北师大版 九年级上册 线段的最值问题 教学设计

知

识

回

顾

1.回顾你初中数学学习中最值问题有哪些?

（1) 线段的最大最小值                                        

（2）面积的最值

（3）利润最值

（4）二次函数的顶点

2.解决最值问题用到知识点及方法是什么？

（1)应用两点间线段最短的公理求最值；                                           

（2）应用垂线段最短的性质求最值；

（3）应用轴对称的性质求最短路径

（4）函数求最值；

这是本节课要用到的一些知识，设计知识的最近发展区，为本节课的内容作好铺垫，分散难点.

问

题

探

究

一

模型一

(“将军饮马”问题)

    在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图2中呢？1、

图1                       图2

数学来源于生活．通过生活中的例子，激发学生好奇心和强烈的求知欲，让学生在生动具体的情境中学习数学．

通过这两个例子，唤醒学生对轴对称和线段性质的确认，并且发展学生的观察力与语言表述能力．

合作交流探究方法

例1、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为　　   ．

[想一想]

  如果把这道题看成“将军饮马”的问题，你觉得图中哪条线段可以看成河流，哪两个点可以看成A和B呢？

问题探究

二

模型二

如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A问：这位将军怎样走路程最短？

通过生活实例的解决，让学生感受数学和生活的联系及数学在生活中的重要性，充分体现数学来源于生活又还原于生活．让学生多角度、全方位发挥其思维的深度和广度．

合作交流探究方法

如图，∠AOB=45。，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求△PQR周长的最小值。

O B

培养学生思维的灵活性；引导学生学会归纳总结，以达到解一题从而解决一类问题的目的，提高学习效率，减轻学习负担

1．如图8，MN是⊙O的直径，MN=2，点

A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN

上一动点，则PA+PB的最小值为　　   ．

2、如图所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______．

小

组合作交流，借助学生对问题的解决，唤醒学生对轴对称和线段性质的确认，体验了“发现”知识的快乐，变被动接受为主动探究．有助于方法的解决，并且发展学生的观察力与语言表述能力．

课堂

小结

，

感悟

反思

本节课复习的求最值的问题依据是什么？

 解决此类问题的关键是什么？

1.根据“两点之间线段最短”，通过作轴对称点求线段之和最小值；

2.数学思想：转化思想、数形结合思想和建模思想。

在此活动中，教师应重点关注：（1）不同学生总结知识的程度和能力；（2）对练习中反馈的信息及时处理．

课后巩固

如图，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B.抛物线y＝a(x－2)2＋k经过A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P.

(1)求a，k的值；

(2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在，求△ABM的周长；若不存在，请说明理由．

让学生及时巩固课堂所学知识，检验学生学习情况.

课后作业

1、在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°， D是BC边的中点，E是AB上的一个动点，则EC＋ED的最小值是______.

2、如图，在矩形ABCD中，BC＝10，CD＝5.若点M，N分别是线段BD，BC上的两个动点，则CM＋MN的最小值为___

_

3、如图，点A(m，2)，B(n，2)分别是反比例函数y＝－4x，y＝2x在x轴上方的图象上的点，点P是x轴上的动点，则PA＋PB的最小值为____．