九年级数学上册24.2+点和圆、直线和圆的位置关系同步测试+新人教版

点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.1　点和圆的位置关系　[见B本P42]

1．若⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，那么点A与⊙O的位置关系是(　A　)

A．点A在圆内　　　　 B．点A在圆上

C．点A在圆外  D．不能确定

【解析】 d＝3 cm＜4 cm＝r，所以点A在⊙O内．

2．已知⊙O的半径为5 cm，P为⊙O外一点，则OP的长可能是(　D　)

A．5 cm　　B．4 cm　　C．3 cm　　D．6 cm

3．矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是(　C　)

A．点B，C均在圆P外

B．点B在圆P外，点C在圆P内

C．点B在圆P内，点C在圆P外

D．点B，C均在圆P内

【解析】 如图所示．

因为AP＝AB＝×8＝2，AD＝BC＝3，

所以PD＝＝＝7，

PB＝8－2＝6，

所以PC＝＝＝9.

因为PB＜PD＜PC，

所以点B在圆P内，点C在圆P外，故选C.

4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图24－2－1所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(　B　)

A．第①块  B．第②块

C．第③块  D．第④块

【解析】 根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”知所带的碎片必须含有圆弧的部分，只有②符合．

图24－2－1

图24－2－2

5．如图24－2－2，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝110°，则∠C的度数为(　A　)

A．55°  B．70°  C．60°  D．45°

6．[2012·攀枝花]下列四个命题：

①等边三角形是中心对称图形；

②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；

③三角形有且只有一个外接圆；

④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．

其中真命题的个数有(　B　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

【解析】 ∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴①是假命题；

如图，AB＝AE，但∠C和∠D不相等，∴②是假命题；

三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，∴③是真命题；

垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，

∴④是真命题．

7．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是(　D　)

A．(2，3)  B．(3，2) 

C．(1，3)  D．(3，1)

【解析】 作弦AB，AC的垂直平分线，交点即为圆心．

8．一个三角形的外心在三角形的内部，则这个三角形是(　C　)

A．任意三角形　　　　  B．直角三角形

C．锐角三角形  D．钝角三角形

9．已知⊙O的半径为10 cm，点P到圆心的距离为d cm，

(1)当d＝8 cm时，点P在⊙O__内__；

(2)当d＝10 cm时，点P在⊙O__上__；

(3)当d＝12 cm时，点P在⊙O__外__．

10．图24－2－3中，△ABC的外接圆的圆心坐标是__(5，2)__．

图24－2－3

【解析】 分别作BC，AB的垂直平分线，交点坐标即为所求．

11．已知线段AB＝6 cm.

(1)画半径为4 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__2__个；

(2)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__1__个；

(3)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__0__个．

图24－2－4

12．如图24－2－4，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5 cm，AC＝10 cm，CD为中线，以C为圆心，以 cm为半径作圆，则点A，B，D与⊙C的位置关系如何？

【解析】 要确定点A，B，D与⊙C的位置关系，需计算出这些点与点C的距离，再与⊙C的半径作比较即可．

解：∵△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，

∴BC2＋AC2＝AB2，

∴AB＝＝＝5(cm)．

∵CD为斜边上的中线，

∴CD＝AB＝ cm.∵CA＝10 cm＞ cm，

∴点A在⊙C外；而CB＝5  cm＜ cm，

∴点B在⊙C内；

又CD＝ cm，∴点D在⊙C上．

13．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是__10或8______．

【解析】 ①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长＝＝20，因此这个三角形的外接圆半径为10.综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.

14．用反证法证明：圆内不是直径的两条弦不能互相平分．

【解析】 根据反证法的一般步骤来证明．

解：如图所示，已知AB，CD是⊙O内的两条非直径弦，且AB与CD相交于点P.

求证：AB与CD不能互相平分．

证明：假设AB与CD能互相平分，则点P既是AB的中点，也是CD的中点，连接OP.

由垂径定理可知：OP⊥AB，OP⊥CD.

这表明过直线OP上一点P，有两条直线AB，CD与之垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，故假设不成立，即AB与CD不能互相平分．

图24－2－5

15．如图24－2－5，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD.

(1)求证：BD＝CD；

(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以BD为半径的圆上，并说明理由．

解：(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，

∴＝.∴BD＝CD.

(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．

理由：由(1)知＝，∴∠BAD＝∠CBD.

∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB.

∴DB＝DE.又∵BD＝CD，∴DB＝DE＝DC.

∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．

16．用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC，求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.

证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，于是∠A＋∠B＋∠C>60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾，所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.

17．如图24－2－6所示，⊙O的半径为2，弦BD＝2，A为的中点，E为弦AC的中点且在BD上，求四边形ABCD的面积．

图24－2－6

第17题答图

解：如图所示，连接OA，OB，设OA交BD于F.

∵A为的中点，∴FO⊥BD，

∴BF＝DF＝BD＝.

∵OB＝2，∴OF＝1，∴AF＝1，

∴S△ABD＝BD·AF＝×2×1＝.

∵AE＝CE，∴S△ADE＝S△CDE，S△ABE＝S△CBE，

∴S△ABD＝S△BCD，∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝2.