2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先化简集合，再利用集合交集的定义求解即可.

【详解】由可得，由可得或，

所以，或，

所以，

故选：B.

2．已知函数在区间上是增函数，则的范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：因为函数在区间上是增函数，而其函数的 对称轴为x=,那么可知，区间，故有，，选A.

【解析】本试题主要考查了一元二次函数的单调性的运用．

点评：解决该试题的关键是理解题目中给出的区间是二次函数单调增区间的子区间的关系即可，那么求解对称轴，得到不等式．

3．若，化简的结果是（    ）

A．5－2a B．2a－5

C．1 D．－1

【答案】C

【分析】由，得到，结合根式的运算法则，即可求解.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：C.

【点睛】本题主要考查根式的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记根式的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

4．的图像（    ）

A．关于原点对称 B．关于轴对称

C．关于轴对称 D．关于直线对称

【答案】A

【分析】将代入验证即可.

【详解】选项A：将点代入得，所以图像关于原点对称，正确；

选项B：将点代入得，所以不关于轴对称，错误；

选项C：将点代入得，所以不关于轴对称，错误；

选项D：将点代入得，所以不关于直线对称，错误；

故选：A

5．已知奇函数与偶函数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，用换，结合函数的奇偶性可得，联立解方程组即可得解.

【详解】由可得，

又分别为奇，偶函数，

所以，

由解得，

故选：C

6．用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用二分法的定义，验证各选项端点即可.

【详解】因为，，且单调递增，

即当时，，

所以零点在内，

故选：A

7．函数，是偶函数，（    ）

A．4 B．1

C．4或1 D．其他值

【答案】A

【分析】利用偶函数的定义求解即可.

【详解】因为，是偶函数，

所以解得，

所以，

故选：A.

8．设是定义在上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用偶函数的对称性和单调性列不等式组求解即可.

【详解】因为是定义在上的偶函数，且当时单调递增，

则由可得，

由即解得，

所以由不等式组可解得，

故选：D

二、多选题

9．，且，则实数a的值为（    ）

A．－ B． C． D．

【答案】ACD

【分析】分情况讨论，根据函数值求自变量即得.

【详解】当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得或（舍去）．

综上可知，实数a的值为－或或．

故选：ACD.

10．下列说法正确的是（    ）

A．已知集合，则.

B．，的否定“，”

C．若，且，则

D．函数的最小值为2

【答案】AC

【分析】根据集合交集的定义判断A，根据全称命题的否定判断B，利用不等式的性质判断C，利用均值不等式判断D.

【详解】选项A：的定义域为，值域为，所以，，，正确；

选项B：命题，的否定为，，错误；

选项C：，且，两边同除得，正确；

选项D：由均值定理，但方程即无解，所以等号不成立，最小值不为2，错误；

故选：AC

11．对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．函数是偶函数 B．方程有三个解

C．函数有3个单调区间 D．函数有最大值为4，无最小值

【答案】AB

【分析】由题意写出解析式，后画出图像，据此可得答案.

【详解】当，即或时，=；

当，即时，.

则，画出图像如下.

对于A选项，因，且，则函数是偶函数，A正确.

对于B选项，由图可得有三个解，B正确.

对于C选项，由图可得有4个单调区间，故C错误.

对于D选项，由图可得有最大值为2，无最小值，故D错误.

故选：AB

12．若关于x的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中正确的说法是（    ）

A．当时，， B．

C．当时， D．当时，

【答案】ABD

【解析】根据题意得，函数与图象有两个交点，进而数形结合即可得答案.

【详解】解：A中，时，方程为，解为：，，所以A正确；

B中，方程整理可得：，由不同两根的条件为：，所以，所以B正确.

当时，在同一坐标系下，分别作出函数和的图像，如图，

可得，所以C不正确，D正确，

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据一元二次方程的实数根求参数问题，解题的关键是将问题转化为函数与图象有两个交点问题，进而数形结合解决.考查数形结合思想和化归转化思想，是中档题.

三、填空题

13．不等式的解集为______．

【答案】

【分析】本题由于该不等式恒成立，只要使得根号有意义，即即可.

【详解】对于不等式，

，而，

故该不等式恒成立即可，

所以只要满足，

所以即可，

故答案为：

14．函数的定义域为，则函数的值域为______．

【答案】

【分析】由定义域可求出定义域，化简后再由二次函数求出值域即可.

【详解】由题意可知，要有意义，则需，即，

即函数定义域为，

又，对称轴方程为，

所以当时，，当时，，

所以函数值域为，

故答案为：

15．定义在上的函数满足：对、，且，都有成立，且，则不等式的解集为______．

【答案】

【分析】构造函数，由单调性的定义可判断得在上单调递增，再将题设不等式转化为，利用的单调性即可求解.

