2022-2023学年辽宁省大连市大连育明高级中学高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年辽宁省大连市大连育明高级中学高二下学期期中数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知等差数列的公差为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得出，即可求得结果.
【详解】设等差数列的公差为，则，
则，
故选：C.
2．有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（ ）
A．36种B．48种C．72种D．108种
【答案】B
【分析】根据捆绑法进行求解即可.
【详解】不同排法种数为种，
故选：B.
3．如图是变量，的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程；，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据，得到回归直线方程：，相关系数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得变量和呈正相关，剔除点前的拟合效果不及剔除点后的效果，由此可得结论.
【详解】解：观察题中散点图可知，变量和呈正相关关系，所以，，剔除点之后，回归模型的拟合效果更好，所以更接近于1．所以．
故选：A．
4．公元480年左右，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926到3.1415927之间，在之后的800年里祖冲之计算出的圆周率都是最准确的，所以，国际上曾提议将3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就，某老师为了帮助学生了解“祖率”，让同学们把小数点后的7个数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么得到小于3.14的不同数字个数为（ ）
A．2280B．440C．720D．240
【答案】D
【分析】只有小数点后两位为3.11或3.12时，余下的5个数全排列可得答案.
【详解】只有小数点后两位为3.11或3.12时，余下的5个数在后全排列得到的数字小于3.14，故小于3.14的不同情况有.
故选：D.
5．已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次函数性质得结论．
【详解】等差数列中，，
则，，
∴，
解得，．
∴，
∴当时，取得最小值．
故选：B．
6．6个实习老师去3个学校实习，每个学校至少去一人，每人去一个学校，有多少种安排方法？（ ）
A．540B．630
C．450D．720
【答案】A
【分析】6个人分成3组再计算每组的安排方法可得答案.
【详解】6个人分成3组，有，，三种情况，按分组有，按分组有种，按分组有，故一共有540种方法，
故选：A.
7．已知等比数列的首项为，且，，，为数列的前n项和，为数列的前n项的积，若，中仅有最小，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设数列的公比，由列方程解得，再由，即可求解的取值范围．
【详解】设数列的公比，因为，，所以
，解得
因为中仅有最小，所以，
则
所以
故选：A
8．数列满足，，则数列的前40项的和为（ ）
A．820B．840C．1860D．1880
【答案】B
【分析】由已知可得，，然后分为奇数和偶数两类，找出数列的规律，再利用此规律求解即可
【详解】由，，得，，
当时，，
当时，，
两式相加得，，
所以
，
由，得，
所以
，
所以,
故选：B
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1
B．若1，，，，4成等比数列，则实数
C．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点
D．利用来判断“两个独立事件、的关系”时，算出的值越大，判断“、有关”的把握越大
【答案】BC
【分析】根据线性相关系数的概念可知A正确；在等比数列中，所有奇数项的符号相同，所以，所以B错误；线性回归方程未必经过样本数据点，而是一定经过样本中心点，故C错误；根据独立性检验的知识，D正确.
【详解】对A：由线性相关系数的概念可知，A正确；
对B：根据等比数列的性质，等比数列的所有奇数项符号一定相同，
所以第三项一定与第一项1、第五项4的符号相同，故是错误的.
对C：线性回归方程一定经过样本中心点，不一定过样本数据点，故C错误；
对D：根据独立性检验的概念，越大，说两个独立变量没有关系得可能性就越小，
所以判断“、有关”的把握越大，故D正确.
故选：BC.
10．有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为0.06，第2台车床加工的次品率为0.05，第3台车床加工的次品率为0.08，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的0.25，0.3，0.45，现从中任意选取1个零件，则（ ）
A．该零件是由第1台车床加工的次品的概率为0.06
B．该零件是次品的概率为0.066
C．在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第2台车床加工的概率为
D．在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第3台车床加工的概率为
【答案】BCD
【分析】利用条件概率公式和全概率公式计算即可.
【详解】记事件A为“零件由第台车床加工”，记事件B为“零件为次品”，则，，，，，
，
该零件是由第1台车床加工的次品的概率，则错误；
该零件是次品的概率为
，则正确;
在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第2台车床加工的概率
，则正确;
在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第3台车床加工的概率
, 则正确；
故选：BCD.
11．网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第三个正方形MNPQ，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形ABCD的边长为a1，后续各正方形的边长依次为a2，a3，…，an，…；如图阴影部分，设直角三角形AEH面积为b1，后续各直角三角形面积依次为b2，b3，…，bn，….下列说法正确的是（ ）
A．正方形MNPQ的面积为B．
C．使不等式成立的正整数n的最大值为4D．数列的前n项和
【答案】BCD
【分析】根据题意，先求的，再对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】根据题意可得：，
故可得是首项为，公比为的等比数列，则，
则；
根据题意可得：；
对A：由可得，故正方形MNPQ的边长为，
故其面积为，故错误；
对B：根据上述求解过程，，故正确；
对C：因为是关于的单调递减函数，
又，
故不等式成立的正整数n的最大值为4，故正确；
对：，显然是首项为，公比为的等比数列，
故其前项和，故正确.
