高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.1 椭圆第一课时导学案

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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.1 椭圆第一课时导学案，

第一课时　椭圆的简单几何性质“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现．[问题]　你知道椭圆有什么样的性质吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　椭圆的简单几何性质1．能用a，b表示椭圆离心率e吗？提示：能．e＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2)).2．椭圆的离心率e越小，椭圆越圆吗？提示：越圆．3．已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2，怎样确定椭圆焦点的位置？提示：方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)A．5，3，eq \f(4,5)　　　　　　 B．10，6，eq \f(4,5)C．5，3，eq \f(3,5) D．10，6，eq \f(3,5)答案：B2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,3)，则eq \f(a,b)＝(　　)A.eq \f(9,8) B.eq \f(3\r(2),2)C.eq \f(4,3) D.eq \f(3\r(2),4)解析：选D　∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \f(1,3)，∴8a2＝9b2，∴eq \f(a,b)＝eq \f(3 \r(2),4).故选D.3．已知椭圆eq \f(x2,11－m)＋eq \f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m＝________．解析：由椭圆eq \f(x2,11－m)＋eq \f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，焦距为4，可得eq \r(m－3－11＋m)＝2，解得m＝9.答案：9[例1]　(链接教科书第83页例1)求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[解]　把已知方程化成标准方程为eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,9)＝1，于是a＝9，b＝3，c＝eq \r(81－9)＝6eq \r(2)，所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(2),3).两个焦点的坐标分别为F1(－6eq \r(2)，0)，F2(6eq \r(2)，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9，0)，A2(9，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)．eq \a\vs4\al()由椭圆方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式；(2)确定焦点位置；(3)求出a，b，c；(4)写出椭圆的几何性质．[注意]　长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．　　　　 [跟踪训练]已知椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(－6，0)，离心率e＝eq \f(3,5).(2)椭圆C2：eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④焦点：(0，6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝eq \f(3,5).[例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是eq \f(4,5)；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.[解]　(1)设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知得2a＝10，a＝5.又∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1.(2)依题意可设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.eq \a\vs4\al()利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等．　　　　 [跟踪训练]已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．解：若椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝3·2b，,\f(9,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.))所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，则设椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝3·2b，,\f(0,a2)＋\f(9,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝9，,b＝3.))所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1.综上所述，椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1.[例3]　(1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是________；(2)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．[解析]　(1)如图，设点F(c，0)，由△OAF是等边三角形，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，∵点A在椭圆上，∴有eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1， ①在椭圆中有a2＝b2＋c2， ②联立①②，得c2＝(4－2eq \r(3))a2，即c＝(eq \r(3)－1)a，则其离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1.(2)如图，连接F1N，∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N，∵|NF2|＝|OF2|＝c，∴|NF1|＝eq \r(|F1F2|2－|NF2|2)＝eq \r(4c2－c2)＝eq \r(3)c，由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，∴eq \r(3)c＋c＝2a，∴a＝eq \f(（\r(3)＋1）c,2)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1.[答案]　(1)eq \r(3)－1　(2)eq \r(3)－1eq \a\vs4\al()求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解；(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．　　　　 [跟踪训练]1．若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，0))分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为(　　)A.eq \f(16,17)　　　　　　　　 B.eq \f(4\r(17),17)C.eq \f(4,5) D.eq \f(2\r(5),5)解析：选D　依题意得eq \f(c＋\f(b,2),c－\f(b,2))＝eq \f(5,3)，∴c＝2b，∴a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(5)b，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2b,\r(5)b)＝eq \f(2\r(5),5).故选D.2．若一个椭圆长轴的长度与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是(　　)A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5)C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)解析：选B　由题意可得4b＝2a＋2c，两边平方化简得4b2＝(a＋c)2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，3a2－2ac－5c2＝0，5e2＋2e－3＝0，解得e＝eq \f(3,5)(负值舍去)．1．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1的长轴长为(　　)A．2 B．4C．3 D．6解析：选D　由椭圆方程知焦点在y轴上，故长轴长为2a＝6.故选D.2.如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为(　　)A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5)C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5)解析：选D　∵x－2y＋2＝0，∴y＝eq \f(1,2)x＋1，从而eq \f(b,c)＝eq \f(1,2)，即 eq \r(\f(a2－c2,c2))＝eq \f(1,2)，∴eq \f(a2,c2)＝eq \f(5,4)，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(5),5).3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是(　　)A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,4)＋y2＝1解析：选C　依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此椭圆的方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6.(1)求这个椭圆的离心率；(2)求这个椭圆的标准方程．解：由题意知2a＋2b＝18，且2c＝6.又a2＝b2＋c2，所以a＝5，b＝4，c＝3.(1)离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5).(2)椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1.新课程标准解读核心素养1.掌握椭圆的简单几何性质直观想象2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想数学运算焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0),_ B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a),_ B1(－b，0)，B2(b，0)轴长长轴长＝eq \a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq \a\vs4\al(2b)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)离心率e＝eq \f(c,a)(0

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