2022-2023学年辽宁省铁岭市调兵山市第二高级中学高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省铁岭市调兵山市第二高级中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求的并集再求补集即可.

【详解】易知，则，

故选：D.

2．已知是角的终边上的点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义求解即可.

【详解】因为为角终边上的一点，

所以，，，

所以．

故选：A

3．某校有高一年级学生1000名，高二年级学生1200名，高三年级学生1100名，现用分层抽样的方法从该校所有高中生中抽取330名学生，则抽取的高三年级学生人数为（    ）

A．50 B．70 C．90 D．110

【答案】D

【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可

【详解】由题意得抽取的高三年级学生人数为

，

故选：D

4．若且是第二象限角，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式求得，再利用同角关系式即得.

【详解】由，得，

又由为第二象限角，

所以．

故选：B.

5．疫情期间，为了宣传防护工作，某宣传小组从六个社区中随机选出两个进行宣传，则该小组到社区宣传的概率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】列举出所有基本事件和满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可得结果.

【详解】从六个社区中，随机选择两个社区，有，共种结果；

其中该小组到社区宣传的结果有：，共种；

该小组到社区宣传的概率.

故选：D.

6．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】设甲、乙获一等奖的概率分别是，不获一等奖的概率是，则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：.

故选：D

【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.

7．下列结论中，正确的是(　　)

A．函数y＝kx(k为常数，且k＜0)在R上是增函数 B．函数y＝x2在R上是增函数

C．函数y＝在定义域内是减函数 D．y＝在(－∞，0)上是减函数

【答案】D

【详解】A不正确，当k＞0时，函数y＝kx在R上是增函数．B不正确，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．C不正确，如－1＜1，但f(－1)＜f(1)．D正确．故选D

8．设均为正数，且，，．则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象，

与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．

【解析】指数函数、对数函数图象和性质的应用．

【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．

【详解】

二、多选题

9．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（    ）

A．样本中女生人数多于男生人数 B．样本中层人数最多

C．样本中层次男生人数为6人 D．样本中层次男生人数多于女生人数

【答案】ABC

【解析】根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.

【详解】样本中女生人数为：，男生数为，正确；

样本中层人数为：；样本中层人数为：；

样本中层人数为：；样本中层人数为：；

样本中层人数为：；故正确；

样本中层次男生人数为：，正确；

样本中层次男生人数为：，女生人数为，错误.

故选：.

【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.

10．若函数f（x）＝tan2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，那么下列说法正确的是（    ）

A．函数g（x）的定义域为{，k∈Z}

B．函数g（x）在单调递增

C．函数g（x）图象的对称中心为，k∈Z

D．函数g（x）≤1的一个充分条件是

【答案】BD

【分析】根据平移可得的表达式，然后利用正切函数的性质进行判断即可.

【详解】由题可知：

令，即

所以函数定义域为，故A错

令

所以函数单调递增区间为，

当时，是函数的单调递增区间，故B正确

令，故函数对称中心为，故C错

所以，

所以在所求的范围之内，故D正确

故选：BD

11．若函数的两相邻对称轴之间的距离为，且时有最大值，则下列结论成立的是（    ）

A．

B．函数的一个单调递减区间为

C．函数的图象关于点对称

D．函数的图象关于直线对称

【答案】AD

【解析】通过周期性求出的值，通过最值求出的值，按照余弦函数的性质逐一判断即可.

【详解】∵相邻对称轴之间的距离为，可得周期，

即，∴，

∵时有最大值，∴，

∴，结合，∴，

∴，

∴，故A正确；

当时，，由余弦函数性质得先减后增，故B错误；

由于，故C错误；

由于，所以函数的图象关于直线对称，故D正确；

故选：AD.

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题.

12．已知向量与向量满足如下条件，其中与的夹角是的有（   ）

A．，， B．，

C．， D．，

【答案】ABC

【分析】根据向量数量积运算律和向量夹角公式可判断出AB正误；由向量夹角的坐标运算可求得CD正误.

【详解】对于A，，，

，又，，A正确；

对于B，，，

，又，，B正确；

对于C，，，，C正确；

对于D，，，，D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知，则的最小值为          .

【答案】/

【分析】利用单调性定义可判断出的单调性，进而确定最小值点.

【详解】设，

则，

，，，

在上单调递减，.

故答案为：.

14．函数的图象的对称中心为        

【答案】

【分析】根据的对称中心为可求解.

【详解】令，，解得，所以对称中心为.

故答案为: .

15．函数的定义域是        ．

【答案】

【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，利用三角函数线求出解集即可.

