2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．设直线l的斜率为k，且，直线l的倾斜角α的取值范围为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据直线斜率及倾斜角范围，结合倾斜角与斜率关系求直线l的倾斜角α的范围.

【详解】由，即，而，

所以.

故选：D

2．使不等式（n为正整数）成立的的取值不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据组合数公式可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围，即可得解.

【详解】在中，为正整数，，在中，为正整数，，

因为，则有，即，解得，

因此有，为正整数，所以的取值可以是或或．

故选：D．

3．5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，则不同的安排方法共有（       ）

A．30种 B．90种 C．120种 D．150种

【答案】B

【分析】由于每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，所以5名大学生分成3组为1，2，2，然后分配到三个社区即可.

【详解】因为5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，

所以5名大学生分成3组，每组的人数分别为1，2，2，

所以不同的安排方式有种，

故选：B

4．若，则（    ）

A．244 B．243

C．242 D．241

【答案】C

【分析】对偶法，结合二项式展开式的特征，各系数绝对值之和，将二项式中的改成，然后令 即可解出结果.

【详解】显然，，

令得，

故.

故选：C.

5．直线l与圆相切，且l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程不可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意，根据截距相等，设出直线方程，此时注意截距为零的时候，结合直线与圆相切的知识，可得答案.

【详解】由于直线l在x轴、y轴上的截距相等，设直线为：或，

由于直线l与圆相切，故圆心（2，0）到直线的距离等于半径，

故①，∴或，②，∴．

故直线的方程为：，，，

故选：B．

6．满足的点的轨迹是（    ）

A．圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线

【答案】C

【分析】根据题意得出点到点和到直线：的距离相等，从而可得出点P的轨迹.

【详解】依题意得，点到点和到直线：的距离相等，

又在上，所以点P的轨迹是直线，即为过点且与垂直的直线.

故选：C.

7．已知两点，，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差直线”下列直线中，不是“点定差直线”的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意，根据双曲线的定义，求得点的轨迹方程，联立直线与双曲线，求交点，可得答案.

【详解】由题意，点的轨迹是以两点为焦点的双曲线的右支，则，即方程为，

对于A，联立方程，消去可得，则，则方程无实数解，故直线与双曲线无交点，故A符合题意；

对于B，联立方程，消去可得，解得，故直线与双曲线的右支有一个交点，则B不符合题意；

对于C，联立方程，消去可得，则，解得，

由，则直线与双曲线的右支存在一个交点，故C不符合题意；

对于D，联立方程，消去可得，则，解得，

由，则直线与双曲线的右支存在一个交点，故D不符合题意.

故选：A.

8．双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】在中，利用角平分线性质定理可推出，在中，根据角平分线性质定理则利用即可求出答案

【详解】解：因为为的内心，所以是三个内角角平分线的交点，

在中，根据角平分线性质定理有

，

在中，根据角平分线性质定理有

，，

故选：B

【点睛】方法点睛：三角形内心是角平分线交点，利用角平分线性质定理得长度比，再利用双曲线的定义即可得出基本量与的关系.

二、多选题

9．下列说法正确的有（    ）

A．直线过定点

B．过点作圆的切线，则的方程为

C．圆上存在两个点到直线的距离为2

D．若圆与圆有唯一公切线，则

【答案】AC

【分析】A选项，直线化为点斜式，得到所过定点；B选项，利用圆心到直线距离等于半径求解切线方程；C选项，求出圆心到直线的距离，进而求出圆上的点到直线距离的最大值和最小值，进而得到答案；D选项，结合两圆内切，得到圆心距等于半径之差，求出的值.

【详解】直线变形为过定点，A正确；

当切线斜率不存在时，是圆的切线，当切线斜率存在时，设为，圆心到切线距离，解得：，此时的方程为，故的方程为或，B错误；

圆心到直线的距离，故圆上的点到直线距离最大值为，最小值为，故存在两个点到直线的距离为2，C正确；

圆的圆心为，半径为2，圆圆心为，半径为，要想两圆有唯一的公切线，则两圆内切，因为两圆圆心距为，所以，解得：，D错误.

