苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线同步测试题

3.2双曲线 苏教版（  2019）高中数学选择性必修第一册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与直线交于，两点，若，则该双曲线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论中正确的个数为(    )

双曲线的实轴长为

双曲线的离心率为

曲线经过双曲线的一个焦点

直线与双曲线有两个公共点．

A.  B.  C.  D.

3. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 设，分别为双曲线的左、右焦点若为右支上的一点，且为线段的中点，，，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于点，与双曲线的渐近线在第一象限交于点，若，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，，是上右支上的两点，且直线经过点若，以为直径的圆经过点，则的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，实轴的两个端点分别为、，虚轴的两个端点分别为、以坐标原点为圆心，为直径的圆与双曲线交于点位于第二象限，若过点作圆的切线恰过左焦点，则双曲线的离心率是  (    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点若，且的最小内角为，则(    )

A. 双曲线的离心率为
B. 双曲线的渐近线方程为
C.
D. 直线与双曲线有两个公共点

10. 已知双曲线经过点，并且它的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则下列结论正确的是(    )

A. 的离心率为
B. 的渐近线为
C. 的方程为
D. 直线与有两个公共点

11. 已知双曲线：过点，则下列结论正确的是(    )

A. 的焦距为
B. 的离心率为
C. 的渐近线方程为
D. 直线与有两个公共点

12. 已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是(    )

A. 的方程为
B. 的离心率为
C. 曲线经过的一个焦点
D. 直线与有两个公共点

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知双曲线：的左焦点为，过且与的一条渐近线垂直的直线与的右支交于点，若为的中点，且为坐标原点，则的离心率为________．
14. 已知、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，，则此双曲线离心率的取值范围为             ．
15. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，离心率为，点是双曲线上一点，连接，过点作与双曲线交于点，且，则___．
16. 若直线：过双曲线：的左焦点，且与双曲线只有一个公共点，则双曲线的方程为___________．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

双曲线的离心率为，经过的焦点垂直于轴的直线被所截得的弦长为．

求的方程

设，是上两点，线段的中点为，求直线的方程．

18. 本小题分

已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点

求双曲线的方程，并写出其离心率与渐近线方程；

已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求实数的值．

19. 本小题分
    已知双曲线的中心在原点，、为左、右焦点，焦距是实轴长的倍，双曲线过点．
    
    求双曲线的标准方程；
    若点在双曲线上，求证：点在以为直径的圆上；
    在的条件下，若直线交双曲线于另一点，求的面积．
20. 本小题分
    已知双曲线的中心在原点，、为左、右焦点，焦距是实轴长的倍，双曲线过点．
    求双曲线的标准方程；
    若点在双曲线上，求证：点在以为直径的圆上；
    在的条件下，若直线交双曲线于另一点，求的面积．

21. 本小题分

已知双曲线的右焦点为．

求双曲线的方程

求双曲线的渐近线与直线围成的三角形的面积．

22. 本小题分

已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，且双曲线过点．

求双曲线的方程；

若直线：与双曲线交于，两点，线段中点的横坐标为，求线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了双曲线方程及其几何性质、直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
设出双曲线方程，，与直线联立求出交点坐标，利用两点间距离公式建立方程求出，即可得到答案．

【解答】

解：因为焦点在轴上，
所以设等轴双曲线的方程为，  其中，
与直线联立，
解得：，
因为，
所以，
解得，
故双曲线方程为．
故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

根据题意设双曲线的方程为 ，将代入双曲线的方程得 ，所以双曲线的方程为 双曲线的实轴长为，所以中结论正确双曲线的离心率为，所以中结论正确令，得，所以曲线经过双曲线的右焦点，所以中结论正确联立得消去得，所以，故直线与双曲线只有一个公共点，所以中结论错误故选C．

3.【答案】 

【解析】略
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及中点的横坐标可得、的一个方程，又双曲线中有，则另得、的一个方程，最后解、的方程组即得双曲线方程．
本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．

【解答】

解：设双曲线方程为．
将代入，整理得．
由韦达定理得，则．
又，解得，，
所以双曲线的方程是．
故选D．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理、结合离心率公式，解方程可得所求值．
【解答】
解：由题意可得，
由双曲线定义可得 ，
则，，
在中，，又，
，整理可得，即，
解得或舍去．
故选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的定义和性质，属于中档题．
先结合题设条件画出图像，抽象出双曲线中的基本量以及渐近线方程，在直角三角形中求得的值，在由双曲线的定义得，从而可求的周长．

