高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线达标测试

3.2.1 双曲线的标准方程

分层作业

A层 基础达标练

1. 已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为(  )

A. 双曲线 B. 射线

C. 线段 D. 双曲线的一支或射线

2. 是双曲线左支上一点，，分别是左、右焦点，则(  )

A. 4 B.  C. 8 D.

3. 已知双曲线过点和，则双曲线的标准方程为(  )

A.  B.  C.  D.

4. [2023宿迁月考]与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为(  )

A.  B.  C.  D.

5. （多选题）若方程表示双曲线，则实数可能是(  )

A. 8 B. 4 C. 0 D.

6. 已知动点，的坐标满足方程，则点的轨迹方程是(  )

A.  B.

C.  D.

7. ，且的左支上的点与右焦点间的距离的最小值为；的焦距为6；上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4.

在以上这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解问题.

问题：已知双曲线，，求的方程.

B层 能力提升练

8. 若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于(  )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

9. （多选题）在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中，为正常数，满足或，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是(  )

A. 两个椭圆 B. 两个双曲线

C. 一个双曲线和一条直线 D. 一个椭圆和一个双曲线

10. 设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个公共点，则(  )

A.  B.  C.  D.

11. 已知有相同焦点，的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是(  )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上均有可能

12. 如图，已知双曲线以长方形的顶点，为左、右焦点，且双曲线过，两顶点.若，，则双曲线的标准方程为.

13. 已知，，在中，，则顶点的轨迹方程为.

14. 已知圆与轴的两个交点，都在某双曲线上，且，两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为.

15. 已知，是平面上的两点，若曲线上至少存在一点，使，则称曲线为“黄金曲线”.下列五条曲线：

；；；

；.

其中为“黄金曲线”的是.（写出所有“黄金曲线”的序号）

16. 如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点， ，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程.

C层 拓展探究练

17. （多选题）已知,两监测点间的距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是(  )

A. 爆炸点在以 , 为焦点的椭圆上

B. 爆炸点在以 , 为焦点的双曲线的一支上

C. 若 监测点的声强是 监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到 监测点的距离为 米

D. 若 监测点的声强是 监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到 监测点的距离为680米

18. 光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出.如图，椭圆：与双曲线有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过次反射后回到左焦点所经过的路径长为(  )

A.  B.  C.  D.

3.2.1 双曲线的标准方程

分层作业

A层 基础达标练

1. D

2. D

3. B

4. C

5. ABC

6. C

7. 解 选择条件①.

因为，所以，，，所以，.

因为的左支上的点到右焦点的距离的最小值为，所以，

解得，故的方程为.

选择条件②.

因为的焦距为6，所以.若，则，，，

所以，解得，则的方程为；

若，则，，，所以，解得，则的方程为.

综上，的方程为或.

选择条件③.

因为上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，所以，即.

若，则，所以，解得，则的方程为；

若，则，所以，解得，则的方程为.

综上，的方程为或.

B层 能力提升练

8. C

9. BCD

10. B

11. B

12.

13. （）

[解析]因为，，所以.设顶点，由，根据正弦定理可得，即.由双曲线的定义，可得点的轨迹是以，为焦点，以为长轴长的双曲线的右支，且点不在轴上，所以，，则.因此,顶点的轨迹方程为.

14.

[解析]由圆的方程知,与轴的交点坐标为,.因为圆与轴的两个交点，都在某双曲线上，所以双曲线的焦点在轴上，且.又因为，两点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以，即有，所以此双曲线的标准方程为.

15. ④⑤

[解析]因为，是平面上的两点，存在一点，使，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，方程为，且.

上不存在的点满足方程，故①不是“黄金曲线”；

上，不存在的点满足方程，故②不是“黄金曲线”；

上不存在的点满足方程，故③不是“黄金曲线”；

中，，，与双曲线有交点，满足题意，故④是“黄金曲线”；

的圆心为，半径为3，与双曲线有交点，满足题意，故⑤是“黄金曲线”.

16. 解如图，以点为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则，，，.依题意得

，所以曲线是以，为焦点的双曲线,则，，所以，.故曲线的方程为.

C层 拓展探究练

17. BD

[解析]依题意，,两监测点间的距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒.设爆炸点为，则，所以爆炸点在以,为焦点的双曲线的一支上，所以选项错误，选项正确；若监测点的声强是监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则，即，结合，可得，所以选项错误，选项正确.故选.

18. D

[解析]由题意得，光线从左焦点出发，经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点.

如图，，，所以光线经过次反射后回到左焦点所经过的路径长为.故选.