初中数学北师大版九年级下册4 二次函数的应用教学设计

课题：二次函数背景下的几何问题------线段最值问题

公开课教学设计

•         教材分析

•         二次函数是一次函数和反比例函数的继续和发展，它位居初中阶段三大函数中的首位，是初中数学学习的重点与难点，也为以后更高层次函数的学习奠定了基础.以二次函数为背景的试题常受中考命题者的青睐，能够全面考查用数析形的技能与计算能力，这也是学生将来学习高中数学知识所必备的.命题一般不会用以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动使几何图形发生变化，从而让代数与几何有机结合起来.随着对《课程标准》基本理念被更为广泛和更为深入地认识，对“合情推理”与“数学活动过程”的考查也呈增强之势．而二次函数背景下的线段最值问题近年来屡屡出现在各地的中考试卷中，这类问题往往是利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）及二次函数的性质求最值.这类问题大多是“将军饮马”模型的变式应用，试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对 “动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生在图形的运动变化中探究几何元素之间位置关系和数量关系的能力与识别能力，体现新课程对学生几何探究活动过程、合情推理能力的要求.

2.学情分析

本节课是基于学生完成第一轮知识板块复习所进行的提高数学解题技能的专项复习，虽然学生在七年级时已经学习过最短路径问题，但很多学生对于从复杂图形中分离出基本图形仍有困难，通过本节课的学习，目的不仅是培养学生能正确、快速地分离基本图形，找到解决问题的突破口，而且通过几何模型、函数模型的逐渐深入地学习，学生能进一步体会到解决线段最值问题的实质.

学生观察，操作，猜想能力较强，但演绎推理，归纳，运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导.

学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强.

3．教学目标分析

1.知识与技能目标：

（1）通过复习进一步落实用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图像和性质，会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等.

（2）熟练掌握基本事实——两点之间线段最短、垂线段最短及三角形的三边关系，根据问题建构几何模型，解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.

    （3）能利用二次函数的图像和性质，根据问题建构函数模型，解决因动点产生的二次

函数背景下的线段最值问题.

1. 过程与方法目标：

（1）在探索用几何模型求线段最值问题中挖掘图形本质，最基本的原理、法则，实现多题归一.

（2）经历探究用函数模型求线段最值问题，体会二次函数的应用价值和二次函数模型对解决最值问题的优越性.

    （3）让学生经历数学活动过程，并从中体会及感悟化归与转化、数形结合、函数与方程、数学建模等数学思想方法的具体体现和运用.

   3.情感、态度与价值观目标：

1. 通过观察、分析、对比等方法，培养并提高学生的合情推理能力、分析问题、解决问题的能力.

（2）由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和积极性参与数学活动，从中体会及感悟科学的思想方法所蕴涵的意义和作用，并加强学生之间的合作交流，培养学生的问题意识，提高应用数学的能力.

1.              教学重难点

重点：能运用几何模型和函数模型解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.

难点：提高运用函数知识与几何知识解决数学综合题的能力，掌握模式识别的解题策略.

5.教学策略

   （1）探究引导策略：探讨式学习；教师启发引导.

   （2）自主合作探究式学习策略：互相讨论、交流、合作的课堂氛围，使学生真正成为教学的主体.

   （3）问题串设计策略：运用有序的问题串有层次地灵活呈现问题，组织教学内容，提出有启发性的引申问题，激发学生的学习兴趣，积极地参与到探究规律的学习当中.

   （4）鼓励、激励策略：积极肯定学生的学习成果，及时评价学生的课堂表现，让学生体会成功的喜悦.

6.设计理念：

    从近年的中考数学题型来看，经常考查二次函数背景下的线段最值问题，而这部分题目在中考分析中，失分率很高，应该引起我们的重视，线段最值问题在教课书虽然没有专题讲解，但却给出了它的模型.学生对线段最值模型的陌生由于当时的学生理解水平有限等条件下，教师在当时的教学中对教材例习题的拓展延伸程度相对低，因此在初三的综合复习中对此进行专题复习是很有必要的.

    所以我设计本节课的思路是想通过对此类题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，利用例题、习题的潜在的价值，改变学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，会一类，通一片”的解题境界.希望能通过此复习达到预想的目标.

7.教学准备:

   （1）教学课件,导学练，教案

   （2）课前让学生分组合作交流,提前完成导学练,并让学生在小组内探讨如何充当小老师讲解导学练上的练习题.

8.教学过程:

一、导入课题： 

     二次函数背景下的线段最值问题是历年中考压轴题的一个典型的考点，这类问题在近年中考试题中频繁现身，如2015年漳州第25题、2016年漳州第24题，在中考中，一些考生由于没有掌握此类试题的解题方法，在解题时往往不知所措，导致失分率很高.因此，今天我们将一起来学习如何解答此类问题.

•                     自主探究：

    探究一：

1.               活动：播放视频短片，让学生回顾下数学史上著名的“将军饮马”问题.

