2022-2023学年辽宁省阜新市第二高级中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省阜新市第二高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．集合还可以表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由集合中的元素的范围和所需满足的条件确定集合中的元素，再利用列举法表示该集合.

【详解】集合的元素为小于等于3的全部自然数，

故；

故选：A.

2．复数（其中i为虚数单位），则（    ）

A． B．2 C． D．5

【答案】A

【分析】，根据复数的模代入计算．

【详解】∵，则

故选：A．

3．下列化简结果错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量加减法运算法则计算即可

【详解】对A，原式，正确；

对B，原式，正确；

对C，原式，正确；

对D，原式，错误.

故选：D．

4．两条异面直线，指的是（    ）

A．在空间内不相交的两条直线

B．分别位于两个不同平面内的两条直线

C．某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线

D．不在同一平面内的两条直线

【答案】D

【分析】利用空间内两条直线的位置关系判断.

【详解】对于选项A：在空间内不相交的两条直线，可能平行或异面，故错误；

对于选项B：分别位于两个不同平面内的直线，可能相交、平行或异面，故错误；

对于选项C：某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线，可能相交、平行或异面，故错误；

对于选项D：不同在任何一个平面内的两条直线，由异面直线的定义知，正确；

故选：D

5．函数的最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正切函数的性质判断即可；

【详解】解：函数的最小正周期是；

故选：B

6．在中，的对边分别是，若，则的形状是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形

【答案】C

【分析】由余弦定理确定角是钝角．

【详解】三角形中，，所以为钝角，

三角形为钝角三角形．

故选：C．

7．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】逆用两角和的正弦公式求解即可

【详解】，

故选：D

8．若，则（　　）

A．2 B．-2 C． D．

【答案】A

【分析】根据同角三角函数关系可将式子变为关于的式子，代入求得结果.

【详解】

本题正确选项：

【点睛】本题考查利用同角三角函数关系解决与、有关的齐次式问题，属于基础题.

二、多选题

9．设，则（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数 C．没有零点 D．有零点

【答案】BD

【分析】由奇偶性的定义判断函数的奇偶性，由求其零点

【详解】解：的定义域为，

因为，所以为奇函数，所以B正确；

由，即，得，所以有零点，所以D正确.

故选：BD.

10．（多选）下列说法错误的是（    ）

A．复数不是纯虚数

B．若，则复数是纯虚数

C．若是纯虚数，则实数

D．若复数，则当且仅当时，z为虚数

【答案】ACD

【分析】根据复数当且仅当时为实数、时为虚数，

当且仅当且时为纯虚数判断即可.

【详解】时，复数是纯虚数，A错误；

当时，复数是纯虚数，B正确；

是纯虚数，则即，C错误；

复数未注明为实数，D错误．

故选：ACD．

11．（多选）下列说法中不正确的是（    ）

A．棱柱的侧面可以是三角形 B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱

C．所有几何体的表面都能展开成平面图形 D．棱柱的各条棱都相等

【答案】ACD

【解析】从棱柱的定义出发，依次判断选项即可.

【详解】解：棱柱的侧面都是四边形，A不正确；

正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B正确；

不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，球不能展开成平面图形，C不正确；

棱柱的各条棱并不是都相等，应该为棱柱的侧棱都相等，所以D不正确.

故选：ACD.

【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查基本知识的熟练程度，属于基础题.

12．下列叙述中错误的是（    ）

A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反

C．若，，则 D．对任一向量，是一个单位向量

【答案】ABCD

【分析】对于A，根据向量的概念判断，对于BCD，举例判断.

【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；

由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；

对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；

对于D，当时，无意义，故D错误．

故选：ABCD

三、填空题

13．根式           ．

【答案】

【分析】根据根式的定义求解.

【详解】.

【点睛】根式，故偶次根式结果为非负数.

14．已知幂函数的图象经过点，则        ．

【答案】

【分析】根据题意，将点的坐标代入函数即可求出函数的解析式，然后将代入即可求解.

【详解】因为幂函数的图象经过点，

所以，则，所以，

则，

故答案为：.

15．已知，函数的最小值为          ．

【答案】4

【分析】利用基本不等式求得最小值.

【详解】依题意，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

16．不等式的解集为           ．

【答案】

【详解】不等式的解集为.

【考点定位】二次不等式的解法

四、解答题

17．已知函数.

(1)求，的值；

(2)求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据函数的定义，直接运算可得答案；

（2）由，，代入运算得解.

【详解】（1）因为，所以.

因为，所以.

（2）依题意，知.

18．为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t（单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下：

  (1)从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率；

(2)求频率分布直方图中的值.

【答案】(1)

(2)，.

【分析】（1）先求出样本中一周内路边停车的时间少于8小时的频率，再利用频率估计所选职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率即可；

（2）估计频率分布直方图的性质求.

【详解】（1）由已知，所选的名职工中有名职工一周内路边停车的时间少于8小时，

所以样本中一周内路边停车的时间少于8小时的频率为，

记 “从该单位随机选取一名职工，这名职工该周路边停车的时间少于8小时”为事件A，

则，

所以从该单位随机选取一名职工，所选职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率为；

（2）由频率分布直方图的性质可得，

所以，.

19．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形，且，试画出它的原图形.并求出直观和原图形的面积.

【答案】原图形见解析，原图形面积为，直观图的面积为

【分析】根据斜二测画法可得原图形，再分别求其原图形面积和直观图的面积.

【详解】如下图示，根据斜二测画法可得原图形，是纵向、横向直角边长分别为的直角三角形，

所以，原图面积为，直观图的面积为.

20．如图所示，正四棱台的高是17cm，上、下两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.

【答案】这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为

【分析】取棱台两底面的中心分别是点O和，，BC的中点分别是，E，利用四边形，都是直角梯形计算．

【详解】设棱台两底面的中心分别是点O和，，BC的中点分别是，E.连接，，，OB，，OE，则四边形，都是直角梯形，如图.

正方形ABCD中，∵，

∴，.

在正方形中，∵，

∴，.

在直角梯形中，

.

在直角梯形中，

.

故这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为.

【点睛】本题考查求正棱台的高、斜高，解题关键是掌握正棱台中的两个直角梯形：两底面中心与一条侧棱的两个顶点构成直角梯形，两底面中心与在同一侧面的上下底两边的中点构成直角梯形．

21．设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.

（1）求B的大小．

（2）若，，求b.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由正弦定理，可得，进而可求出和角；

（2）利用余弦定理，可得，即可求出.

【详解】（1）由，得，

因为，所以，

又因为B为锐角，所以．

（2）由余弦定理，可得，解得．

【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

22．已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的最大值与最小值.

【答案】（1）；（2）最大值为；最小值为.

【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简函数解析式，代入周期计算公式求解即可；（2）由x的范围求出的范围，即可根据正弦函数的单调性求得最值.

【详解】（1）因为，

所以的最小正周期为.

（2）因为，所以，

因为函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当，即时，取得最大值为；

当，即时，，

即的最小值为.

【点睛】本题考利用三角恒等变换进行化简、正弦型函数的最值，属于基础题.