2022-2023学年辽宁省铁岭市调兵山市第二高级中学高一下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省铁岭市调兵山市第二高级中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知复数z满足，则z的共轭复数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的四则运算与共轭复数的定义求解即可.

【详解】因为，所以，

所以共轭复数.

故选：D.

2．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若，，，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】由余弦定理求解即可.

【详解】由余弦定理得：，即，

解得：（舍）或，∴.

故选：C

3．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用直角三角形的边角关系，求得AE和CE的长，再利用余弦定理求得AC的长．

【详解】，，

，，，

，；

中，由余弦定理得

，

；

即两山顶A，C之间的距离为．

故选：A．

4．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：C

5．向量，，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用向量加法和数量积的坐标运算直接求解即可.

【详解】，.

故选：A.

6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ）

A．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

C．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

D．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

【答案】C

【分析】由平移变换和伸缩变换求解即可.

【详解】要得到函数，需把函数的向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出的图像.

故选：C

7．已知事件A和B相互独立，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由相互独立事件的概率乘法公式可得答案.

【详解】依题意可．

故选：A

8．在内，不等式的解集是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题首先可以求出当时的值，然后通过函数的图像以及即可得出结果．

【详解】在内，当时，或，因为，

所以由函数的图像可知，不等式的解集是，故选C．

【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，对三角函数图像的了解以及对三角函数的特殊值所对应的的角度的熟练使用是解决本题的关键，是简单题．

二、多选题

9．在中，已知，给出下列结论中正确结论是（    ）

A．由已知条件，这个三角形被唯一确定

B．一定是钝三角形

C．

D．若，则的面积是

【答案】BC

【分析】可设的周长为，则由，可将边长均用表示出来，故三角形不确定，A错误；根据三边长计算最大的角的余弦值，根据符号确定三角形是否是钝角三角形；根据边长比和正弦定理可确定；根据，求出三角形三边长，计算三角形的面积.

【详解】可设的周长为，则由，

可得，，，

又，则，，，

故三角形不确定，A错；由，为钝角，故B正确；

由正弦定理，故C正确；

由，则，得，故，由，

得，的面积是，故D错.

故选：BC

【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，是一道解三角形的综合应用题，属于中档题.

10．下列三角式中，值为1的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】对A、B、C三个选项都套用2倍角公式计算即可，D选项直接计算就可选出答案.

【详解】A选项,，故正确.

B选项，，故正确.

C选项，，故正确.

D选项，，故错误

故选：ABC

11．已知函数（，）的最小正周期为．把函数的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数为偶函数，则（    ）

A． B．是的图象的对称中心

C．在上单调递增 D．在上的值域为

【答案】BCD

【分析】由周期求得，利用平移后图象对应函数是偶函数求出，可判断选项A；然后结合正弦函数的性质判断各选项．令，代入函数可判断选项B；求出可判断选项C；整体代入法可判断选项D.

【详解】∵函数的最小正周期为，

∴，.

把函数的图象向左平移个单位长度，

得到函数的图象，

由于得到的函数为偶函数，

则，，

∴，，故A错误；

令，求得，

可得是的图象的对称中心，故B正确；

当，，

函数单调递增，故C正确；

当，，

，

∴在上的值域为，故D正确，

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的图象与性质．在求解三角函数的性质时，一般可以利用二倍角公式、诱导公式、两角和与差的正弦公式，化函数为一个角的一个三角函数形式，即形式，然后结合正弦函数的性质求解，把中的视作中的进行求解．

12．已知是边的三等分点，点在线段上，若，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据平面向量共线定理的推论，求得以及的取值范围，将转化为关于的二次函数，求其值域，即可结合选项进行选择.

【详解】因为是边的三等分点，点在线段上，

若，可得，，

故，

当时，取最大值，当或时，取最小值.

故选：.

三、填空题

13．设复数z满足（其中i是虚数单位），则      ．

【答案】

【分析】根据复数的除法运算化简，根据复数的模的计算公式求得答案.