    设计意图：通过回顾“将军饮马“问题，烘托问题情境，利用视频短片吸引学生的注意力，在历史经典中唤起学生的兴趣，激发学生探究的欲望，定位了问题的取向，把学生引领到研究的航道上.

2.教师活动：板书几何模型——线段和最小值（“将军饮马“问题）

模型一：如图1，点P在直线l上运动，找出一点P使PA+PB取最小值.

思路分析：特征：定点A、B（同侧）动点P（定直线）     基本解法：轴对称法

目标：和最小                                基本原理：两点之间线段最短

操作：对称到异侧                基本思想：转化（化同侧为异侧，化折为直）

设计意图:为了落实好下面的模型应用，把知识背景归纳成一般化的数学模型.将归纳总结基本模型作为先行组织者，在温故中实现引新，为展开模型应用提供知识、方法及经验的支持.

以此作为模型我们可以解决下列求线段和最小值的问题.

3.学生活动：模型应用

已知：如图，A（-1,0），B（3,0），C（0,3），抛物线经过点A、B、C，抛物线的顶点为D．

⑴求解析式和抛物线的顶点D；

1.               点在对称轴上，PA+PC取最小值时，求点的坐标；

教学活动:请一位学生上台讲题,将他的解答过程通过投影仪展示出来.教师给予点评,并板演解答过程,规范书写格式.

分析：（1）可设交点式或一般式，将点代入求解，求顶点坐标可用公式法或配方法；

1.               利用模型找出点P，再求直线BC的解析式，最后将P点横坐标代入直线BC的解析  式求它的纵坐标.

板书规范写出解题过程：

解：如图，连接BC   A、B两点关于对称轴对称

   线段BC与对称轴的交点即为使PA+PC最小的点P

   PA=PB   PA+PC=PB+PC=BC

   设直线BC的解析式为，将B（3，0），C（0，3）代入，得：

   解得：

  直线BC的解析式为   当时，

  此时，点P（1，2）能够使得PA+PC的值最小.

变式：点在对称轴上，△PAC周长最小，求点的坐标.

分析:要使△PAC的周长最小，已知AC为定值，只需求一点P使得PA＋PC最小即可．

解题步骤归纳：1）找对称点 2）连线并求直线解析式 3）求点坐标

设计意图：

   （1）二次函数类的压轴题第一问通常为求点坐标、解析式，本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式或利用函数解析式求点坐标，属于送分题.通过第一小问的解答增进学生解压轴题的信心.这个问题也是为下面的问题作铺垫的，这节课所要研究的一系列问题都是在这个二次函数背景下的展开的.

  （2）在具体的实例中学习把知识迁移应用并体会“将军饮马”问题中蕴含的数学本质：利用对称思想把复杂的问题简单化，它与抛物线（轴对称图形）相结合，在几何求最值问题中展现了特殊的魅力.

变式与（2）属于等价问题，变式的设置对提高学生利用数形结合思想以及转化策略进行解题的能力起到了很好的作用.

    刚才我们研究了线段和的最值问题可以用几何模型解决，那么线段差的最值问题是否也有对应的几何模型呢？

活动内容：

1.问题:在一条直线l上，找一点P，使|PA－PB|的值最大

师生合作交流:这时还需要作对称点吗？（不需要）那应该怎么解决这个问题？（先在直线l上任意取一点P’，连接AP’,BP’,AB,得到一个三角形，AP’,BP’是这个三角形的两条边，就要满足P’A-P’B＜AB，那么现在我们只要看P’A-P’B有没有可能等于AB，若能等于AB，AB就是这两条线段之差的最大值了？（有可能，当P、B、A三点共线时）若A、B两点异侧，你还能在一条直线l上，找一点P，使|PA－PB|的差最大吗？(能,利用轴对称化异侧为同侧)

2.教师活动：板书几何模型——线段差最大值

模型二：

思路分析：特征：定点A、B（同侧）动点P（定直线）    目标：差最大       

          操作：连接AB并延长交l于P     

基本解法：使A、B、P三点共线       基本原理：三角形两边之差小于第三边 

基本思想：转化（化折为直）

    设计意图：经历画图-观察-说理等活动，得出作图原理，将该问题归类建模，熟悉并理解该几何模型,培养学生的逻辑思维能力,为下面该模型的应用打下坚实基础..

 3.学生活动:模型应用

(3)点在对称轴上，最大，求点的坐标；

变式：  (4)点在对称轴上，最小，求点的坐标；

        (5)点P在线段BC上，PA取最小值时，求点P的坐标；

分析:（3）第一步，应用模型找到点P的位置；第二步，因为P点在直线AC上，所以求出直线AC的解析式；第三步，P点又在对称轴上，其横坐标已知，代入直线AC的解析式求其纵坐标.

（4）第一步，找点P.要使|PA－PC|最小，只要PA=PC即可，由线段垂直平分线的逆定理可知：点P在线段AC的垂直平分线上，因此线段AC垂直平分线与对称轴的交点即为所求的点P.第二步，解析法或几何法求点P的坐标.       

