2022-2023学年辽宁省阜新第二高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省阜新第二高级中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  集合还可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数其中为虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列化简结果错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  异面直线是指(    )

A. 空间中两条不相交的直线 B. 平面内的一条直线与平面外的一条直线
C. 分别位于两个不同平面内的两条直线 D. 不同在任何一个平面内的两条直线

5.  函数的最小正周期是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  中，、、的对边分别是、、，若，则的形状是(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或直角三角形

7.  (    )

A.  B.  C.  D.

8.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  设，则(    )

A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 没有零点 D. 有零点

10.  下列说法错误的是(    )

A. 复数不是纯虚数
B. 若，则复数是纯虚数
C. 若是纯虚数，则实数
D. 若复数，则当且仅当时，为虚数

11.  下列说法中不正确的是(    )

A. 棱柱的侧面可以是三角形 B. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C. 所有几何体的表面都能展开成平面图形 D. 棱柱的各条棱都相等

12.  下列叙述中错误的是(    )

A. 若，则
B. 若，则与的方向相同或相反
C. 若，，则
D. 对任一向量，是一个单位向量

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  根式______．

14.  幂函数的图象经过点，则值为______ ．

15.  已知，函数的最小值是______ ．

16.  不等式的解集为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数．
求，的值；
求的值．

18.  本小题分
为推动文明城市创建，提升城市整体形象，年月日盐城市人民政府出台了盐城市停车管理办法，年月日起施行．这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评．现从某单位随机抽取名职工，统计了他们一周内路边停车的时间单位：小时，整理得到数据分组及频率分布直方图如下：

从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于小时的概率；
求频率分布直方图中，的值．

19.  本小题分
如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形，且，试画出它的原图形并求出直观和原图形的面积．

20.  本小题分
一个正四棱台的高是，上、下底面边长分别为和求这个棱台的侧棱长和斜高．

21.  本小题分

设锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，．

求的大小．

若，，求．

22.  本小题分
已知函数
求的最小正周期；
求在区间上的最大值与最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合的元素为小于的全部非负整数，
则；
故选：．
根据题意，分析可得集合的元素为小于等于的全部正整数，列举法表示该集合即可得答案．
本题考查集合的表示方法，要灵活掌握集合的表示方法．
 

2.【答案】 

【解析】解：复数其中为虚数单位，则．
故选：．
利用复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数模的求法，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量线性运算的应用，属于基础题．
利用平面向量线性运算对四个选项依次化简判断即可．

