2022-2023学年陕西省宝鸡市千阳县高二下学期期中数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省宝鸡市千阳县高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的值的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】按题设所给公式求相应的值即可.

【详解】依题意，，因此，正常人体血液的值的范围是．

故选:D．

2．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由抛物线的性质知已知两距离的差为，由此可得结论．

【详解】由题意，．

故选：B．

3．甲、乙两人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别为0.4和0.3.现甲、乙两人各投篮一次，则两人都命中的概率为（    ）

A．0.46 B．0.12 C．0.58 D．0.7

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率乘法公式计算作答.

【详解】因为甲、乙两人投篮相互独立，投篮命中率分别为0.4和0.3，

所以甲、乙两人各投篮一次，都命中的概率为.

故选：B

4．已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数共轭复数的定义与复数的几何意义即可得解.

【详解】因为，所以，

所以在复平面内对应的点为，位于第一象限.

故选：A.

5．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用并集的定义求解作答.

【详解】集合，，所以.

故选：A

6．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】把圆方程化为标准方程，得圆心坐标和半径，求出圆心到渐近线的距离，由勾股定理可得关系，从而求得离心率．

【详解】根据题意，不妨取双曲线一条渐近线方程为，

因为圆的标准方程为，圆心是，半径是2，

所以圆心到渐近线的距离为，

所以由弦长公式得，则，即，即，故，

所以．

故选：D．

7．对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分．纠正数据后重新计算，得到平均数为，方差为，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据数据纠正前后的数据总和不变，波动性变大，结合平均数、方差的意义分析，可得结果.

【详解】因为，所以纠正数据前后的数据总和不变，故平均数不变；

但是，在对错误的数据进行纠正后，显然数据的波动性变大，故方差变大.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：依题意得出“数据纠正前后的总和不变，波动性变大”.

8．阅读如图程序框图，输出的结果i的值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．9

【答案】D

【分析】利用程序框图运行程序即可求解.

【详解】程序运行过程如下：；

因为不成立，执行第一次循环，得到：；

因为不成立，执行第二次循环，得到：；

因为不成立，执行第三次循环，得到：；

此时，跳出循环体，故输出.

故选：D.

9．三段论形式如下：因为对a，，，有，所以，以上推理过程中的错误为（    ）

推理过程中的错误为

A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．无错误

【答案】B

【分析】由题意可知，小前提中没有限定的取值范围.

【详解】根据已知条件，对a，，，故小前提中的没有限定的取值范围，故小前提错误.

故选：B

10．已知a，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先证明，再证明，即得解.

【详解】因为，且，，

如果，则；

如果，则.

综上：.

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

故选：B

11．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用正负相关与线性相关的强弱进行求解即可

【详解】都是正线性相关，

所以，

并且相关性最强，

所以；

都是负线性相关，

所以，

且相关性强，

所以，

所以；

所以；

故选：A

12．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由和的单调性可判断A；由和的单调性可判断B；由和的单调性可判断C；由和的单调性可判断D.

【详解】对于A，是定义域为的偶函数，所以，

因为，且在单调递增，所以，故错误；

对于B，因为，在单调递增，所以，故正确；

对于C，因为，所以，又因为

在单调递增，所以，故错误；

对于D， 因为，在单调递增，，故错误.

故选：B.

【点睛】比较大小的方法有：

（1）根据单调性比较大小；

（2）作差法比较大小；

（3）作商法比较大小；

（4）中间量法比较大小.

二、填空题

13．已知单位向量，的夹角为60°，则      .

【答案】

【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律计算作答.

【详解】单位向量，的夹角为60°，则，

所以.

故答案为：

14．若实数，满足约束条件，则的最小值为      .

【答案】

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求解作答.

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中，

目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，

画直线，平移直线至直线，当直线经过点时，直线的纵截距最大，最小，即，

所以的最小值为.

