辽宁省大连市大连育明高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题(无答案)

大连育明高级中学2022～2023学年（下）期中考试

高一数学试卷

命题人：王昕  校对人：王悦

满分150分  时间120分钟

注意事项：

1．答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴在答题卡上指定位置．

2．选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．

3．非选择题，用黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效．

4．画图清晰，并用2B铅笔加深．

第Ⅰ卷（共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列说法错误的是（    ）

A．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是

B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于

C．经过4小时，时针转了120°

D．若角和角的终边关于对称，则有，

2．等腰三角形的底和腰之比为（黄金分割比）的三角形称为黄金三角形，它被称为最美的三角形．如图，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，且黄金三角形的顶角．根据这些信息，可求得的值为（    ）

A． B． C． D．

3．设函数是定义在上的奇函数，满足，若，，则实数的取值范围是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车每秒转动，如图1所示，盛水桶在处距水面的距离为，后盛水桶到水面的距离近似为（取）（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（    ）

A． B． C． D．2

6．已知函数（）在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：

①在区间上有且仅有3个不同的零点；

②的最小正周期可能是；

③的取值范围是；

④在区间上单调递增．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①④  B．②③ C．②④ D．②③④

7．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8．已知、、分别是的三边、、上的点，且满足，，，（），，则（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．

9．已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，．则下列结论正确的是（    ）

A．面积的最大值为 B．的最大值为

C． D．的取值范围为

10．已知函数在区间（）上的最大值为，最小值为，令，则下列结论中正确的是（    ）

A．  B．当时，（）

C．的最大值为1  D．的最小值为

11．已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（    ）

A．若，则是等腰三角形

B．若，则为锐角三角形

C．若是所在平面上一定点，动点满足，，则直线一定经过的内心

D．若，，为，面积，则

12．若，则下列说法错误的是（    ）

A．的最小正周期是

B．的对称轴方程为（）

C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（）

D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则

第Ⅱ卷（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷纸的相应位置上．

13．国际数学家大会已经有了一百多年历史，每届大会都是吸引当时世界上研究各类数学和相关问题的世界顶级科学家参与．21世纪的第一次国际数学家大会在我国北京举行，有来自100多个国家的4200多位数学家参加了本次大会．这次大会的“风车”会标取材于我国古代数学著作《勾股圆设方图》，该弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且大正方形与小正方形面积之比为25:1，则______．

14．已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，则实数的值是______，向量的取值范围是______．

15．已知，若对任意实数恒成立，则实数应满足的条件是______

16．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的有______

①若为的垂心，，则

②若为边长为2的正三角形，则的最小值为

③若为锐角三角形且外心为，且，则

④若，则动点的轨迹经过的外心

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知向量，．

（1）若，求的值；

（2）若，，求的值．

18．（本小题满分12分）

在中，，，分别是角，，的对边，并且．

（1）已知______，计算的面积；

请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．

（2）求的最大值．

19．（本小题满分12分）

已知向量，，函数．

（1）求函数的解析式和对称轴方程；

（2）若、、，分别为三个内角，，的对边，，，；

（3）若时，关于的方程（）恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值．

20．（本小题满分12分）

如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的跑道，这条跑道一共由三个部分组成，共中第一部分为曲线段，该曲线段可近似看作函数（，，），的图象，图象的最高点坐标为．第二部分是长为1千米的直线段，点横坐标为1，轴．跑逆的最后一部分是以为圆心的一段圆弧．

（1）若新校门位于图中的点，其距离且线段的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于点的万象楼，求该学生走过的路的长；

（2）如图，点在弧上，点和点分别在线段和线段上，若平行四边形区域为学生的休息区域，记，请写出学生的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值．

21．（本小题满分12分）

已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．

（1）若存在，使等式成立，求实数的最大值和最小值；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知函数（，）的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．

（1）求函数的解析式；

（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；

（3）将函数的图象向右平移个单位，再把所得的图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，将得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与的值．