【解答】

解：对于选项A，，故正确；
对于选项B，，故正确；
对于选项C，，故正确；
对于选项D，，故错误；
故选D．

4.【答案】 

【解析】解：不正确，因为空间中两条不相交的直线可能平行．
不正确，因为平面内的一条直线与平面外的一条直线可能平行，也可能相交．
不正确，因为分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行，也可能相交．
D 正确，这就是异面直线的定义．
故选 D．
依据异面直线的定义，逐一分析研究各个选项的正确性，可以通过举反例的方法进行排除．
本题考查异面直线的定义，用举反例的方法判断一个命题是假命题，是一种简单有效的方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：由正切函数的周期公式得函数的最小正周期是；
故选：．
根据正切函数的周期公式进行求解即可．
本题主要考查函数周期的计算，利用正切函数周期公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：中，由可得，故C为钝角，
故的形状是钝角三角形，
故选：．
由条件利用余弦定理求得，故C为钝角，从而判断的形状．
本题主要考查余弦定理的应用，判断三角形的形状的方法，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
由条件利用本题主要考查两角和差的正弦公式，求得所给式子的值．
本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由于：，
故：，
故选：．
直接利用三角函数关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：的定义域为，且，
是奇函数，
令得，，，
有零点．
故选：．
可看出是奇函数，且有零点，这样即可得出正确的选项．
本题考查了奇函数的定义及判断，函数零点的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，时，复数是纯虚数，A错误；
当时，复数是纯虚数，B正确；
是纯虚数，则即，C错误；
复数，，未注明为实数，D错误．
故选：．
根据复数当且仅当时为实数、时为虚数，当且仅当且时为纯虚数判断即可．
本题主要考查了复数的基本概念的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，棱柱的侧面都是四边形，不正确；
对于，正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B正确；
对于，不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，球不能展开成平面图形，不正确；
对于，棱柱的各条棱并不是都相等，应该为棱柱的侧棱都相等，所以不正确，
故选：．
从棱柱的定义出发，依次判断选项即可．
本题考查棱柱的结构特征，考查基本知识的熟练程度，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；
由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；
对于，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；
对于，当时，无意义，故D错误．
故选：．
A.根据向量的定义即可判断的正误；
B.根据平行向量的定义即可判断的正误；
C.，不共线时，可判断出的正误；
D.时，可判断出的正误．
本题考查了向量和平行向量的定义，零向量的定义及零向量的方向，单位向量的定义，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
利用根式的运算性质即可得出．
本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：令幂函数解析式为，又幂函数的图象过点，
，，
幂函数的解析式为，
．
故答案为：．
由题意，利用幂函数的定义和性质，先求出函数的解析式，可得的值．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，当且仅当时取等号，
函数的最小值是
故答案为：
根据基本不等式的性质即可得到
本题主要考查了基本不等式，关键是等号成立的条件，属于基础题
 

16.【答案】 

【解析】解：方程的两根为，，
且函数的图象开口向上，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
先求相应二次方程的两根，根据二次函数的图象即可写出不等式的解集．
本题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类题目的关键，解二次不等式的基本步骤是：求二次方程的根；作出草图；据图象写出解集．
 

17.【答案】解：．
，
．
，
． 

【解析】利用函数的性质直接求解；
把代入，能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

18.【答案】解：记“从该单位随机选取一名职工，这名职工该周路边停车的时间少于小时”为事件，
则；
，
 

【解析】职工路边停车时间小于小时的频数为，样本容量为，故估计这名职工一周内路边停车的时间少于小时的概率；
根据频率分布直方图中的纵坐标表示计算即可．
本题考查了频率分布直方图的识别和应用，考查了样本估计总体思想的应用，属于基础题．
 

19.【答案】解：根据题意，直观图为等腰直角三角形，且，则，
其面积．
在如图所示的图形中画相应的轴、轴，使 与重合；
在轴上取，使，在轴上取，使；
连接，则就是原图形．
原图的面积． 

【解析】根据题意，有三角形面积公式求出直观图的面积，由斜二测画法分析原图，进而求出其面积，即可得答案．
本题考查斜二测画法，涉及原图与直观图的面积计算，属于基础题．
 

20.【答案】解：如图所示，设棱台的两底面的中心分别是、，和的中点分别是和，
连接、E、、、、，
则四边形和都是直角梯形．
，，
，，
 ， ，
，
，
，．
这个棱台的侧棱长为，斜高为． 

【解析】设棱台的两底面的中心分别是、，和的中点分别是和，连接、E、、、、，则四边形和都是直角梯形．由此能求出这个棱台的侧棱长和斜高．
本题考查棱台的侧棱长和斜高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正四棱台的结构特征的合理运用．
 

21.【答案】解：锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，．
，
角是的内角，，，
是锐角三角形，．
，，，
．
解得． 

【解析】本题考查三角形中角的大小的求法，考查三角形的边长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由，利用正弦定理得，从而，由此能求出．
由余弦定理得，由此能求出．
 

22.【答案】解：，所以，函数的最小正周期为；
因为，所以，，
当时，即当时，函数取得最大值；
当时，即当时，函数取得最小值，且最小值为． 

【解析】利用辅助角公式对函数的解析式进行化简，利用周期公式可求出函数的最小正周期；
由可求出角的取值范围，借助三角函数图象可求出函数的最大值和最小值．
本题考查三角函数的最值，对三角函数解析式进行化简变形，是解本题的关键，属于中等题．