【解答】

解：如图示双曲线方程为，

，，，
又，是线段中点，
三角形为直角三角形且，
又双曲线的渐近线方程为，
，，
是等边三角形且，
在中，
，
．
，
．
故的周长为：
，
故选C．

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查双曲线的定义和性质，勾股定理的应用，考查化简运算能力，属于中档题．
由题设知，在和中运用勾股定理得到的关系式，即可求出离心率．
【解答】
解：由题意得，设，则
，，，
，在中，由勾股定理得，
解得，则，，
在中，由勾股定理得，
化简得，所以的离心率．
故选A．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查双曲线的性质及直线与圆相切的性质，属于中档题．
设的坐标，由在圆和在椭圆上可得的坐标，再由因为与圆相切，所以，可得方程，进而求出双曲线的离心率．
【解答】
解：设，由题意可得，又在双曲线上，在第二象限，

所以，两式联立求出，，
所以，，
因为与圆相切，
所以，
即，
即，
所以，
所以，，即，
即解得：．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的性质和几何意义、定义、直线与双曲线的位置关系，属于一般题．
利用双曲线的几何性质及定义等逐一判断即可．

【解答】

解：因为，，所以，．
又，，所以，
所以，所以，
所以，解得，A正确
因为，所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，B正确
因为，所以，所以，所以．
又，，所以，
所以，C错误
联立得方程组，所以，
所以，
所以，
所以直线与双曲线有两个公共点，D正确．
故选ABD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的方程的求法及双曲线的性质的应用，直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
由双曲线过点，将的坐标代入求出，的关系，求出圆心到渐近线的距离的值，再由勾股定理求出弦长，由弦长的值，可得，的关系，进而求出，的值，即求出双曲线的方程，进而判断，，的真假，将中的直线方程与双曲线的方程联立求出交点，可判断出不正确．

【解答】

解：由双曲线过，可得，则渐近线的方程为，即，
由圆的方程，可得圆心坐标，半径，所以圆心到渐近线的距离，
由截得的弦长可得，则，即，可得，
可得，，即双曲线的方程为：，所以C正确
且离心率，所以A正确
渐近线的方程为，即，所以不正确
联立整理可得，解得 ，，
即交点， 只有一个交点，所以不正确．
故选AC．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的标准方程和性质，根据条件求出双曲线的方程是关键，属于基础题．
根据条件可求出双曲线的方程，再逐一分析即可．

【解答】

解：双曲线：过点，
则，解得，所以双曲线的方程为，
即，
对于，，焦距为，故A正确；
对于，离心率，故B错误；
对于，双曲线的渐近线方程是，所以C正确；
对于，联立，整理得
则，故没有公共点，故D不正确，
故答案为：．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查双曲线的性质，双曲线的标准方程，属于中档题．
根据双曲线的渐近线和过定点求出双曲线方程，然后根据方程依次判断每一个选项即可．
【解答】
解：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为 ，

把点代入，得，即．

双曲线的方程为    ，故A正确；

则离心率为，故B错误；
焦点为或，
所以曲线经过的一个焦点，故C正确；
因为，整理得，则，
所以直线与有一个公共点，故D错误．
故选AC．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查双曲线几何意义即定义，数形结合数学思想，属中等题目．
根据平面几何图形性质及椭圆定义，化简得，即可得解．
【解答】
解：设的右焦点 ，不妨设直线与渐近线交点为，
在直角三角形中由点到直线的距离得，
再结合，得，
由为的中位线，得，
再由双曲线的定义，得，从而，
．
在直角三角形中，，
化简得，所以．

 故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
由题意，求得两圆切于同一点，设直线的倾斜角为，求得，，结合题意，可得，解得即可．
【解答】
解：设与切于点，与切于点，与切于点，与切于点，与切于点，如下图：

，
，
即切于同一点，
设点，则，解得，
点，
设直线的倾斜角为，则，，
在四边形中，
，在中，，
在四边形中，
，在中，，
，，即，
，结合，解得，
故此双曲线离心率的取值范围为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的性质及几何意义和直线与双曲线的位置关系．
由已知可得双曲线的方程为可得，易得直线的斜率为，连接，在中，由余弦定理得，即可求解；