【详解】令，

因为对，且，都有成立，

不妨设，则，故，则，即，

所以在上单调递增，

又因为，所以，故可化为，

所以由的单调性可得，即不等式的解集为.

故答案为：

16．若函数有4个零点，则实数a的取值范围为___________.

【答案】

【分析】将函数转化为方程，作出的图像，结合图像分析即可.

【详解】令得，

作出的函数图像，如图，

因为有4个零点，

所以直线与的图像有4个交点，

所以.

故答案为：

四、解答题

17．已知二次函数满足，且该函数的图像与轴交于点，在轴上截得的线段长为，求该二次函数的解析式.

【答案】

【解析】设，令，设两根为，根据韦达定理得到；根据对称轴得到；经过点得到；联立解得答案.

【详解】设，

令，设两根为，则，

所以.

，函数图像的对称轴为直线，

因为函数图像过，所以.

解得，

所以函数的解析式为.

【点睛】本题考查了求函数解析式，意在考查学生的计算能力.

18．已知函数是定义在上的奇函数，若时，

(1)求的解析式；

(2)解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用奇函数的定义求解即可；

（2）根据的范围分类直接解不等式即可..

【详解】（1）因为当时，，

任取，则，所以，

又因为是奇函数，所以，

所以.

（2）当时，由解得，

当时，由解得，

综上的解集为.

19．已知函数

(1)求的定义域，值域；

(2)判断的奇偶性，单调性并加以证明．

【答案】(1)定义域，值域为

(2)是奇函数，的单调递增区间为和，单调递减区间为和，证明见解析

【分析】（1）根据分式有意义可求得函数定义域，由对勾函数的性质可求得值域；

（2）利用奇偶性和单调性的定义证明即可.

【详解】（1）由分式有意义可得，

在上，仅当上等号成立，

由对勾函数的对称性知：上，

综上，，

所以定义域，值域为.

（2）函数为奇函数，在(∞,3)、(3,+∞)上递增，在(3,0)、(0,3)上递减，证明如下：

因为，所以为奇函数；

任取，则，

因为，

当时，，即，单调递减；

当时，，即，单调递增，

由奇函数的对称性可得当时单调递减；当时单调递增；

综上所述的单调递增区间为和，单调递减区间为和.

20．设函数．

(1)若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；

(2)若，解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）把不等式整理为关于的不等式，然后利用其在时恒成立可得关于的不等关系从而得结论；

（2）不等式化简为，然后分类讨论求解．

【详解】（1）不等式对于实数时恒成立，

即，，

显然，函数在上递增，从而得，即，解得，

所以实数的取值范围是；

（2）不等式，即，当时，，

当时，不等式可化为，而，解得，

当时，不等式可化为，

当，即时，，，

当，即时，或，

当，即时，或，

所以，当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为.

21．新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产台设备，另需投入成本t万元，若年产量不足100台，则；若年产量不小于100台，则，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.

（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的关系式；

（2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？

【答案】（1）；（2）110台.

【解析】（1）分年产量不足100台和年产量不小于100台两种情况进行分析，利润=总收入-总投入，即得结果；

（2）讨论分段函数最值，即得结果.

【详解】解：（1）依题意，若年产量不足100台，另外投本，固定投本600万，总收入150x万元，故利润；若年产量不小于100台，另外投本，固定投本600万，总收入150x万元，故利润.

故；

（2）当时，，在对称轴处，取得最大值，；

当，时，，对勾函数在上递减，在上递增，故时，利润取得最大值，，

综上可知，当年产量为110台时，该企业所获利润最大为3660万元.

【点睛】本题解题关键是能准确根据利润=总收入-总投入，得到利润的分段函数，再求分段函数的最值即突破难点.

22．记函数在的最小值为函数.

(1)求的解析式；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二次函数轴定区间动，分类讨论，与三种情况，即可得到的解析式；

（2）先判断得的关于对称轴对称，再求得取得最小值时，的取值范围，由此得到或，解之即可得到的取值范围.

【详解】（1）因为，所以开口向上，对称轴为，

(i)当，即时，在上单调递减，所以；

(ii)当时，即时，；

(iii)当时，在单调递增，所以；

综上：.

（2）由（1）可得，，

所以函数的图像关于对称轴对称，

当时，在上单调递减，所以，

当时，在上单调递增，所以，

所以，且取得最小值时，，

因为，

所以（i），解得，

或(ii)，解得，

综上：，即.

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