 矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，
第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近，
依题意知，界线是第三类点的轨迹，
设M为界线上的任一点，则PA＋MA＝PB＋MB，MA－MB＝PB－PA＝50，
∴界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分，
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
设所求双曲线方程的标准形式为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
∵a＝25，
2c＝AB＝eq \r(1002＋1502－2×100×150×cs 60°)
＝50eq \r(7)，
∴c＝25eq \r(7)，b2＝c2－a2＝3 750，
故双曲线的标准方程为eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3 750)＝1，
注意到点C的坐标为(25eq \r(7)，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，
故界线的曲线方程为eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3 750)＝1(25≤x≤35，y≥0)．
11．双曲线eq \f(x2,m2＋12)－eq \f(y2,4－m2)＝1的焦距是( )
A．16 B．4 C．8 D．2eq \r(2m2－8)
答案 C
解析 由题意可得双曲线中a2＝m2＋12，b2＝4－m2，
则c2＝a2＋b2＝16，焦距为2c＝2×eq \r(16)＝8.
12．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0)和椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，则eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．9
答案 D
解析 椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1是焦点在x轴上的椭圆，且c2＝5－4＝1.
因为双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0)和椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，
所以m＋n＝1(m>0，n>0)，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(4,n)))(m＋n)＝5＋eq \f(n,m)＋eq \f(4m,n)≥5＋2eq \r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝9.
当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(4m,n)，即m＝eq \f(1,3)，n＝eq \f(2,3)时取等号．
所以eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)的最小值为9.
13．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．双曲线的一支 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案 A
解析 设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得
MO1＝r＋1，MO2＝r＋2.
∴MO2－MO1＝1，
又O1O2＝4，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．
14．已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么PF2＋QF2－PQ的值为 ．
答案 16
解析 在双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1中，2a＝8，
由双曲线定义，得PF2－PF1＝8，QF2－QF1＝8，
所以PF2＋QF2－PQ＝(PF2－PF1)＋(QF2－QF1)＝16.
15．已知P为双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若＝＋8，则△MF1F2的面积为( )
A．2eq \r(7) B．10 C．8 D．6
答案 B
解析 设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.
因为＝＋8，
所以eq \f(1,2)(PF1－PF2)R＝8，即aR＝8，
所以R＝2，
所以＝eq \f(1,2)·2c·R＝10.
16.已知△OFQ的面积为2eq \r(6)，且eq \(OF,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))＝m，其中O为坐标原点．设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，|eq \(OF,\s\up6(→))|＝c，m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)－1))c2，当|eq \(OQ,\s\up6(→))|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
解 设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
Q(x1，y1)，则eq \(FQ,\s\up6(→))＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝eq \f(1,2)|eq \(OF,\s\up6(→))|·|y1|＝2eq \r(6)，
则y1＝±eq \f(4\r(6),c).
又eq \(OF,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))＝m，
即(c,0)·(x1－c，y1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)－1))c2，
解得x1＝eq \f(\r(6),4)c，
所以|eq \(OQ,\s\up6(→))|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))＝eq \r(\f(3,8)c2＋\f(96,c2))≥eq \r(12)＝2eq \r(3)，
当且仅当c＝4时取等号，|eq \(OQ,\s\up6(→))|最小，
这时Q的坐标为(eq \r(6)，eq \r(6))或(eq \r(6)，－eq \r(6))．
因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(6,a2)－\f(6,b2)＝1，,a2＋b2＝16，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝12，))
于是所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝c2－a2
第1课时 双曲线的标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题．
导语
前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见．如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容．
一、双曲线的定义
问题1 如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆．我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果F1F2＜AB，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果F1F2＞AB，两圆不相交，不存在交点轨迹．
如图，在F1F2＞AB的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？
提示 如题图，曲线上的点满足条件：MF1－MF2＝常数．
知识梳理
双曲线定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
注意点：
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝F1F2时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
例1 已知A(0，－5)，B(0,5)，PA－PB＝2a，当a＝3，a＝5时，P点的轨迹分别为( )
A．双曲线，一条直线
B．双曲线，两条直线
C．双曲线一支，一条直线
D．双曲线一支，一条射线
答案 D
解析 当a＝3时，2a＝6，此时AB＝10，
∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)．
当a＝5时，2a＝10，此时AB＝10，
∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线．
反思感悟 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件．
跟踪训练1 已知F1(－6,0)，F2(6,0)，动点P满足PF1－PF2＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
答案 B
解析 F1，F2是定点，且F1F2＝12，所以满足条件PF1－PF2＝10的点P的轨迹应为双曲线的一支．
二、双曲线的标准方程
问题2 类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
提示 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上任意一点，则
|PF1－PF2|＝2a(a为大于0的常数)，
因为PF1＝eq \r(x＋c2＋y2)，PF2＝eq \r(x－c2＋y2)，
所以eq \r(x＋c2＋y2)－eq \r(x－c2＋y2)＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,c2－a2)＝1.