故选：.
【点睛】本题综合考察等比数列通项公式、以及等比数列前项和的求解，属综合中档题.
12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{fn}称为斐波那契数列.并将数列{fn}中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{gn}，则下列结论正确的是（ ）
A．g2019＝2
B．
C．g1+g2+g3+⋯+g2019＝2688
D．
【答案】AB
【分析】根据数列的递推关系可得各项除以4的余数为周期数列，从而可判断AC的正误，再利用数列的递推关系化简BD选项的代数式的左式，计算后可判断BD的正误.
【详解】的各项为：，
故的各项为：，
因此为周期数列且周期为6，故，故A正确.
又，故C错误.
又，
而
，
要证，
则需证：，
注意到，故即证，
结合，故即证或（注意两者等价）
即证：，
即证：，
即证：，
即证：，
即证：即证：，
依次即证：，
而，故成立，
故成立即成立，故B正确.
因为，故，
所以，
所以，
故.
但，
故不成立.
故选：AB.
【点睛】方法点睛：对于与数列有关的数学文化题，我们首先要弄清楚数列的递推关系，而且需要对要研究的新的关系进行合理变形，必要时需利用反证法.
三、填空题
13．袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是 .
【答案】/0.6
【分析】先设事件A、B，写出，；再利用条件概率计算公式计算即可得出答案.
【详解】用A表示事件“从中任意取出一球，它不是白球”，用B表示事件“从中任意取出一球，它是黑球”.
则，
所以
故答案为：
14．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】利用 求解
【详解】数列的前n项和，
可得；
时，，不满足，
则，
故答案为：.
15．小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是 元.
【答案】6250
【分析】根据等额本息还款法，列出方程，利用等比数列前项和即可求解.
【详解】设每年还款的金额为，由题意可知：，所以
故答案为：6250
16．已知数列中，，且点，，与直线的方向向量共线，若函数（，且），则函数的最小值是 .
【答案】
【分析】根据向量与直线方向向量共线可得，由等差数列的定义及通项公式可求解，把表示出来，做差判断单调性，利用单调性求解.
【详解】因为与直线的方向向量共线，
所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
故，
，
，（，且）
（ ，且）是增函数，
故的最小值是
故答案为：
四、解答题
17．若.求：
(1)；
(2).
【答案】(1)-65
(2)
【分析】（1）令，可得，再令，即可求解；
（2）分别令和，两式相加即可求解.
【详解】（1）令，可得，
令，可得，①
∴；
（2）令，可得，②
①②两式相加，可得.
18．已知数列的前n项和为，，.
(1)证明：是等差数列；
(2)设数列的前n项和为，从下面两个条件中任选一个，证明：.
①；②.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件得到，利用与的关系得到，从而得到，根据等差数列的定义即可证明；
（2）根据条件中，令，求得首项，再根据（1）得到和，
若选①，得到，根据数列的裂项相消求和得到，即可求解；
若选②，得到，根据数列的裂项相消求和得到，即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
两式相减得，
即.
因为，
所以，
所以数列是公差为2的等差数列.
（2）令中的，得，
又，
所以.
若选①，，
所以
.
若选②，则，
则，
所以
.
19．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：
（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解“(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类，完成列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？
（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同名男性调查员一起组成3个环保宣传队.若从这中随机抽取3人作为队长，且男性队长人数占的期望不小于2.求的最小值.
附：
临界值表：
【答案】（1）0.6（2）填表见解析；有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关（3）
【解析】（1）根据频数分布表统计出得分不低于60分的人数，即可求出结论；
（2）根据频数分布表提供的数据，列出列联表，根据公式求出的观测值，结合临界值表，即可得出结论；
（3）分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人，求出随机变量的所有可能值的概率，得出随机变量分布列，求出期望，根据已知建立的不等式关系，求解即可.
【详解】解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为
故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6.
（2）由题意得列联表如下：
的观测值
因为5.542>3.841
所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关.
（3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
其中，
所以随机变量的分布列为
可得，
，
，解得，
的最小值为.
【点睛】本题考查独立性检验、随机变量分布列和期望，注意随机变量概率的求解，考查数学计算能力，属于中档题.
20．网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.年初以来，我国网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市网络服务质量的满意程度，从使用了手机的市民中随机选取了人进行了问卷调查，并将这人根据其满意度得分分成以下组：、、、、，统计结果如图所示：
（1）由直方图可认为市市民对网络满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.若市恰有万名手机用户，试估计这些手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
（2）该调查机构为参与本次调查的手机用户举行了抽奖活动，每人最多有轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，若中奖，奖金为元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动.
