高中数学3.1 椭圆课时训练

3.1.1 椭圆的标准方程

分层作业

A层 基础达标练

1. 若椭圆上一点到焦点的距离为2，则点到焦点的距离为(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为短轴的一个端点，则的周长为(  )

A. 20 B. 18 C. 16 D. 9

3. “”是“方程表示椭圆”的(  )

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. [2023启东检测]已知椭圆的左、右焦点分别为,，点在椭圆上，若，则(  )

A.  B.  C.  D.

5. 已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是.

6. 已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为.

7. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1） 两个焦点的坐标分别为，，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于26；

（2） 经过点，且与椭圆有共同的焦点.

B层 能力提升练

8. （多选题）椭圆的左焦点为，点是椭圆上的动点，则的值可能是(  )

A. 1 B. 3 C. 6 D. 10

9. 椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积为，且，则椭圆的方程为(  )

A.  B.  C.  D.

10. 已知，是椭圆的两个焦点，过点且垂直于轴的直线交于，两点，且，则椭圆的标准方程为(  )

A.  B.  C.  D.

11. 设，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为(  )

A.  B.  C.  D.

12. 设,为椭圆的焦点，若在椭圆上存在点，满足 ，则实数的取值范围为(  )

A.  B.  C.  D.

13. 动圆过定点，且内切于定圆，动圆的圆心的轨迹方程为.

14. [2023淮阴调研]已知点和，是椭圆上的动点，则的最大值为.

15. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 ：，为 的上顶点，为 上异于上、下顶点的动点，为正半轴上的动点.

（1） 若点在第一象限，且，求点的坐标；

（2） 设，若以，，为顶点的三角形是直角三角形，求点的横坐标；

（3） 若，直线与 交于另一点，且，，求直线的方程.

C层 拓展探究练

16. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形截某圆锥得到椭圆 ，且 与矩形的四边相切.设椭圆 在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为(  )

A.  B.  C.  D.

17. （多选题）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是(  )

A. 无解 B. 的解为

C. 的最小值为 D. 的最大值为

3.1.1 椭圆的标准方程

分层作业

A层 基础达标练

1. D

2. B

3. A

4. C

5.

6. 9

7. （1） 解 因为椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为，由椭圆的定义可得，则，故，所以椭圆的标准方程为.

（2） 椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点为，.

设所求椭圆的标准方程为，由椭圆的定义，可得，则，.故所求椭圆的标准方程为.

B层 能力提升练

8. BC

9. D

10. B

11. D

12. A

[解析]由椭圆的性质知，当点在椭圆的左、右顶点时，最大，所以椭圆上存在一点使 ，只需点在椭圆的左、右顶点时 ，此时，，即.又,，所以，解得.因为，所以.故选.

13.

[解析]由圆的方程知其圆心为，半径.

因为，即点在圆内部，所以动圆在圆内部.设圆的半径为，则，所以，即.又，所以，所以动圆的圆心的轨迹是以,为焦点的椭圆，此时，，所以，所以动圆的圆心的轨迹方程为.

14.

[解析]椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，则由椭圆定义，于是.当点不在直线与椭圆交点上时，，，三点构成三角形，于是，而当点在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，在第三象限交点时，有.显然当点在直线与椭圆第三象限交点时，有最大值，其最大值为.

15. （1） 解 设,联立与，可得，.

（2） 设，当时，，或.

当时，，，.

综上，点的横坐标为或1或.

（3） 设，线段的中垂线与轴的交点即，.

因为，所以，.因为，所以，，代入并联立椭圆方程，解得，，所以，，所以直线的方程为.

C层 拓展探究练

16. C

[解析]由椭圆方程为，排除.矩形的四边与椭圆相切，则矩形的周长为，.在椭圆中，,，,不满足题意；在椭圆中，,，,满足题意.故选.

17. BC

[解析]如图，.

设，，，则.

若，则，则点的轨迹是以，为焦点的椭圆，此时，，即，，即椭圆方程为，当时，，解得，得，故错误，正确；

点关于直线的对称点为，则，当,,三点共线时，最小，此时，无最大值，故正确，错误.故选.