【详解】要使有意义，

则，即，

分别由三角函数线得，

可得故答案为

【点睛】本题主要考查三角函数函数的定义域、三角函数不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.

16．已知向量满足，且，，则与的夹角为      .

【答案】/

【分析】根据向量数量积运算律可求得，根据向量夹角公式可求得结果.

【详解】，，

，又，.

故答案为：.

四、解答题

17．在平面直角坐标系xOy中，点.

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)设实数满足，求的值.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由已知，根据给的坐标可直接表示以AB、AC为邻边的对角线的向量坐标，然后利用坐标直接计算向量的模；

（2）由已知，分别表示出，，带入给的关系式中，利用向量的数量积运算解方程即可.

【详解】（1）由已知，设以线段AB、AC为邻边的平行四边形为，

所以，，

对角线，因此；

另一条对角线，

因此；

（2）因为，所以，，

由，即，

解得．

18．将函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到的图象.

(1)求函数的解析式；

(2)当时，方程有唯一实数根，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角函数平移和伸缩变换原则可直接求得解析式；

（2）作出在上的图象，将问题转化为与有且仅有一个交点，采用数形结合的方式可求得结果.

【详解】（1）将图象向左平移个单位长度，得到，

再将图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，可得.

（2）作出的大致图象如下图所示，

当时，方程有唯一实数根，

的图象和直线有且仅有一个交点，

结合图象可知：.

19．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.

（1）求中三等奖的概率；

（2）求中奖的概率.

【答案】（1） （2）

【分析】（1）这是一个古典概型，先得到从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次的基本事件总数，再列举出的两个小球号码之和等于4或3基本事件的种数，代入公式求解.

（2）按照（1）的方法，再求得中一等奖和中二等奖的概率，然后利用互斥事件的概率，将一，二，三等奖的概率求和即可.

【详解】（1）从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次的基本事件总数为种，

取出的两个小球号码之和等于4或3基本事件有：，共7种.

所以中三等奖的概率；

（2）取出的两个小球号码之和6基本事件有：，共1种.

所以中一等奖的概率；

取出的两个小球号码之和5基本事件有：，共2种.

所以中二等奖的概率；

所以中奖的概率

【点睛】本题主要考查古典概型的概率以及互斥事件的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

20．函数的一段图像如图所示：将的图像向右平移个单位，可得函数的图像，且图像关于原点对称.

（1）求的值；

（2）求的最小值，并写出的表达式；

（3）设，关于的函数在区间上最小值为-2，求的范围.

【答案】（1），，（2）（3）

【详解】（1）由函数的最大值可得，函数的最小正周期为：，

则，当时，，

故：，令可得：.

(2)结合(1)的结论可得，

故的最小值为，将函数图象向右平移个单位可得.

(3)由题意结合(2)的结论可得：，结合函数的定义域可得：，若函数能取到最小值，则：，其中，

据此可得的取值范围是.

21．某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；

(2)已知样本中分数小于的学生有人，试估计总体中分数在区间内的人数；

(3)已知样本中有一半男生的分数小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用频率和减掉不低于的频率即可得到分数小于的频率，即为所求概率；

（2）根据频率分布直方图可计算求得样本中分数在内的人数及对应频率，由此可得总体中分数在区间内的人数；

（3）设样本中的男生人数有人，女生有人，根据分数小于分的总人数为人和样本共有人可构造方程组求得，进而结合分层抽样原则得到比例.

【详解】（1）由频率分布直方图知：样本中分数小于的频率为，

由频率估计概率，可知分数小于的概率.

（2）由（1）知：样本中分数小于的人数为人；

样本中分数在的人数为人，

样本中分数在内的人数为人，所占频率为，

总体中分数在区间内的人数为人.

（3）设样本中的男生人数有人，女生有人，

分数小于的男生有人，不小于的男生有人，女生有人，

分数小于的女生有人，又分数小于分的总人数为人，

，解得：，

样本中男女生人数之比为，

根据分层抽样原理可知总体中男生和女生人数的比例为.

22．已知函数，其中．

(1)当时，求函数的最大值和最小值；

(2)若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．

【答案】(1)最小值，最大值

(2)

【分析】（1）求出函数的解析式，根据二次函数的性质即可求解；

（2）将配方求出对称轴为，解不等式或即可求解.

【详解】（1）当时，，对称轴为

因为，

所以当时，取得最小值，

当时，取得最大值,

所以函数的最大值为，最小值为.

（2）是关于的二次函数，

它的图象的对称轴为直线．

因为在区间上是单调函数，

所以或，

即或，

又，

所以的取值范围是.