苏科版九年级下册5.5 用二次函数解决问题教案

苏科2011课标版数学九年级下册第五章《二次函数》第5节

《用二次函数解决问题——最值问题》教学设计

数学核心素养发展的基本要点：

通过对实际问题积极主动地探索发现、归纳总结，在实践中掌握解决一类问题的能力。

《课标》要求：

结合二次函数的图像，会求在自变量控制范围内的函数的最大值和最小值。

学情分析：

基础知识：学生已经较熟练地掌握了二次函数的图像和性质，能较为准确地画出函数图像，并求出其对称轴和顶点坐标等。

认识分析：九年级学生已经具有一定的分析问题的能力，能快速地发现问题的不同之处，并根据题目的变化思考解决的方法。

学习目标：

知识与技能：能根据实际问题列出函数解析式，结合函数图像，在自变量范围内，求出函数的最值。

过程与方法：通过几个变式的研究，层层递进，体会自变量的取值范围对函数最值的影响，掌握数学结合和化归的数学思想方法。

情感、态度与价值观：在探究过程中，体会数学与生活的联系，感受探究的乐趣，在发现中获得良好的情感体会。

学习重点：确定自变量取值范围，会求自变量范围内函数的最值。

学习难点：求自变量范围内函数的最值。

教学过程：

一．复习回顾：

二次函数的图像开口           ，

对称轴是                ，

顶点坐标是              ，

与x轴交点坐标是                  ，

与y轴交点坐标是                  .

【设计意图：复习二次函数的几个要点的求法，会根据以上信息快速画出函数图像，为后续的上课内容做好准备。】

二．导入新课：

指出二次函数在下列各条件下何时取得最小值或最大值，并求出最值.

（1）x为全体实数

最小值：

最大值：

（2）

最小值：

最大值：

（3）

最小值：

最大值：

（4）

最小值：

最大值：

【设计意图：由简到繁，层层递进，能描出自变量范围内的函数图形，并确定范围内的最值。】

三．问题研究：

例：某农户决定用总长为40m的篱笆围成一个矩形菜园.

（1）请你设计一种方案，并计算这个矩形菜园的面积？

（2）围成的矩形菜园的面积最大是多少？

变式一：

某农户决定围建一个矩形菜园，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用长为40m的篱笆围成.求围成的矩形菜园的面积最大是多少？ 

变式二：

某农户决定围建一个矩形菜园，其中一边靠墙（墙长25米），另外三边用长为40m的篱笆围成.求BC为何值时，围成的矩形菜园的面积最大？最大面积为多少？

变式三：

若将“变式二”中的墙长25米改为墙长18米，其余条件不变.求BC为何值时，围成的矩形菜园的面积最大？最大面积为多少？

变式四：

某农户决定围建一个矩形菜园，其中一边靠墙（墙长25米），另外三边用长为40m的篱笆围成.现要求在图中所示位置开1米宽的门.求BC为何值时，围成的矩形菜园的面积最大？

变式五：

某农户决定围建一个矩形菜园，其中一边靠墙（墙长25米），另外三边用长为40m的篱笆围成.当这个矩形菜园的面积不小于87.5平方米时，试结合函数图像，直接写出BC边x的取值范围.

【设计意图：通过几个变式的研究，让学生感受，每个变式间通过一个条件的变化，引起函数关系式的变化或自变量取值范围的变化，但各种情况下，求二次函数最大值和最小值都只要结合函数图像，数形结合在数学学习中非常重要。】

四．课堂小结：

我们知道，生产、生活中的一些实际问题，有时可以用二次函数来揭示其中数量之间的关系，运用二次函数的有关知识，常常可以使这些实际问题得到解决。通过本节课的学习，希望能尝试将某些实际问题转化为二次函数问题，列出二次函数解析式，并确定自变量的取值范围，结合函数图像，求出范围内的二次函数的最大值和最小值。

五.课后练习：

1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是               .

2.如图2，在△ABC中，∠B=90°, AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过           秒，四边形APQC的面积最小.

教学反思：

本节课从二次函数自变量取值范围内函数的最值问题讲起，到运用这一知识解决实际问题。这一知识点是二次函数里的难点，学生掌握需要反复地练习。为了让学生学得更扎实，前面部分给了学生充足的时间，让学生自己动手发现，前面部分掌握较好。在解决实际问题时，用一系列的变式让学生体会个中差异，有利于学生更好的掌握。时间关系，本节课只讲到了变式四的分析，变式五也是学生不易掌握的一个题型，留给学生课后探索研究，下一节课再发表各组意见，老师给予点评。这样，更有利于学生印象深刻地掌握此类问题。