故选：AC

10．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（    ）

A．若任意选科，选法总数为

B．若化学必选，选法总数为

C．若政治和地理至少选一门，选法总数为

D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为

【答案】BD

【分析】对于A，先从两科中选一科，再从4科中选2科即可，对于B，先从两科中选一科，然后从3科中选1科即可，对于C，先从两科中选一科，然后分政治和地理都选或从政治和地理中选一科即可，对于D，化学、生物都选或从化学、生物中选一科即可

【详解】若任意选科，选法总数为，A错误；

若化学必选，选法总数为，B正确；

若政治和地理至少选一门，选法总数为，C错误；

若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为，D正确．

故选：BD.

11．已知椭圆一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据题意，用表示出，，的值，再根据椭圆的定义，从而得到用表示，再分析离心率可取的值.

【详解】因为，关于原点对称，所以也在椭圆上，设左焦点为，根据椭圆的定义：，

又因为，所以，是直角三角形斜边的中点，

所以，，，所以，

所以，由于，

所以.

故选：BC

12．关于多项式的展开式，下列结论正确的是（    ）

A．各项系数之和为1

B．各项系数的绝对值之和为212

C．存在常数项

D．x3的系数为40

【答案】BCD

【分析】令，可以判断A； 多项式的展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等,可判断选项B；利用通项公式可判断C，D.

【详解】由题意令可得，各项系数之和为26，故A错误；

多项式的展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等，故令，得各项系数的绝对值之和为212，故B正确；

由，易知该多项式的展开式中一定存在常数项，故C正确；由题中的多项式可知，若出现x3，可能的组合只有和，结合排列组合的性质可得x3的系数为，

故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为_____.

【答案】

【分析】将方程化为双曲线的标准方程，再利用双曲线的定义进行求解.

【详解】将化为，

所以，，

由双曲线的定义，得：，

即，

所以或（舍）.

故答案为：.

14．把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有______种．

【答案】12

【分析】利用分步原理求解，先从3，4号球中选一个球放入1号盒子，然后剩下的3个球分别在2，3，4号盒子中各放入一个即可.

【详解】由于1号盒子不能放1号球和2号球，则1号盒子可以放3号球或4号球，有2种方法，

剩下的3个盒子各放一个球有种方法，

则由分步乘法原理可得一共有种方法．

故答案为：12

15．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，，于是．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．如图②，一个半径为3的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为_______________．

【答案】##0.75

【分析】作出截面，结合图像先在中求得，进而求得，再在求得，从而求得，又由为椭圆的一个焦点，得到，故得，由此椭圆的离心率可求.

【详解】依题意，作截面，如图所示，

圆是内切圆，圆切于，切于，，圆半径即球半径为，

所以，，

则在中，，所以，

故在中，，

所以，即，

根据椭圆在圆锥中的截面与二面球相切的切点为椭圆的焦点可知：为椭圆的一个焦点，

又因为，所以，故，

所以该椭圆的离心率为.

故答案为：.

.

16．，则_________.

【答案】－20

【分析】根据乘法分配律以及二项式展开式的特征即可求解.

【详解】由，要得，则，所以，

故答案为：

四、解答题

17．从集合中取一个数字和集合中取两个数字，问：

(1)可组成多少个三位数?

(2)可组成可重复一个数字的四位数多少个?

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先从集合中任取一个数，有种取法，再从集合中取得的两个数字中没有0和含有0，两种情况分类讨论，结合分类计数原理，即可求解；

（2）先从集合中任取一个数，有种取法，再从集合中取得的两个数字中没有0和含有0，两种情况分类讨论，结合分类计数原理，即可求解.

【详解】（1）解：从集合中任取一个数，有种取法，

若从集合中取得的两个数字中没有0，有种取法，

此时可以组成的三位数的个数为个；

若从集合中取得的两个数字中含有数字0，有种取法，

此时可以组成的三位数的个数为个，

由分类计数原理可得，共有个三位数.

