2022-2023学年陕西省宝鸡市金台区高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年陕西省宝鸡市金台区高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ）

A．相等的线段在直观图中仍然相等

B．相等的角在直观图中不一定相等

C．平行的线段在直观图中仍然平行

D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直

【答案】A

【分析】根据斜二测画法的作图规则结合反例，判断各选项.

【详解】如图：四边形为正方形，

由斜二测画法可得其直观图如下：

对于A，因为，而，

故相等的线段在直观图中仍然相等这种说法错误，A错误；

对于B，因为，而

故相等的角在直观图中不一定相等这种说法正确，B正确；

对于C，由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍然平行，C正确；

对于D，因为，而不垂直，

所以互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直这种说法正确，D正确.

故选：A.

2．已知复数，则在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据复数除法运算法则求复数的代数形式，再求其共轭复数即共轭复数的对应点的坐标，由此判断该点的象限.

【详解】由，

则，对应点位于第二象限．

故选：B．

3．如图所示，长方体中，给出以下判断，其中正确的是（    ）

A．直线与相交

B．直线与是异面直线

C．直线与有公共点

D．

【答案】D

【分析】利用异面直线的定义可以判断出A、C，利用平行四边形的性质可判断出B、D.

【详解】

对于A，面，面，且B不在AC上，

根据异面直线的定义得，直线与是异面直线，故A选项错误；

对于B，，，

四边形为平行四边形，

，即直线与平行直线，故B选项错误；

对于C，面，面，，

根据异面直线的定义得，直线与是异面直线，故C选项错误；

对于D，，，

四边形为平行四边形，

，故D选项正确；

故选：D.

4．以下结论中错误的是（    ）

A．若，则

B．若向量，则点与点不重合

C．方向为东偏南的向量与北偏西的向量是共线向量

D．若与是平行向量，则

【答案】D

【分析】利用向量共线的基本定理可判定A、C、D选项，利用向量相等的性质可以判断B选项.

【详解】对于A选项，若，则，则，故A说法正确；

对于B选项，若向量，则两向量的起点都是A，点与点不重合，故B说法正确；

对于C选项，方向为东偏南的向量与北偏西的向量可知，两个向量方向相反，是共线向量，故C说法正确；

对于D选项，若与是平行向量，则，两向量的模长不一定相等，故D说法错误；

故选：D.

5．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

6．已知非零向量满足，且，则与的夹角为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．

【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．

7．下列说法正确的是（    ）

A．多面体至少有个面

B．有个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台

C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形

【答案】D

【分析】由多面体、棱台、棱柱等几何体的定义逐项判断即可．

【详解】对于A，多面体至少有个面，故选项A错误；

对于B，有个面平行，其余各面都是梯形，但各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故选项B错误；

对于C，各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故选项C错误；

对于D，由棱柱定义知，棱柱的各侧棱平行且相等，故侧面是平行四边形，故选项D正确.

故选：D．

8．已知，以下说法中正确的是（    ）

A．的最小正周期为；

B．在上单调递增；

C．当时，的取值范围为；

D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．

【答案】B

【分析】化简函数解析式，根据三角函数的图象与性质，以及函数图像变换法则即可判断各选项的对错．

【详解】因为，

所以的最小正周期为，A不正确；

令，而在上递增，所以在上单调递增，B正确；

因为，，所以，C不正确；

由于，将其向左平移个单位长度得到的图象，

即函数的图象，D不正确．

故选：B．

二、多选题

9．已知向量，，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据数量积的坐标表示可判断A；根据向量共线的坐标表示可判断B；根据向量垂直的坐标表示可判断C；根据向量模的计算可判断D.

【详解】对于A，因为，故A错误；

对于B，因为，故与不共线，故B错误；

对于C，，所以，

所以，故C正确；

对于D，，，所以，故D错误，

故选：ABD.

10．已知点，直线，平面，下列命题中正确的是（    ）

A．若直线与无公共点，则；

B．若，，，则过点的平面有无数个；

C．若直线，则可能是异面直线；

D．若，则过直线的平面有且只有一个.

【答案】BCD

【分析】根据直线与直线的位置关系，判断AC，根据平面基本事实判断BD.

【详解】对于A，若直线与无公共点，直线与可能异面，故这种说法错误；

对于B，若，，，则过点的平面有无数个这种说法正确；

对于C，若直线，，则可能是异面直线这种说法正确；

对于D，若，则过直线的平面有且只有一个这种说法正确.

故选：BCD

11．对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ）

A．若，则

B．若，则为等腰三角形

C．若，，，则符合条件的有1个

D．若，则是锐角三角形

【答案】AC

【分析】利用三角形内角的性质，结合三角函数值可比较，即可判断A选项，根据三角函数值相等，角之间的关系，可判断B选项，利用正弦定理及大边对大角的性质判断C选项，利用正弦定理及余弦定理可判断D选项.

