高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.2 双曲线综合训练题

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.2 双曲线综合训练题，共5页。

1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2eq \r(2)
C．4 D．4eq \r(2)
解析：选C 双曲线方程可变形为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.
2．(2019·北京高考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率是eq \r(5)，则a＝( )
A.eq \r(6) B．4
C．2 D.eq \f(1,2)
解析：选D 由双曲线方程eq \f(x2,a2)－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋1,a2)＝1＋eq \f(1,a2).结合a>0，解得a＝eq \f(1,2).故选D.
3．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(1,4)x B．y＝±eq \f(1,3)x
C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±x
解析：选C 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，故有eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(5,4)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，解得eq \f(b,a)＝eq \f(1,2).故双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，故选C.
4．(多选)双曲线C与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则双曲线C的标准方程可以为( )
A.eq \f(x2,4)－y2＝1 B．y2－eq \f(x2,4)＝1
C．x2－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,4)－x2＝1
解析：选AB 由题知c＝eq \r(5)，设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，
∴eq \f(x2,λ)－eq \f(y2,\f(λ,4))＝1，
∴λ＋eq \f(λ,4)＝5或－eq \f(λ,4)＋(－λ)＝5，
∴λ＝4或λ＝－4.故选A、B.
5．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为eq \r(2)
解析：选ACD 等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确．由双曲线的方程可知|F1F2|＝2eq \r(2)，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误．点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝2，,y0＝x0，))解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确．由上述分析可得△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×2eq \r(2)×1＝eq \r(2)，故D正确．故选A、C、D.
6．已知双曲线的虚轴长为4，离心率e＝eq \f(\r(6),2)，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，则双曲线的实轴长为________，|AB|＝________．
解析：由题意可知2b＝4，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),2)，又c2＝a2＋b2，于是a＝2eq \r(2).因为2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝4a＝8eq \r(2).
答案：4eq \r(2) 8eq \r(2)
7．设双曲线C经过点(2，2)，且与eq \f(y2,4)－x2＝1具有相同的渐近线，则C的方程为________，渐近线方程为________．
解析：设双曲线C的方程为eq \f(y2,4)－x2＝λ(λ≠0)．将点(2，2)的坐标代入，得λ＝－3，∴双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)＝1，渐近线方程为y＝±2x.
答案：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)＝1 y＝±2x
8．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,3m)＝1的一个焦点为(0，2)，则实数m的值是________，渐近线方程是________．
解析：由题意知双曲线焦点在y轴，故m＜0，
由c2＝a2＋b2＝－3m－m＝4，解得m＝－1，
所以渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \r(3)x.
答案：－1 y＝±eq \r(3)x
9．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
解：将4x2－y2＝4变形为x2－eq \f(y2,4)＝1，即eq \f(x2,12)－eq \f(y2,22)＝1.
∴a＝1，b＝2，c＝eq \r(5).
因此顶点坐标为A1(－1，0)，A2(1，0)，
焦点坐标为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，
实半轴长a＝1，虚半轴长b＝2，
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),1)＝eq \r(5)，
渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±2x，草图如图所示．
10．已知双曲线E与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1共渐近线，且过点A(2eq \r(3)，－3)．若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程．
解：由题意，设双曲线E的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝t(t≠0)．
∵点A(2eq \r(3)，－3)在双曲线E上，
∴eq \f(（2\r(3)）2,16)－eq \f(（－3）2,9)＝t，
∴t＝－eq \f(1,4)，∴双曲线E的标准方程为eq \f(y2,\f(9,4))－eq \f(x2,4)＝1.
又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，
∴双曲线M的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,\f(9,4))＝1.
[B级 综合运用]
11．已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( )
A.eq \r(2) B.eq \f(5,3)
C.eq \f(5,2) D.eq \r(5)
解析：选C 由双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，可得其一条渐近线的方程为y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0，5)，半径r＝2，
则圆心到直线的距离为d＝eq \f(|－5a|,\r(b2＋（－a）2))＝eq \f(5a,c)，则eq \f(5a,c)＝2，可得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,2).
12．已知双曲线C：eq \f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A.eq \f(3,2) B．3
C．2eq \r(3) D．4
解析：选B 因为双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝eq \f(\r(3),3)x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－eq \r(3)(x－2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\r(3)（x－2），,y＝\f(\r(3),3)x))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))
所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，所以|OM|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \r(3)，所以|MN|＝eq \r(3)|OM|＝3，故选B.
13．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则B点坐标为________，△AFB的面积为________．
解析：双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点A(3，0)，右焦点F(5，0)，渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x.不妨设直线FB的方程为y＝eq \f(4,3)(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝eq \f(17,5)，y＝－eq \f(32,15)，
所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,5)，－\f(32,15))).
所以S△AFB＝eq \f(1,2)|AF||yB|＝eq \f(1,2)(c－a)·|yB|＝eq \f(1,2)×(5－3)×eq \f(32,15)＝eq \f(32,15).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,5)，－\f(32,15))) eq \f(32,15)
14．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b＞0)的左焦点为F，且P是双曲线上的一点，求|PF|的最小值．
解：记双曲线的焦距为2c，则F(－c，0)，而且c＝eq \r(a2＋b2).
设P(x，y)，则|PF|2＝(x＋c)2＋y2，
又因为P是双曲线上一点，所以eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，
即y2＝－b2＋eq \f(b2,a2)x2，因此|PF|2＝(x＋c)2－b2＋eq \f(b2,a2)x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b2,a2)))x2＋2cx－b2＋c2
＝eq \f(c2,a2)x2＋2cx＋a2＝eq \f(c2,a2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2\f(a2,c)x＋\f(a4,c2)))
＝eq \f(c2,a2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a2,c)))eq \s\up12(2).注意到x≤－a或x≥a，而且0＞－eq \f(a2,c)＝－eq \f(a,c)a＞－a，所以，当x＝－a时，|PF|2最小，且最小值为 eq \r(\f(c2,a2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(a2,c)))\s\up12(2))＝c－a.
[C级 拓展探究]
15．求双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,36)＝1上任意一点M到两条渐近线的距离的乘积，并把结论推广到一般的双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1.
解：设M(x0，y0)为双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,36)＝1上任意一点，
则eq \f(xeq \\al(2,0),4)－eq \f(yeq \\al(2,0),36)＝1，即9xeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,0)＝36，渐近线方程为y＝±3x，
即3x－y＝0和3x＋y＝0.
∴点M到直线3x－y＝0的距离为d1＝eq \f(|3x0－y0|,\r(10))，
点M到直线3x＋y＝0的距离为d2＝eq \f(|3x0＋y0|,\r(10))，
∴d1d2＝eq \f(|3x0－y0|,\r(10))×eq \f(|3x0＋y0|,\r(10))＝eq \f(|9xeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,0)|,10)＝eq \f(36,10)＝eq \f(18,5).
推广：设P(x0，y0)为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1上任意一点，则点P到双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的两条渐近线的距离之积为定值eq \f(a2b2,a2＋b2).