故答案为：

15．观察下列等式：，，，…，根据上述规律，第五个等式为       ．

【答案】

【详解】由13+23=(1+2)2=32;13+23+33=(1+2+3)2=62;13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102得,第五个等式为13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.

16．古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，······叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为     

【答案】59

【详解】由三角数规律可知，可知三角数的每一项中后一项比前一项多的点数为后一项最底层的点数，因而可知第30项比第29项点数多30个，而第29项比第28项多29个，故可求出第30个三角数比第28个三角数多的点数59个

三、解答题

17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，､分别是､的中点.

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，则三点共线，由中位线定理可得，再根据线面平行的判定定理，即可证明结果；

（2）过作底面，则且，由三棱锥的体积，即可求出结果.

【详解】（1）解：连接，则三点共线

E，F分别为PB，BD的中点

又平面，平面，

平面.

（2）解：过作底面，则且，

由于底面为正方形，，正方形的面积为，

，

三棱锥的体积.

18．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)设，，，的最小值为，若，求的最小值.

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）利用分类讨论解绝对值不等式的方法求解即可；

（2）利用一次函数的单调性，结合分段函数的性质求得，即，再利用柯西不等式即可得解.

【详解】（1）因为，

又，

所以当时，，解得；

当时，恒成立，故；

当时，，解得；

所以不等式的解集为.

（2）当时，；

当时，；

当时，；

所以，故，

由柯西不等式可得，

所以，当且仅当且，即时，等号成立，

所以的最小值为3.

19．已知直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线和曲线的极坐标方程；

(2)若射线分别交直线和曲线于、两点（点不同于坐标原点），求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出直线和曲线的极坐标方程；

（2）设点、的极坐标分别为、，求出、的值，即可得出，即可得解.

【详解】（1）解：直线的直角坐标方程为，

根据转换为极坐标方程为，

曲线的直角坐标方程为，即，

根据转换为极坐标方程为.

（2）解：设点、的极坐标分别为、，

射线与直线交于点，

故，

射线与曲线交于点，故，

故.

20．某企业投资两个新型项目，新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的关系式为，新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）有如下统计数据表：

(1)求关于的线性回归方程；

(2)根据（1）中所求的回归方程，若，两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好.

附：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

参考数据：，.

【答案】(1)；

(2)可预测项目的收益更好.

【分析】（1）根据给定的数表，结合最小二乘法公式计算作答.

（2）由已知求出项目投资60万元所得收益的估计值，再利用（1）的结论求出项目投资60万元所得收益的估计值，比较大小作答.

【详解】（1）由表中数据得，，

又，，则，则，

所以关于的线性回归方程为.

（2）新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的关系式为，

因此项目投资60万元，该企业所得纯利润的估计值为万元；

由（1）知，关于的线性回归方程为，

因此项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元，显然，

所以可预测项目的收益更好.

21．（1）用分析法证明；

（2）已知为正实数，请用反证法证明：与中至少有一个不小于2．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用分析法的证明方法，通过变形平方，推出14＜18，即可证明结果．

（2）利用反证法假设结论不成立，则，，推出矛盾结论，即可证得题中的结论．

【详解】（1）要证，

只需证，

即证，

即证，

即证14＜18，

而14＜18是成立的，，

（2）假设结论不成立，则，

，

即，

即.

即，

矛盾！故假设不成立，

与中至少有一个不小于2．

【点睛】本题考查不等式的证明，分析法以及反证法证明不等式的方法的应用，考查转化思想以及计算能力．

22．某工厂甲、乙两条生产线生产的一批电子元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机从这批元件中抽取120件元件进行检测，检测结果如下表：

(1)试估计生产一件电子元件是合格品的概率；

(2)根据下面列联表判断该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择是否有关．

附：．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）由古典概型概率公式求解；

（2）计算，即可作出判断.

【详解】（1）由题意可知，120件元件中有90件合格品，

所以估计生产一件电子元件是合格品的概率为；

（2）由已知，得，

所以有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．