【解答】

解：由点是双曲线上一点和双曲线的离心率为，
得，解得
所以，，所以，，
直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为．
设直线的倾斜角为，则，所以．
连接，在中，由余弦定理得，
又，所以，所以．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了直线的方程、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
结合双曲线的性质，推出、关系，然后根据条件求出、即可．
【解答】
解：双曲线：的渐近线方程为，
因为线：过双曲线：的左焦点且与双曲线只有一个公共点，
所以，且，又因为，
解得，，
则双曲线的方程为．
故答案为．  

17.【答案】解：因为的离心率为，
所以，
可得，
因为经过的焦点垂直于轴的直线被所截得的弦长为，
将代入，
可得，
所以，与联立，解得，
所以，，
所以的方程为；
设，，则，，
因此，即，
因为线段的中点为，
所以，，
从而，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即直线的方程是． 

【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，利用点差法求直线方程问题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用，属于中档题．
根据椭圆的性质以及题意得出和，列出方程组，解出，，即可求出椭圆的标准方程；
设，，利用点差法求出直线的斜率，即可得直线的方程．
 

18.【答案】解：由题意，双曲线与双曲线有相同的渐近线，
可设双曲线的方程为，
代入，得，即，
故双曲线的方程为；
由方程得，，，
故离心率；
其渐近线方程为；
设，，则的中点坐标为，
联立直线与双曲线的方程得：
经整理得，
，
由韦达定理得：，
，
的中点坐标为，
又在圆上，
，
． 

【解析】本题主要考查求双曲线的方程、离心率与渐近线方程，以及直线与双曲线的位置关系，中点坐标公式，属于中档题．
待定系数法求解双曲线的标准方程，进而求出其离心率与渐近线方程；
联立直线与双曲线的方程，结合判别式和韦达定理求解即可．
 

19.【答案】解：焦距是实轴长的倍，
，
所以双曲线为等轴双曲线，
故可设双曲线的方程为，
双曲线过点，，
，
双曲线方程为，即．
证明：由可知：在双曲线中，，，
，，
，，
，
点在双曲线上，，，
，
点在以为直径的圆上；
解：由不妨，，
直线的方程为：，
代入双曲线方程消去可得：，
因为的纵坐标为，
则，可得，
的面积为：． 

【解析】本题考查双曲线的方程与性质，同时考查直线与双曲线的位置关系及平面向量的在几何中的运用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．
求出离心率，可设双曲线的方程为，由双曲线过点，可求得，即可求双曲线方程；
求出向量，的坐标，利用向量的数量积公式，即可证明结论．
利用与的坐标可得直线方程，求出的纵坐标，然后求解三角形的面积．
 

20.【答案】解：焦距是实轴长的倍，
，故可等轴设双曲线的方程为，
过点，，
．
双曲线方程为．
即：．
证明：由可知：在双曲线中，，．
，．
，
．
．
点在双曲线上，，．
．
点在以为直径的圆上；
由不妨，，
直线的方程为：，代入双曲线方程可得：
消去可得：，
因为的纵坐标为，所以的纵坐标为：，
解得，
的面积为：． 

【解析】本题考查双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查分析解决问题的能力，属于中档题．
求出离心率，故可等轴设双曲线的方程为，过点，可得，即可求双曲线方程；
求出向量坐标，利用向量的数量积公式，即可证明结论．
利用与可得直线方程，求出的纵坐标，然后求解三角形的面积．
 

21.【答案】解：双曲线的右焦点的坐标为，且双曲线的方程为，
，

，

双曲线的方程为．

，，

双曲线的渐近线方程为

令，则，

设直线与双曲线的渐近线的交点为，，则．

记双曲线的渐近线与直线围成的三角形的面积为，

则．

【解析】本题主要考查了双曲线的性质及几何意义，双曲线的标准方程，属于中档题．
由题意可得，求得，即可求出双曲线的方程．
因为，，双曲线的渐近线方程为，令，则，设直线与双曲线的渐近线的交点为，，可求出，记双曲线的渐近线与直线围成的三角形的面积为，即可求出面积．
 

22.【答案】解：设双曲线，
由题意得：
解得，，
双曲线的方程为，
联立方程消去得：，
与有两个交点，
且，
解得：且，
，，
设，，则由上可知，
又中点的横坐标为，
，即，
解得或，
结合可知，
此时，，，
，
即线段的长为． 

【解析】本题主要考查了双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义，直线与双曲线的位置关系的应用，
根据已知及双曲线的概念及标准方程的计算，得，求出，的值，求出双曲线的方程；
根据已知及双曲线的性质及几何意义，直线与双曲线的位置关系的计算，得，，求出线段的长．