2022-2023学年陕西省宝鸡市千阳县中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年陕西省宝鸡市千阳县中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.

【详解】，所以该复数对应的点为，

该点在第一象限，

故选：A.

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】

故选 ：C

3．在中，点D在边AB上，．记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．

【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，

所以．

故选：B．

4．中角，，所对边的长分别为，，.向量，.若，则角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由向量共线可得，然后由余弦定理可得答案.

【详解】因为向量，，，

所以，即，

由余弦定理可得，

因为，所以，

故选：B

5．正方体的棱长为1，则它的内切球与外接球的表面积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由正方体的特征得出内切球和外接球的半径，进而由表面积公式求解.

【详解】由题意可知，它的内切球和外接球的半径分别为.

则它的内切球与外接球的表面积之比为.

故选：C

6．如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（    ）

A． B． C．16 D．8

【答案】B

【分析】根据斜二测画法规则求出，判断的形状，确定，由此求出原四边形的面积.

【详解】在正方形中可得，

由斜二测画法可知，，

且，，

所以四边形为平行四边形，

所以．

故选：B.

7．下列各个图形中，异面直线的画法不妥的是

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】利用异面直线的定义分析判断．

【详解】解：观察四个选项，

A、B、D中都有明显地看出a，b既不相交，又不平行，是异面直线，

在C中，给人的感觉是直线a，b虽然分别位于不同的平面α和β，但是a，b分别与α与β的交线平行，由平行的传递性知a与b平行，所以a，b不是异面直线．

故C的画法不妥．

故选：C．

8．已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（    ）

①，；

②，；

③，；

④，；

⑤，，．

A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤

【答案】A

【分析】分析各直线，平面的关系即可得出结论.

【详解】由题意，

①，，故，故正确；

②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；

③，则或，故错误；

④，；则与可能平行或相交，故错误；

⑤，，，由线面平行的判定定理可得，故正确.

故选：A.

二、多选题

9．下列是基本事实的是（    ）

A．过三个点有且只有一个平面

B．平行于同一条直线的两条直线平行

C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

【答案】BCD

【分析】根据基本事实判断即可.

【详解】对于A，基本事实1是过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，故A错误；

对于B，“平行于同一条直线的两条直线平行”是基本事实4，故B正确；

对于C，“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”是基本事实2，故C正确；

对于D，“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是基本事实3，故D正确.

故选：BCD

10．已知为坐标原点，点，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：，，所以，，故，正确；

B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；

C：由题意得：，，正确；

D：由题意得：，

，故一般来说故错误；

故选：AC

11．在空间中，下列命题为假命题的是（    ）

A．若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；

B．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直；

C．若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直；

D．若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.

【答案】ABC

【分析】ABC均可举出反例，D可利用线面平行的性质及线面垂直的性质进行证明.

【详解】A选项，若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线异面，平行或相交，

如图1，直线⊥，⊥，但与异面，故A错误；

B选项，如图2，，，则，

故两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面不一定垂直，B错误；

C选项，如图3，平面与平面垂直，交线为，

则过平面内一点的直线m垂直于交线，但m与另外一个平面平行，C错误；

选项D，如图4，直线，直线⊥，则，理由如下：

因为，，，所以，

因为⊥，，所以⊥，故，证毕.

若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，D正确

故选：ABC.

12．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是（    ）

A． B．与所成的角为60°

C．与是异面直线 D．平面

【答案】ACD

【分析】将平面图形还原为立体图形，，，A正确B错误，观察知C正确，根据平面平面得到D正确，得到答案.

【详解】如图所示，将平面图形还原为立体图形，根据正方体的性质知：

，，故，A正确B错误；

与是异面直线，C正确；

平面平面，平面，平面，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为     .

【答案】-8

【分析】由题得存在实数λ，使得，把代入计算即得解.

【详解】因为不能作为一组基，

所以存在实数λ，使得，

即，

则6λ=3，且kλ=-4，解得λ=，k=-8.

故答案为：

14．若是实系数方程的一个根，则           .

【答案】

【分析】由实系数方程复数根的性质及根系关系求出a、b，即可得结果.

【详解】由题意，方程的另一个根为，

所以，即，又，

所以.

故答案为：

15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则        ．

【答案】

【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.

【详解】由题意，，

所以，

所以，解得（负值舍去）.

故答案为：.

16．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为          ．

【答案】

【分析】由条件球的半径与圆柱底面圆半径相同，故球的半径为3，进而得圆柱的高，代入体积公式求解．

【详解】设圆柱的底面半径为，球的半径为．由条件有：，圆柱的高为，

所以圆柱的体积为．

故答案为：

四、解答题

17．已知非零向量，夹角为，且．

(1)当时，求；

(2)若，且，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量数量积运算公式和夹角余弦公式进行求解；（2）根据向量垂直得到，再求出，进而求出

【详解】（1）当时，，

所以，

∵，

∴；

（2）∵，∴，即

∴，

∵，∴

∴

18．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；

（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.

【详解】（1）由正弦定理可得：，

，

，.

（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式

由余弦定理得：，

即.

（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为.

[方法二]：正弦化角（通性通法）

设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．

[方法三]：余弦与三角换元结合

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，

所以周长的最大值为．

【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；

方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.

方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.

方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，PA=4，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．

(1)求异面直线BC与PD所成角的正切值；

(2)求证：CD⊥PE．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意得到或其补角为异面直线与所成角，再求其正切值即可.

（2）连接，根据题意易证平面，再利用线面垂直的性质即可证明.

【详解】（1）因为，所以，

所以或其补角为异面直线与所成角.

因为平面，平面，所以，

所以，即异面直线与所成角正切值为

（2）连接，如图所示：

因为，，所以，

因为，为中点，所以.

因为平面，平面，所以，

又因为，平面，所以平面.

因为平面，所以.

20．如图，已知正方体的棱长为分别是的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)求证：平面；

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用正方体的性质及线面平行的判定定理可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即得；

（2）利用线面平行的判定定理即得.

【详解】（1）由正方体的性质可得，

∴四边形为平行四边形，

∴，平面，平面，

∴平面，

同理可得平面，又平面，

∴平面平面；

（2）因为分别是的中点，

所以，又，

∴，又平面，平面，

∴平面.

21．如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点．

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）计算出点到底面的距离以及的面积，再利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.

【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，，则为的中点，

因为为的中点，则，

又因为平面，平面，所以，平面.

（2）解：在正四棱锥中，为底面的中心，则底面，

因为为的中点，则点到平面的距离为，

，

因此，.

22．如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)若AC=BC=PA，求平面PAB与平面PCB所成二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）由，结合面面垂直的判定证明即可；

（2）作辅助线，证明，由二面角的定义得出即为二面角的平面角，再由三角形的边角关系求解.

【详解】（1）平面，.

.

平面PAC，平面.

平面，平面PAC⊥平面PBC

（2）在中，取中点，连接，则.

在中，过D作于E，连接CE.

由面，得，又，且平面PAB，

故面.

所以.又，且平面CDE，故面，所以.

所以即为二面角的平面角.

设.由题可得，，由得，.

在中，，则.

即平面与平面所成二面角的大小为.