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
问题3 设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足PF1－PF2＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
提示 eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
知识梳理
双曲线的标准方程
注意点：
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(2)a与b没有大小关系．
(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)焦距为2eq \r(6)，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6)．
解 (1)因为焦点在x轴上，且c＝eq \r(6)，
所以设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,6－a2)＝1,0
解得a2＝5或a2＝30(舍去)．
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,5)－y2＝1.
(2)方法一 由已知得c＝6，且焦点在y轴上．
因为点A(－5,6)在双曲线上，
所以2a＝eq \r(－5－02＋6＋62)－eq \r(－5－02＋6－62)＝13－5＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是eq \f(y2,16)－eq \f(x2,20)＝1.
方法二 因为焦点在y轴上，所以双曲线方程可以设为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1.
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝36，,\f(36,a2)－\f(25,b2)＝1，))
解得a2＝16，b2＝20.
所以所求的双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,20)＝1.
反思感悟 求双曲线的标准方程
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．
(2)当mn<0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线．
跟踪训练2 焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2eq \r(6)，2eq \r(2))的双曲线的标准方程为 ．
答案 eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1
解析 设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2eq \r(6)，2eq \r(2))代入方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(16,a2)－\f(4,b2)＝1，①,\f(24,a2)－\f(8,b2)＝1，②))
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1.
三、双曲线在生活中的应用
例3 神舟“九号飞船”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方向角．
解 如图所示，
以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，
则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2eq \r(3))．
∵PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－eq \r(3)，线段BC的中点D(－4，eq \r(3))，
∴直线PD的方程为y－eq \r(3)＝eq \f(1,\r(3))(x＋4)，①
又PB－PA＝4＜6＝AB，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
∴双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥3)，②
联立①②，得P点坐标为(8,5eq \r(3))，
∴kPA＝eq \f(5\r(3),8－3)＝eq \r(3)，因此P在A的北偏东30°上．
反思感悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
跟踪训练3 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是 ；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是 km.
答案 x2－eq \f(y2,3)＝1(x>0) 2eq \r(7)－2
解析 如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．
则DA－DB＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支．
故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故轨迹方程为x2－eq \f(y2,3)＝1(x>0)．
根据题意知C(3，eq \r(3))，MB＋MC＝MA＋MC－2≥AC－2＝2eq \r(7)－2.
当A，M，C共线时等号成立．
1．知识清单：
(1)双曲线定义的应用．
(2)双曲线方程的求法．
(3)双曲线在实际生活中的应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错．
1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 当方程表示双曲线时，一定有ab<0，反之，当ab<0时，若c＝0，则方程不表示双曲线．
2．若椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,a2)＝1与双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,2)＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A.eq \f(1,2) B．1或－2
C．1或eq \f(1,2) D．1
答案 D
解析 由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，解得a＝1.
3．若方程eq \f(x2,m－1)＋eq \f(y2,m2－4)＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2,2)
答案 C
解析 由题意，方程可化为eq \f(y2,m2－4)－eq \f(x2,1－m)＝3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－4>0，,1－m>0，))解得m＜－2.
4．相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是( )
A．双曲线的一支 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
答案 B
解析 由已知可得|PA－PB|＝2k<4k＝AB，
根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，
则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线．
课时对点练
1．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,16)＝1(a>0)的一个焦点为(5,0)，则a的值为( )
A．9 B．6 C．5 D．3
答案 D
解析 根据题意，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,16)＝1(a>0)的一个焦点为(5,0)，即c＝5，
则有a2＋16＝25，解得a＝3.
2．双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(y2,20)－eq \f(x2,16)＝1 D.eq \f(y2,20)－eq \f(x2,4)＝1
答案 B
解析 2a＝|eq \r(－5＋62＋22)－eq \r(－5－62＋22)|＝4eq \r(5)，
所以a＝2eq \r(5)，
又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,16)＝1.
3．设F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,24)＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于( )
A．4eq \r(2) B．8eq \r(3) C．24 D．48
答案 C
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(PF1－PF2＝2，,3PF1＝4PF2，))解得PF1＝8，PF2＝6.
在△PF1F2中，PF1＝8，PF2＝6，F1F2＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴＝eq \f(1,2)PF1·PF2＝24.
4．已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A．3或7 B．6或14
C．3 D．7
答案 A
解析 设F2是双曲线的右焦点，
连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，
∴ON＝eq \f(1,2)PF2，
∵|PF1－PF2|＝4，PF1＝10，∴PF2＝14或6，
∴ON＝eq \f(1,2)PF2＝7或3.
5．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长AB＝m，则△ABF2的周长为( )
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
答案 C
解析 由双曲线的定义，知AF2－AF1＝2a，BF2－BF1＝2a，
所以AF2＋BF2＝(AF1＋BF1)＋4a＝m＋4a，
所以△ABF2的周长l＝AF2＋BF2＋AB＝4a＋2m.