【详解】对于A：，当时，则；

当时，由，得，则，所以；所以A正确.

对于B：由，，，得或，

则或，所以为等腰三角形或直角三角形；所以B错误.

对于C：由正弦定理得：因为，所以，于是.则符合条件的有一个；所以C正确.

对于D：由，得，，，A、B无法判.所以D错误.

故选：AC

12．已知 中，内角所对的边分别为， 且， 则的值可能是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解判断作答.

【详解】在中，，由余弦定理得：

，即，解得或，

所以的值可能是1或2.

故选：AD

三、填空题

13．若三个平面最少可将空间分为部分，最多可将空间分为部分，则的值为_________．

【答案】4

【分析】考查空间的基本辨析，利用身边的空间图形进行分析即可.

【详解】当三个平面都平行时，可将空间分成4部分，为最少；当三个平面两两垂直时，可将空间分为8个部分，为最多，故，，，

故答案为：4.

四、双空题

14．若，满足，，则的最大值为_______，最小值为______．

【答案】     7     3

【分析】设，的夹角为，把平方后，由余弦函数性质得最值．

【详解】设，的夹角为，

当，的最大值为7，当，最小值为3．

故答案为：7；3．

五、填空题

15．已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的表面积为_________．

【答案】.

【分析】由条件列方程求出圆台的母线长，结合侧面积公式求圆台的侧面积，由此可求圆台的表面积

【详解】圆台的上底面圆半径2，下底面圆半径4，

设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，

由题意可得：，解得，

所以圆台的侧面积.

所以圆台的表面积.

故答案为：.

16．一艘船在处看到一个灯塔在北偏东方向，向东行驶后，船到达处，看到灯塔在北偏东方向，这时船与灯塔的距离为________．

【答案】

【分析】结合图形，利用正弦定理求解即可.

【详解】如图，根据题意可知，，，

在中，由正弦定理得，

即，解得.

故答案为：.

六、解答题

17．当实数取什么值时，复数是下列数？

(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数.

【答案】(1)或

(2)且

(3)

【分析】（1）令复数虚部等于0，即可求得答案；

（2）令复数的虚部不等于0，即可求得答案；

（3）根据纯虚数的概念，令实部等于0，虚部不为0，即可求得答案.

【详解】（1）由题意复数，

当，即或时，所给复数是实数.

（2）当，即且时，所给复数是虚数.

（3）当，即时，所给复数是纯虚数.

18．（1）请你用文字语言和符号语言两种形式叙述余弦定理；

（2）请你用向量法证明余弦定理.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）考查余弦定理的证明，利用教材中的证明即可；

（2）构建三角形，利用向量的性质证明即可.

【详解】（1）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.  

符号语言：                              

在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则

，，；

（2）法一 ：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，

如图设那么  

，

所以，同理得，；

法二： 已知△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，

以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则，

，

即  

同理可证，

19．（1）若，求的值;

（2）化简：.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）弦化切后代入计算；

（2）由两角和与差的正弦、余弦公式结合商数关系化简变形．

【详解】（1）                              

 （2）原式

20．已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).

(1)求证：AB⊥AD；

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)，.

【分析】（1）求出向量的坐标，利用两向量的数量积为，两向量垂直即证出两线垂直.

（2）利用向量相等对应的坐标相等求出点C的坐标，求出两对角线对应的向量坐标，利用向量的数量积公式求出向量的夹角.

【详解】（1）证明　∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，

∴＝(1，1)，＝(－3，3).

又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，

∴⊥，即AB⊥AD.

（2）∵⊥，四边形ABCD为矩形，

∴＝.

设C点坐标为(x，y)，则＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，

∴解得∴C点坐标为.

由于＝(－2，4)，＝(－4，2)，

∴·＝8＋8＝16.

又||＝2 ，||＝2 ，

设与的夹角为θ，

则＝＝，

所以矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.

21．如图，在中，是边上一点，，，.

（1）求角的大小；

（2）若，求和.

【答案】（1）；（2），.

【分析】（1）通过余弦定理即可解得答案；

（2）先通过余弦定理求出AD，进而通过正弦定理解得答案.

【详解】（1）在中，因为，，，

所以.

因为，所以.

（2）因为，，所以.

在中，由余弦定理：，得.

由正弦定理，解得：.

22．已知向量（cosx，cosx），（cosx，sinx）．

（1）若∥，，求x的值；

（2）若f（x）•，，求f（x）的最大值及相应x的值．

【答案】（1）或（2）的最大值为，此时

【分析】（1）利用向量共线得到三角方程，转化为三角函数求值问题，易解；

（2）把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值．

【详解】解：（1）∵，，

，

∴，

∴，

∴cosx＝0或，

即cosx＝0或tanx，

∵，

∴或；

（2）

∵，

∴，

∴，

∴，

故f（x）的最大值为，此时．

【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查了向量共线与数量积的坐标运算，考查转化能力与计算能力.