（2）解：从集合中任取一个数，有种取法，

若从集合中取得的两个数字中没有0，有种取法，

可构成有重复数字的四位数的个数为个数字；

若从集合中取得的两个数字中含有数字0，有种取法，

可构成有重复数字的四位数的个数为个数字；

由分类计数原理，可得可重复一个数字的四位数个.

18．(1)经过的交点，且在轴上的截距为的直线方程；

(2)经过的入射光线，经直线反射后过点，求反射光线所在的直线方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）联立直线方程求出交点坐标，由纵截距得直线上另一个点坐标,再利用两点式求出直线方程.

（2）入射光线过点，则反射光线必过点关于直线的对称点，再利用两点式求出反射光线方程.

【详解】（1）由，解得，所以交点为，

又在轴上的截距为，所以直线过，

所以直线方程为.

故方程为：.

（2）设关于直线的对称点为

则，解得，所以对称点坐标为，

反射光线过点，，则反射光线方程为：，

故方程为：.

19．已知

(1)若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数；

(2)苦，且，求.

【答案】(1)594

(2)

【分析】（1）根据二项式系数的性质可求出，然后可求的系数；

（2）根据展开式系数特点判定系数正负去掉绝对值，然后给赋值就可求出和.

【详解】（1）由于的二项展开式中第7项的二项式系数为且最大，可得，则，所以当时，故展开式中的系数为594；

（2）若，由可知当为奇数时，即的奇次项系数为正，当为偶数时，即的偶次项系数为负，所以，又，故.

20．已知椭圆的离心率为，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设不过点的直线l与C相交于A，B两点，直线TA，TB分别与x轴交于M，N两点，且．求证直线l的斜率是定值，并求出该定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析：定值.

【分析】（1）依题意得到，再根据，即可求出，，即可求出椭圆方程；

（2）首先说明直线斜率存在，设直线、，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由，可得，即可得到，整理再将韦达定理代入，整理得，即可得证；

【详解】（1）解：由且，得，

又因为，所以，解得，，

故椭圆C的方程为；

（2）解：当直线l的斜率不存在时，设直线，

设l与C相交于，两点，

直线，直线分别与x轴相交于两点，，

因为，所以，

即，与已知矛盾，故直线l斜率存在，

设直线，代入整理得：，

设，，则，且，，

因为，所以，即，

所以，

即．

所以，

整理得：，

所以或，

当时，直线过点，不合题意，故舍去．

所以，即，即直线l的斜率是定值．

21．已知双曲线，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，设，．

(1)若，点O为坐标原点，当时，求的值；

(2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

【分析】(1)由题意知C： ，进而设直线l的方程为 ，与双曲线方程联立，结合韦达定理，向量数量积的坐标表示求解即可；

(2）设直线l的方程为），进而结合向量的坐标表示得 ， 再结合在双曲线上,推得得是方程的两根，进而得 ，证明结论.

【详解】（1）当 时 ，双曲线C：，

过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，

则直线l的斜率存在，设直线l的方程为，

与C联立得， ，

则，则 ，

由

，

可得 ，所以 ，

所以．

（2）证明：由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为 ，

则，

由 , 得 ，

所以 ， ，

 由点M在双曲线C上，可得 ，

化简得 ，

同理 ，

故是方程的两根，则为定值.

22．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5.

(1)求与的值；

(2)过点作斜率存在的直线与拋物线交于两点（异于原点），为在轴上的投影，连接与分别交抛物线于，问：直线是否过定点，若存在，求出该定点，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)，

(2)过定点，

【分析】（1）由抛物线定义，即可求出，再将点代入抛物线方程，即可求出的值；

（2）设，，，，设直线的方程为，将其代入抛物线方程，由韦达定理得到，同理可得，，由己知可得直线的方程为：，将和代入直线方程，化简整理，即可得到结果.

【详解】（1）解：（1）根据抛物线的定义得：，，

将点代入抛物线方程得：，；

（2）解：设，，，，

直线的方程为.

代入抛物线方程得：.得，

由题得，设过点的直线方程为，

代入抛物线方程得：，

∴，，

又由己知可得直线的方程为：，

整理得：，

将和代入直线方程得：，

代入上式可得：，

即，得，

所以直线过定点.