【详解】,

故，

故答案为：

14．若，，其中，，则的值为      ．

【答案】

【分析】根据，进而利用两角和与差的余弦求得，然后求出.

【详解】因为，所以.

因为，所以.

由已知可得，，

则

.

因为，所以.

故答案为：

【点睛】方法点睛：三角函数化简求值，常用拼凑角：

（1）再利用诱导公式求值或化简时，巧用相关角的关系会简化解题过程，常见的互余关系有：与，与，与等；常见的互补关系有： 与，与等；

（2）在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：，，等等.

15．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则         ．

【答案】

【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．

【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，

又，，所以，

所以．

故答案为：．

16．已知函数的部分图像如图所示，则               .

【答案】

【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.

【详解】由题意可得：，

当时，，

令可得：，

据此有：.

故答案为：.

【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

四、解答题

17．已知角是的内角，分别是其所对边长，向量，，

（1）求角A的大小；

（2）若，求的长 .

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析：（1）根据题意，当两个向量垂直时，其数量积为0，结合三角函数的倍角公式进行运算，又，再三角函数值进行计算，从而求出角；（2）结合（1）的结果，由题意，可根据正弦定理进行运算即可.

试题解析：（1）已知

（2）  

由正弦定理得  

点睛：此题主要考查了两个向量垂直的数量积的运算，三角函数的恒等变换，以及正弦定理的应用等方面的知识，属于中高档题型，也是高频考题.在解决此类问题的过程中，三角函数的倍角公式、两角和差的正弦公式的应用起到了非常关键的作用，还要注意三角形内角的取值范围.

18．如图，在平面四边形ABCD中，，，．

(1)若，求的面积；

(2)若，求BC．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据求得，再结合求解即可

（2）设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可

【详解】（1）由可得，又故，故

（2）设，则，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化简得，即，利用降幂公式有，利用辅助角公式有，故，利用诱导公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故

19．已知，其中

（1）求的值

（2）求的值

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由，可得，两边平方后可得所求．（2）根据题意求出，然后根据求解即可．

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

所以．

（2）因为，，

其中，，

，

所以

．

【点睛】在解决三角中的给值求值问题时，解题的关键往往是要进行角的变换，将已知条件作为整体进行求解；同时在运用平方关系求三角函数值时，要注意所得结果的符号．

20．已知向量，，，且.

（1）求实数的值；

（2）求向量与的夹角.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）计算出平面向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值；

（2）利用平面向量夹角余弦的坐标表示可求得的值，结合角的取值范围可求得结果.

【详解】（1），，则，

又，且，，解得；

（2），，因此，.

【点睛】本题考查利用平面向量垂直的坐标表示求参数，同时也考查了平面向量夹角的计算，考查计算能力，属于基础题.

21．已知函数.

（1）求的最小正周期和最大值；

（2）讨论在上的单调性.

【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）在单调递增，在单调递减.

【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得的最小正周期和最大值；

（2）根据，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得的单调性.

【详解】（1）

，

则的最小正周期为，

当，即时，取得最大值为；

（2）当时，，

则当，即时，为增函数；

当时，即时，为减函数，

在单调递增，在单调递减.

【点睛】本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.

22．随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）：

（1）从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；

（2）从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；

（3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果）．

【答案】（1）；（2）；（3）青年人．

【分析】（1）用频率估计概率，直接计算；

（2）先分别求出老年人和青年人满意度的概率，然后对“抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意”分成一老年人、一青年人满意和两老年人满意讨论，进行计算即可；

（3）直接判断出青年人.

【详解】解：（1）设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为A，总人次为500人，

共抽取了100+120+150=370人次对酸奶满意，所以．

（2）由频率估计概率，由已知抽取老年人满意度的概率为，抽取青年人满意度的概率为，抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率，

，

所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为．

（3）青年人.

【点睛】(1)实际问题中一般用频率估计概率；

(2)等可能性事件的概率一般用列举法列举出基本事件,直接套公式求概率.