2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．点是角的终边上一点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义和诱导公式即可求解.

【详解】设点到坐标原点的距离为，则，

由三角函数的定义可得：，

由诱导公式可得：

故选：A.

2．复数对应的点在第四象限，则角是（   ）

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】B

【分析】利用复数的几何意义可得出，利用象限角与三角函数值符号的基本关系判断可得出结论.

【详解】因为复数对应的点在第四象限，则，

因此，角是第二象限角.

故选：B.

3．向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用平面向量数量积的坐标运算，结合投影向量公式可求得结果.

【详解】因为，，则，

所以，在方向上的投影向量为

.

故选：C.

4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状为（    ）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【分析】根据正弦定理边化角可得，利用两角和公式进行化简计算即可.

【详解】由正弦定理得：，，

，三角形内角和等于180°，，

故选：C.

5．方程在区间[0，2π）上的解的个数是

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】先利用特殊角的三角函数值求得的值，进而求得的值，对进行赋值求得在内解的个数.

【详解】依题意可知，故，当时，，故解的个数是个，故选C.

【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查正切函数有关概念及运算，属于基础题.

6．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可选择，若选择线路，甲到达最佳射门位置时，需要带球距离为（   ）

A．码 B．码

C．码 D．码

【答案】D

【分析】选择线路，设，利用基本不等式结合结合两角差的正切公式求出正切值的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得解.

【详解】若甲选择线路，设，

因为，，，

，，

所以，

，

当且仅当时，即当时，等号成立，此时，，

因此，若选择线路，甲到达最佳射门位置时，需要带球距离为码.

故选：D.

7．已知，，均为锐角，则角等于

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由同角三角函数的平方关系和的范围求出和，再利用正弦两角差公式求出，从而确定出的值.

【详解】解：因为均为锐角，所以.

又，所以.又，所以.

所以

=.

所以.

故选：.

【点睛】本题考查三角函数求值，关键是正弦两角差公式的灵活应用，属于中档题.

8．在中，角、、所对的边为、、.已知，，.设的平分线与交于点，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二倍角的正弦公式结合正弦定理可得出，利用余弦定理可得出关于的等式，解出的值，求出的值，求出的值，再利用余弦定理可求得的长.

【详解】因为，，，则，

由正弦定理可得，即，即，

代入数据可得，解得，

由余弦定理可得，

因为是角的平分线， ，

所以，所以.

在中，，

所以.

故选：C.

二、多选题

9．对于函数，下列结论正确的是（    ）

A．最小正周期为

B．函数图象的对称中心为

C．单调递增区间为

D．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到

【答案】AB

【解析】利用正弦函数的性质判断各选项．

【详解】，A正确；

，，∴对称中心是，B正确；

，，增区间是，C错；

函数的图象向左平移个单位得到图象的解析式是，D错．

故选：AB．

【点睛】关键点点睛：本题考查正弦（型）函数的性质．对函数，其性质可以利用正弦函数的性质求解，把作为中的计算可得．如对称点、对称中心，单调区间等．

10．在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是（    ）

A．，，，有两解 B．，，，有两解

C．，，，只有一解 D．，，，只有一解

【答案】CD

【分析】利用正弦定理，逐项计算判断三角形解的情况即可.

【详解】对于A，因为，，则，由正弦定理，

得，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；

对于B，，，，由正弦定理得，无解，B错误；

对于C，，，，有，则，

由正弦定理得，有唯一解，C正确；

对于D，，，，有，则，此时，有唯一解，D正确.

故选：CD

11．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】证明出当时，，利用该不等式以及二倍角的余弦公式可得出、、的大小关系.

【详解】先证明出当时，，如下图所示：

设点，设，其中，设点在轴上的射影点为，

过点作轴的垂线交射线于点，则，，，

由图可知，，即，

故当时，，

因为、，则，因为，则，

因为，则，

故选：BC.

12．在中，，，，为内任意一点（含边界），且，则的值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算、辅助角公式以及正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，即可得出合适的选项.

【详解】在中，，，，

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、，

因为为内任意一点（含边界），且，设点，

，，

所以，，

为锐角，且，

因为，则，

由可得，由得，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

又因为，，则，

故选：BCD.

三、填空题

13．求值              

【答案】/

【分析】利用三角函数诱导公式结合特殊角的三角函数值，即可得答案.

【详解】

，

故答案为：

14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则      ．

【答案】4

【分析】根据三角形的面积公式计算直接得出结果.

【详解】由题意知，，

即，解得.

