数学八年级上册13.3.1 等腰三角形课文ppt课件

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等腰三角形的定义等腰三角形的性质等腰三角形的判定
定义 有两边相等的三角形是等腰三角形.几何语言：如图13.3-1，在△ABC中，∵ AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角只能是锐角. 根据顶角的大小，等腰三角形可分为等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形.
特别解读确定等腰三角形的两条腰时，应找三角形中相等的两边，腰与三角形本身的位置无关.
若某个等腰三角形的两边长分别为4和6，求这个等腰三角形的周长.
解题秘方：根据等腰三角形的定义确定腰和底边的长，再利用三角形三边关系进行判断并计算.
解：∵等腰三角形的底边长和腰长不确定，∴需分两种情况讨论. 第一种情况：当4 为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，4，6，∵ 4＋4>6，满足三角形的三边关系， ∴周长＝4＋4＋6＝14；第二种情况：当 6为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，6，6，∵ 4＋6>6，满足三角形的三边关系，∴周长＝6＋6＋4＝16. 综上可知，这个等腰三角形的周长为14或16.
特别提醒：等腰三角形的边分腰和底边，若没有说明，则必须分类讨论，同时注意三角形的三边关系.
1-1. 已知等腰三角形的一边长为5，周长为20，则它的腰长为________.
1-2. [中考·苏州] 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”. 若等腰三角形ABC是“ 倍长三角形”，底边BC的长为3， 则腰AB的长为_________．
1. 性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).几何语言：如图13.3-2，在△ABC中，∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C.
特别提醒1. 适用条件：必须在同一个三角形中.2. 作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.
2. 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).几何语言：如图13.3-2，在△ABC中，(1)∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴ AD平分∠BAC(或BD＝CD)；(2)∵ AB＝AC，BD＝DC，∴ AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；(3)∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ BD＝DC(或AD⊥BC).
特别解读1. 适用条件：(1)必须是等腰三角形；(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合.2. 作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法.
3. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．
如图13.3-3，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.
解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答.
(1)求∠ADB的度数；
解：∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
(2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度数；
(3)若BC＝3 cm，求BD的长.
2-1. [中考·自贡] 等腰三角形顶角度数比一个底角度数的 2倍多20°，则这个底角的度数是(　　)A. 30° B. 40°C. 50° D. 60°
2-2. [中考·泰安] 如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K 分别是PA，PB，AB上的点， 且AM＝BK，BN＝AK. 若∠MKN＝44 °， 则∠P的度数为( )A. 44°B. 66°C. 88°D. 92°
如图13.3-4，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是AC，AB边上的高. 求证：BD＝CE.
解题秘方：利用等腰三角形的边角性质为证明△BEC和△CDB全等创造条件.
3-1. [中考· 黄石]如图， 在△ABC中，∠BAC＝90 °，E 为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段 BE的中点，过点E作EF⊥AE， 过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F. 求证：
(1)∠C＝∠BAD.
证明：∵AB＝AE，∴△ABE是等腰三角形，又∵ D为线段BE的中点，∴AD⊥BC，∴∠C＋∠DAC＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∴∠C＝∠BAD.
证明： ∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠AEB.∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠EAF＝∠ABC.又∵∠BAC＝∠AEF＝90°，∴△BAC≌△AEF.∴AC＝EF.
如图13.3-5，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A 的度数.
解题秘方：利用“等边对等角”及三角形外角的性质将△ABC中的三个角都用要求的∠A来表示，利用三角形内角和解决问题.
方法点拨：当已知条件中没有已知度数的角而又要求角的度数时，一般采用方程思想来解决问题. 设出要求的角的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形外角与内角之间的关系,用含未知数的式子表示出一个三角形的三个内角的度数，再利用三角形的内角和等于180°列出方程，求出未知数的值即可.
4-1. 如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE 的度数是( )A. 60° B. 65°C. 75° D. 80°
1. 判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).几何语言：如图13.3-6，在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴ AB＝AC.
2. 等腰三角形的性质与判定的异同相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.不同点：等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等.等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等.
特别提醒●等腰三角形的定义也是一种判定方法.●“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等.
如图13.3-7，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，若AQ＝AR，则△ABC是等腰三角形吗？请说明理由.
解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可.
解：△ABC是等腰三角形. 理由如下：∵ AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.∵ RP⊥BC，∴∠RPB＝∠RPC＝90°.∴∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C， ∴ AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形.
方法点拨：根据等腰三角形的判定定理可知，证明一个三角形是等腰三角形，可以证明这个三角形有两个内角相等，所以证明两个内角相等是判定等腰三角形的关键所在.
5-1. 如图， 点E在△ABC的AC边的延长线上， 点D在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF ， BD＝CE ，过点D作DG∥AC交BC于点G. 求证： △ABC是等腰三角形.
证明：∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∠DGF＝∠ECF. 又∵∠DFG＝∠EFC，DF＝EF， ∴△GDF≌△CEF, ∴DG＝EC. ∵BD＝CE，∴BD＝DG，∴∠DGB＝∠B.∵∠DGB＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB. ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．