6．(多选)双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．17 B．7 C．22 D．2
答案 CD
解析 设双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，
则a＝5，b＝3，c＝eq \r(34)，
设P为双曲线上一点，不妨令PF1＝12(12>a＋c＝5＋eq \r(34))，
∴点P可能在左支，也可能在右支，
由|PF1－PF2|＝2a＝10，得|12－PF2|＝10，
∴PF2＝22或2.
∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
7．若双曲线以椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为 .
答案 eq \f(x2,7)－eq \f(y2,9)＝1
解析 椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点在x轴上，且a＝4，b＝3，c＝eq \r(7)，所以焦点为(±eq \r(7)，0)，左、右顶点为(±4,0)．于是双曲线经过点(±eq \r(7)，0)，焦点为(±4,0)，则a′＝eq \r(7)，c′＝4，所以b′2＝9，所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,7)－eq \f(y2,9)＝1.
8．已知方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
答案 (－1,3)
解析 eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，
则(m2＋n)(3m2－n)>0，
所以－m2
其中c是半焦距，所以焦距2c＝2·2|m|＝4，
解得|m|＝1，所以－1
解 当焦点在x轴上时，
设所求标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，
把点A的坐标代入，得b2＝－eq \f(16,15)×eq \f(160,9)<0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，
设所求标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,b2)＝1(b>0)，
把点A的坐标代入，得b2＝9.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.
10.2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，若PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．
解 矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，
第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近，
依题意知，界线是第三类点的轨迹，
设M为界线上的任一点，则PA＋MA＝PB＋MB，MA－MB＝PB－PA＝50，
∴界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分，
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
设所求双曲线方程的标准形式为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
∵a＝25，
2c＝AB＝eq \r(1002＋1502－2×100×150×cs 60°)
＝50eq \r(7)，
∴c＝25eq \r(7)，b2＝c2－a2＝3 750，
故双曲线的标准方程为eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3 750)＝1，
注意到点C的坐标为(25eq \r(7)，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，
故界线的曲线方程为eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3 750)＝1(25≤x≤35，y≥0)．
11．双曲线eq \f(x2,m2＋12)－eq \f(y2,4－m2)＝1的焦距是( )
A．16 B．4 C．8 D．2eq \r(2m2－8)
答案 C
解析 由题意可得双曲线中a2＝m2＋12，b2＝4－m2，
则c2＝a2＋b2＝16，焦距为2c＝2×eq \r(16)＝8.
12．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0)和椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，则eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．9
答案 D
解析 椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1是焦点在x轴上的椭圆，且c2＝5－4＝1.
因为双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0)和椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，
所以m＋n＝1(m>0，n>0)，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(4,n)))(m＋n)＝5＋eq \f(n,m)＋eq \f(4m,n)≥5＋2eq \r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝9.
当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(4m,n)，即m＝eq \f(1,3)，n＝eq \f(2,3)时取等号．
所以eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)的最小值为9.
13．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．双曲线的一支 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案 A
解析 设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得
MO1＝r＋1，MO2＝r＋2.
∴MO2－MO1＝1，
又O1O2＝4，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．
14．已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么PF2＋QF2－PQ的值为 ．
答案 16
解析 在双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1中，2a＝8，
由双曲线定义，得PF2－PF1＝8，QF2－QF1＝8，
所以PF2＋QF2－PQ＝(PF2－PF1)＋(QF2－QF1)＝16.
15．已知P为双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若＝＋8，则△MF1F2的面积为( )
A．2eq \r(7) B．10 C．8 D．6
答案 B
解析 设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.
因为＝＋8，
所以eq \f(1,2)(PF1－PF2)R＝8，即aR＝8，
所以R＝2，
所以＝eq \f(1,2)·2c·R＝10.
16.已知△OFQ的面积为2eq \r(6)，且eq \(OF,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))＝m，其中O为坐标原点．设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，|eq \(OF,\s\up6(→))|＝c，m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)－1))c2，当|eq \(OQ,\s\up6(→))|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
解 设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
Q(x1，y1)，则eq \(FQ,\s\up6(→))＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝eq \f(1,2)|eq \(OF,\s\up6(→))|·|y1|＝2eq \r(6)，
则y1＝±eq \f(4\r(6),c).
又eq \(OF,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))＝m，
即(c,0)·(x1－c，y1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)－1))c2，
解得x1＝eq \f(\r(6),4)c，
所以|eq \(OQ,\s\up6(→))|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))＝eq \r(\f(3,8)c2＋\f(96,c2))≥eq \r(12)＝2eq \r(3)，
当且仅当c＝4时取等号，|eq \(OQ,\s\up6(→))|最小，
这时Q的坐标为(eq \r(6)，eq \r(6))或(eq \r(6)，－eq \r(6))．
因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(6,a2)－\f(6,b2)＝1，,a2＋b2＝16，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝12，))
于是所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝c2－a2
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