故答案为：4.

15．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则         ．

【答案】

【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．

【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，

又，，所以，

所以．

故答案为：．

16．关于的方程的一个解          

【答案】（答案不唯一）

【分析】令，推导出该函数为偶函数，由原方程可得，由偶函数的基本性质可得出原方程的一个解.

【详解】令，其中，则，

所以，函数为偶函数，

由，可得，

则原方程的一个解满足，可解得.

故答案为：（答案不唯一）.

四、解答题

17．为虚数单位

(1)已知复数，求的虚部.

(2)在复数范围内解方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得结果；

（2）设，则，利用复数的四则运算以及复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出复数.

【详解】（1）解：，故的虚部为.

（2）解：设，则，

由可得，所以，，解得，

因此，或.

18．已知非零向量，满足，且.

（1）求与的夹角；

（2）若，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由，得，则，再结数量积的公式和可求得与的夹角；

（2）由，得，将此式展开，把代入可求得结果

【详解】（1）∵，∴，

∴，

∴，

∵，∴，

∴，

∵，∴与的夹角为.

（2）∵，∴，

∵，又由（1）知，

∴，∴.

【点睛】此题考查平面向量的数量积的有关运算，考查计算能力，属于基础题

19．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即、两点间的距离），取相距米的、两点作为观测点（、、、四点在同一平面内）.测得，，.测绘人员根据以上数据，先推算出、两点间的距离，然后就可以测算出、两点间的距离.请你完成以下运算.

(1)求的长（单位：米）；

(2)求水域的最大宽度的长（单位：米）.

【答案】(1)米

(2)米

【分析】（1）分析可知为等腰三角形，可得出，求出、的大小，然后利用正弦定理可求得的长；

（2）在中，直接利用余弦定理可求得的长，即为所求.

【详解】（1）解：在中，，

因为，所以，，

所以，，，

则，

在中，由正弦定理得，

得米.

（2）解：在中，由余弦定理得:

，

所以，，故水域的最大宽度为米.

20．已知向量，．

(1)若，求的值；

(2)令，把函数的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿x轴向左平移个单位长度，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)最大值，有最小值．

【分析】（1）由，求出，利用二倍角公式，再进行弦化切代入即可求得；

（2）先求出，利用整体代换，求出的最大值和最小值．

【详解】（1）因为，所以，

所以，所以．

（2）由题可得

则

当时，，当时有最大值，

当时有最小值．

21．设函数.

（1）求的最小正周期和值域.

（2）在锐角中，角､､的对边长分别为､､.若，，求周长的取值范围.

【答案】（1），（2）

【解析】（1）利用倍角公式降幂，辅助角公式化简即可求解.

(2)根据条件求出，利用正弦定理边化为角，利用三角函数的值域求解即可.

【详解】（1）

，值域为.

（2）由可得，

因为三角形为锐角，

所以即,,

由正弦定理得，

所以

因为为锐角三角形，所以，

即

解得

所以

即，

所以周长的取值范围为区间

【点睛】关键点点睛：在解三角形的周长范围时，将转化为含一个角的三角函数问题，利用三角函数的值域，求的周长的取值范围，是常用解法.

22．已知函数的图象如图所示.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作.

（i）求函数的最大值；

（ii）若函数在内恰有2015个零点，求、的值.

【答案】（1），；（2）（i）；（ii），.

【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出 ，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得函数的单调递增区间.

（2）根据函数的图象变换规律，求得的解析式.

（i）从而得到的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域求得在的最大值.

（ii）令,令，得，易知，方程必有两个不同的实数根、，由，则、异号，再分情况讨论求出求、的值.

【详解】（1）由图象可得，

最小正周期，

则，

由，

所以，，

又，则易求得，

所以，

由，，

得，，

所以单调递增区间为，.

（2）（i）由题意得，

，

所以的最大值为；

（ii）令，可得，令，

得，易知，方程必有两个不同的实数根、，

由，则、异号，

①当且或者且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；

②当且0时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；

③当且，当时，，只有一根，有两根，

所以，关于的方程在上有三个根，

由于，则方程在上有2013个根，由于方程在区间上只有一个根，方程在区间上两个根，因此，不合题意，舍去；

④当时，则，当时，只有一根，有两根，

所以，关于的方程在上有三个根，

由于，则方程在上有2013个根，由于方程在区间上有两个根，方程在区间上有一个根，此时，满足题意；

因此，，，

得，

综上，，.

【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出 ，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的增区间，函数的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.