（5）第一步，找点P，利用直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.第二步，解析法或几何法求点P的坐标.

教师活动：板书几何模型——垂线段最短

模型三：

思路分析：特征：定点A  动点P（定直线）    目标：线段AP值最小       

          操作：过A作AP⊥于P

基本原理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 

    设计意图：通过交流讨论、思维碰撞，得出作图原理，将该问题归类建模，熟悉并理解数学模型.强化模型的应用，通过变式训练来提高学生举一反三、触类旁通的能力.

【链接中考】

1．（2015•漳州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．

（1）填空：点C的坐标为（　　　　　　，　　　　　　），点D的坐标为（　　　　　　，　　　　　　）；

（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；

    设计意图：中考真题体验，使学生从解题过程中获取成功的喜悦，提升学习数学的信心.

探究二：

    上面的第（5）个问题属单条线段最值问题，我们是从“形”的角度构造“垂线段最短”这种几何模型求解的，那么单条线段最值问题我们能不能从“数”的角度进行分析来解决问题呢？（建立函数模型）

(6)点在第一象限的抛物线上，PQ⊥x轴交BC于Q，求PQ的最大值；

思路分析：第一步，设在抛物线中动点P的横坐标为x,则该点纵坐标即可用含x的式子表示；第二步，因为PQ⊥x轴交BC于Q，所以Q点的横坐标也为x,又因为Q在BC上，因此求出直线BC的解析式，即可用含x的式子表示Q点的纵坐标，接着就能确定PQ的表达式；第三步，用配方法或公式法求最值，注意自变量的取值范围.

活动：通过题目思路分析后，让学生自己纠正原来导学练上的问题，教师巡查，及时帮助学习困难的同学解决问题或者借助小组合作交流学习的方式让已经掌握的学生帮助他们.最后通过板书或多媒体展示的方式规范解题过程.

解:设P,直线BC的解析式为,

   将B（3，0），C（0，3）代入，得： 解得：

直线BC的解析式为  

当时，

变式：点在第一象限的抛物线上，求出△BCP面积的这个最大值及此时P点的坐标.

分析：如图，可将△BCP分割为两个小三角形，两个小三角形的底都为PQ，高分别为

而始终等于OB的长，那么△BCP的面积就等于，这实际上就是我们之前学习过的求三角形面积的的新方法，此时PQ为铅垂高，OB为水平宽.而OB长为定值，那么要求△BCP的最大值实际上就是求线段PQ的最大值.

    设计意图:问题（6）设置对培养学生会用不同角度分析问题解决问题的能力起到了很好的作用，求△BCP面积的最大值是用函数模型求线段最值的变式应用，利用问题的潜在的价值，使学生挖掘隐含问题的本质属性，对学生的思维能力提出了较高的要求.

【链接中考】

(2016•漳州)如图，抛物线与轴交于点A和点B（3，0），与轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在轴下方上的动点，过点M作MN//轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；

     设计意图：及时练习巩固，体现学以致用的理念，消除学生学无所用的思想顾虑，有效地促进学生对函数模型法的理解与掌握.

三、归纳小结，整理反思

问题：①本节课你学习了哪两种方法求线段最值问题？

                 ②对于线段最值问题，你认为还可以在哪些图形背景下研究呢？

      ③本节课涉及到的数学思想方法有哪些？

师生共议：①几何模型法：先确定几何模型，再利用模型找出点，最后求点坐标，函数模型法：把线段长用二次函数关系式表示出来再求最值（要注意自变量的取值范围）；

②还可以在直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆等轴对称图形背景下来研究；

③化归与转化、数形结合、函数与方程、数学建模思想. 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段.用模型分析实际事物，锻炼我们的创新能力，建立的模型是分析事物的很好的方法.        

 设计意图:对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展．这是一次知识与情感的交流，浓缩知识要点，突出内容本质，渗透思想、方法．培养学生自我反馈、自主发展的意识．

四、课后反馈

作业：A组：《连接中考》P224第6题

B组：《连接中考》P226第7题

C组：《连接中考》P228第5题

 设计意图:作业分三类，让不同的学生在数学上得到不同的发展.

五、板书设计

•                      教学反思

1. “将军饮马”视频引入，学生很感兴趣。在教学过程中，每个问题之间环环相扣，加上大屏幕的精彩展示，使抽象的数学问题简单化、具体化，把中考压轴题的难点分解了，使学生更容易接受和理解，并最终掌握下来。
2. 在讲解数学模型时，归纳到位，让学生思考并让学生叙述如何找点的过程，帮助学生理解数学模型。
3. 在数学模型的应用时，通过详细的分析，使学生掌握此类问题的解法，并规范学生的书写。

    同时，我也感觉到本节课的不足之处：

1.在数学模型的讲解时，学生被动的接受，理解不够深刻，可以充分调动学生的积极性，使学生实现自主学习和自主探究。

2.课容量大，给学生思考的时间不足，各个教学环节的时间分配不够合理，出现前松后紧的现象。