九年级数学上册专题七+网格坐标系中的旋转作图及旋转证明同步测试+新人教版

网格(坐标系)中的旋转作图及旋转证明

一　网格(坐标系)中的旋转作图

(教材P62习题23.1第4题)

分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形．

图1

解：逆时针旋转90°的图形如下：

教材母题答图(1)

逆时针旋转180°的图形如下：

教材母题答图(2)

【思想方法】 网格(坐标系)中旋转作图的一般步骤：(1)找出原图形中的关键点；(2)确定旋转中心、旋转角及旋转方向；(3)根据旋转的性质作出关键点的对应点；(4)按原图的关键点连接顺序连接作出的所有点，并标上相应字母．

　正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图2所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为(　D　)

图2

A．(－2，2)　　　　　B．(4，1)

C．(3，1)  D．(4，0)

【解析】 作∠BDB′＝90°，且使B′D＝BD，则B′的坐标为(4，0)．故选D.

　(1)如图3(1)，在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形方格纸中有△OAB，请将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA′B′.

(2)折纸：如图3(2)，有一张矩形纸片ABCD，要将点D沿某条直线翻折180°，恰好落在BC边上的D′处，请在图中作出该直线．

(1)

(2)

图3

解：如图所示．

(1)

变形2答图(1)

　(2)

变形2答图(2)

　如图4，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转变换得到的．

(1)请写出旋转中心的坐标是__(0，0)__，旋转角是__90__度；

(2)以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°，180°的三角形；

(3)设Rt△ABC两直角边BC＝a，AC＝b，斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．

图4

变形3答图

解：(2)画出图形如图所示；

(3)由旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．∵S正方形C C1C2C3＝S正方形AA1A2B＋4S△ABC，∴(a＋b)2＝c2＋4×ab，即a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，

∴a2＋b2＝c2.

二　旋转证明

(教材P63习题23.1第10题)

如图5，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？

图5

解：BE＝DC

证明：∵△ABD是等边三角形，

∴AB＝AD，∠BAD＝60°，

同理得AE＝AC，∠EAC ＝ 60°，

∴以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60°就得到△ADC，∴△ABE≌△ADC，∴BE＝DC.

【思想方法】 旋转前、后的图形全等，借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．

　如图6，在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是__19__．

图6

图7

　如图7，将一个钝角△ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.

(1)写出旋转角的度数；

(2)求证：∠A1AC＝∠C1.

解：(1)旋转角的度数为60°.

(2)证明：∵点A，B，C1在一条直线上，

∴∠ABC1＝180°.∵∠ABC＝∠A1BC1＝120°，

∴∠ABA1＝∠CBC1＝60°，∴∠A1BC＝60°.

又∵AB＝A1B，∴△ABA1是等边三角形，

∴∠AA1B＝∠A1BC＝60°，∴AA1∥BC，

∴∠A1AC＝∠C.∵△ABC≌△A1BC1，

∴∠C＝∠C1，∴∠A1AC＝∠C1.

　如图8(1)，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．

(1)连接BE，CD，求证：BE＝CD；

(2)如图8(2)，将△ABD绕点A顺时针旋转到△AB′D′.

①当旋转角为________度时，边AD′落在边AE上；

②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′.当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．

(1)　　　　　　　　(2)

图8

解：(1)证明：∵△ABD，△ACE，都是等边三角形，

∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，

即∠BAE＝∠DAC.

∴△BAE≌△DAC，

∴BE＝CD.

(2)①60；

②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等，证明如下：

由旋转可知AB′与AD重合，

∴AB＝BD＝DD′＝AD′，

∴四边形ABDD′是菱形，

∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝×60°＝30°，

DP∥BC.

∵△ACE是等边三角形，

∴AC＝AE，∠ACE＝60°.

∵AC＝2AB，

∴AE＝2AD′，

∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝×60°＝30°.

∵DP∥BC，

∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°.

∴BD′＝CD′.

∴△BDD′≌△CPD′.

　在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.

　(1)　　　　　　(2)　　

图9

(1)如图9(2)，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；

(2)如图9(2)，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；

(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．

解：(1)30°－α；

(2)△ABE 为等边三角形

证明：连接 AD，CD，ED

∵线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD.

则 BC ＝BD，∠DBC＝60°

又∵∠ABE＝ 60°

∴∠ABD＝ 60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－α；

且 △BCD 为等边三角形．

在 △ABD 与△ACD中　　

∴ △ABD ≌△ACD(SSS)

∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α

∵∠BCE＝ 150°

∴∠BEC＝180°－(30°－α)－150°＝α.

在 △EBC与△ABD中

∴ △ABD ≌△EBC(AAS)

∴AB＝BE

又∵∠ABE＝60°

∴△ABE为等边三角形

(3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°.

∴∠DCE＝150°－60°＝90°.

∵∠DEC＝45°.

∴ △DCE为等腰直角三角形

∴DC＝CE＝BC

∵∠BCE＝150°.

∴∠EBC＝＝15°

而∠EBC＝30°－α；

∴α＝30°.