（ⅰ）求小王获得元话费的概率；
（ⅱ）求小王所获话费总额的数学期望（结果精确到）.
参考数据：若随机变量z服从正态分布，即，则，.
【答案】（1）人；（2）（ⅰ），（ⅱ）元.
【分析】（1）计算出样本的平均数，可得出，结合参考数据可求得，乘以可得结果；
（2）（i）由题意可知，小王获得元话费表明其前轮连续中奖且第轮未中奖，利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（ii）由题意可知的可能取值有、、、、、、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，结合离散型随机变量的期望公式与错位相减法可求得结果.
【详解】解：（1）由题意知样本平均数为，，
，所以，，
而，
故万名手机用户中满意度得分位于区间的人数约为（人）；
（2）（ⅰ）小王获得元话费表明其前轮连续中奖且第轮未中奖，故所求的概率为；
（ⅱ）由题意可知的可能取值有、、、、、、、、、、，即，，，
当，时，，说明小王前轮连续中奖且第轮未中奖，此时，
又满足，，
所以，，
所以，
令，则，
上述两个等式相减得，
化简得，所以，（元）.
【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
21．近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售．为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随机摘取150个苹果测重（单位：克），其重量分布在区间内，根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图．
（1）以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了5个苹果，求这5个苹果中重量至少有一个在一个在内的概率．
（2）小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏．该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格（第0格）开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格（从第k格到第格，），若掷出2点，即从当前位置向前行进两格（从第k格到第格，），行进至第31格（获得福袋）或第32格（谢谢惠顾），游戏结束．设买家行进至第i格的概率为，．
（i）求、．
（ii）说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家．
【答案】（1）；（2）（i），，（ii）小张网店推出的此款游戏活动是更有利于买家．
【解析】（1）由频率分布直方图可知一个苹果重量在内的概率为0.28，由对立事件的概率及独立重复试验可求解；
（2）( i )由当前格在第0格，且第一次抛掷骰子，结果为1，可求得；由当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，和当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，这两个互斥事件的和事件的概率公式可求得;分两种情况可求得：①当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为2，②当前格在第格，掷一次骰子，结果为1.
（ii）根据（i）的递推关系可求得，由此可得 ,根据可求得，再比较大小可得答案.
【详解】（1）由频率分布直方图可知苹果重量在内的概率为0.28，
所以不在的概率为，购买5个所得重量相当于5次独立重复试验，
故这5个苹果中重量至少有一个在内的概率为
（2）（i）买家要行进至第1格的情况只有一种：买家第一次抛掷骰子，结果为1，行进至第一格，其概率为，则；
买家要行进至第2格的情况有以下两种：
①当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，行进至第2格，其概率为；
②当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，行进至第2格，其概率为；
所以．
（ii）买家要行进至第i格（）的情况有以下两种：
①当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为2，行进至第i格，其概率为；
②当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为1，行进至第i格，其概率为；
所以．
，
即，
又，
所以数列是首项为，
公比为的等比数列．所以，
所以
．
即．
所以买家行进至第31格（获得福袋）的概率为
；
又买家行进至第32格（谢谢惠顾）的概率为
，
由于，
所以买家行进至第31格的概率大于行进至第32格的概率，即小张网店推出的此款游戏活动是更有利于买家．
【点睛】本题解决n次独立重复试验问题，根据题意，含有至少这样问题的概率，可利用对立事件求解，比较简洁，本题购买一个苹果落在要求范围内的概率为0.28,则不落在该范围的概率为0,72，利用对立事件转化为.
22．设数列满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若数列满足，是否存在实数，使得数列是单调递增数列?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
(3)对于大于2的正整数（其中），若、、三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
(3)
【分析】（1）根据题意，结合递推公式以及等比数列定义，即可求证；
（2）根据题意，通过对进行讨论，结合作差法，即可求解；
（3）根据题意，分别对、、三个数不同排序进行讨论，即可求解.
【详解】（1）证明：根据题意，由，
得，即，
又，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）依题意，
则.
若存在，则对恒成立.
①当奇数时，，其中当时，，故；
②当为偶数时，，其中当时，，故.
综上所述，存在实数，使得数列是单调递增数列.
（3）由（1）知，、、这三项经适当排序后能构成等差数列，
①若，则，∴，
又，∴，∴；
②若，则，∴，
左边为偶数，右边为奇数，∴不成立；
③若，同理也不成立.
综合①②③得，.
得分
男性人数
40
90
120
130
110
60
30
女性人数
20
50
80
110
100
40
20
不太了解
比较了解
男性
女性
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
不太了解
比较了解
总计
男性
250
330
580
女性
150
270
420
总计
400
600
1000
0
1
2
3