2022-2023学年陕西省西安市周至县第六中学高一下学期5月期中数学试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市周至县第六中学高一下学期5月期中数学试题

一、单选题

1．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得结果.

【详解】由已知可得，因此，.

故选：C.

2．已知是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【分析】由空间线面位置关系的判定及性质依次判断即可.

【详解】对于A，若，则或，A错误；对于B，若，则或异面，B错误；

对于C，若，则或，C错误；对于D，由线面平行的性质知正确.

故选：D.

3．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（    ）

A．20 B．12 C． D．

【答案】A

【分析】根据斜二测法求得且，进而求出，即可得结果.

【详解】由题设，则原四边形中，又，

故，且，

所以四边形的周长为.

故选：A

4．已知向量，且，则实数a的值为（    ）

A．1 B． C．或-1 D．或1

【答案】C

【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算作答.

【详解】向量，又，则有，解得或，

所以实数a的值为或-1.

故选：C

5．三棱锥中，平面，，， ，则该三棱锥外接球的表面积为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：分析可知球心在的中点．因为，，所以．

所以．球的半径．所以此球的表面积为．故A正确．

【解析】三棱锥的外接球．

6．设为虚数单位，且，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】根据复数的四则运算先求出的值，然后利用复数求模的计算即可求解.

【详解】因为，则，

所以，解得：，所以，

故选：.

7．直线m与平面平行，且直线，则直线m和直线a的位置关系不可能为（    ）

A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点

【答案】C

【分析】分析得到直线m和直线a的位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，得到答案.

【详解】直线m与平面平行，且直线，则直线m和直线a的位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，

但不可能相交，因为若直线m和直线a相交，则或与相交，均与已知条件矛盾.

故选：C

8．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由求得，再用倍角公式求即可.

【详解】因为，，，

所以，即，

所以，解得或（舍），

所以，

故选：B

9．若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（    ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【分析】首先在中，取的中点，连接，根据得到，从而得到，即可得到答案.

【详解】在中，取的中点，连接，如图所示：

因为，

所以，

所以，即，即.

又因为中是否有直角不确定，和是否相等也无法确定，

所以为等腰三角形.

故选：C

10．如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由球的表面积求出球的半径，然后通过轴截面求出圆台的高，进一步求出圆台的体积.

【详解】因为圆台外接球的表面积，所以球的半径，

设圆台的上､下底面圆心分别为，在上､下底面圆周上分别取点，

连接，如图，

因为圆台上､下底面的半径分别为3和4，

所以，，

所以，,

所以，

所以圆台体积.

故选：D.

11．如图，A处为长江南岸某渡口码头，北岸B码头与A码头相距，江水向正东流.已知一渡船从A码头按方向以的速度航行，且，若航行到达北岸的B码头，则江水速度是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由力学可知的位移是由和水流合成的，故满足平行四边形法则，解这个平行四边形即可.

【详解】如图，

以方向为邻边，为对角线作平行四边形，渡船经过小时航行，即，由题意，，，由余弦定理得.所以，渡船在按方向航行时，江水向方向流，形成合位移使渡船沿到达北岸B码头，此时水流动距离为，则水流速度为，

故选：C.

12．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出直观图，找到外接球球心得球半径后可得体积．

【详解】由三视图知如图直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，设分别是的中点，则分别是两个底面的外接圆圆心，的中点是三棱柱的外接球的球心．

由三视图知，，因此，

球体积为．

故选：B．

二、双空题

13．已知复数，，则      ，      .

【答案】          0.

【分析】根据复数的除法运算法则化简，然后计算可得，使用等比数列的前项和公式计算可得结果.

【详解】因为，，

所以；

故答案为：，0.

【点睛】本题考查复数的运算以及等比数列的结合，重在计算，属基础题.

三、填空题

14．已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为           .

【答案】

【分析】利用圆锥轴截面等腰三角形特征求出圆锥的高和底面圆半径，再利用圆锥体积公式计算作答.

【详解】因圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则此等腰三角形底边上的高即为圆锥的高h，

因此，，圆锥底面圆半径，

所以圆锥的体积为.

故答案为：

15．如图，在中，向量，且，则      .

【答案】1

【分析】利用图形关系进行平面向量的线性运算求出，即可得出结果.

【详解】由题意知，

，

所以，

所以，

则，

故.

故答案为：1.

16．内角的对边分别为，若的面积为，则        

【答案】

【分析】由余弦定理可得，根据条件结合三角形的面积公式可得从而可得答案.

【详解】由余弦定理可得，所以

的面积为

所以 即，由

所以

故答案为：

四、解答题

17．已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．

(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；

(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．

【答案】(1)4

(2)

【分析】（1）根据纯虚数，实部为零，虚部不为零列式即可；

（2）根据第三象限，实部小于零，虚部小于零，列式即可 .

【详解】（1）因为为纯虚数,

所以

解得或，且且

综上可得,当为纯虚数时;

（2）因为在复平面内对应的点位于第三象限,

解得或，且

即,故的取值范围为.

18．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AA1和AB的中点．求证：

（1）D1，M，N，C四点共面；

（2）D1M、DA、CN三线共点．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）连接A1B，推出四边形A1BCD1为平行四边形，由此能证明M，N，C，D1四点共面．

（2）推导出直线D1M与CN必相交，设D1MCNK，推导出K是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点，由此能证明D1M、DA、CN三线共点．

【详解】证明：（1）连接A1B，D1C，

因为M，N分别为AA1和AB的中点，

所以MNA1B，

因为A1D1BC，A1DBC，

所以四边形A1BCD1为平行四边形，

所以A1BD1C，所以MND1C，

所以MN与D1C确定一个平面，

所以M，N，C，D1四点共面．

（2）因为MNA1B，且A1B，

所以直线D1M与CN必相交，

设D1MCNK，

因为KD1M，D1M平面AA1D1D，

所以K平面AA1D1D，

又因为KCN，CN平面ABCD，

所以K平面ABCD，

所以K是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点，

又因为平面ABCD平面AA1D1DAD，所以KAD，

所以D1M、DA、CN三线共点．

19．1.在中，角，，的对边分别为，，，已知.

(1)求；

(2)若，，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先用正弦定理进行边化角，进而通过两角和与差的正弦公式化简，最后求得答案；

（2）结合（1），运用余弦定理求出c，进而求出三角形的周长.

【详解】（1）由正弦定理得，

即，则.

因为，所以，所以，得.

（2）由（1）知，，又，，

所以由余弦定理可得

即，解得（舍）或.

所以三角形的周长为.

20．已知向量，，．

（1）求向量与所成角的余弦值；

（2）若，求实数的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）首先计算，再利用向量夹角公式计算即可；

（2）首先计算，再利用平行向量坐标运算公式求解即可.

【详解】（1）因为，，所以．

设向量与所成角为，

．

（2）∵，，

又，

∴，解得．

21．在中，分别为角的对边，且.

(1)求；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角形内角和定理，对已知条件进行消元，利用两角和与差的正弦公式，展开化简即可解得；

（2）根据（1）的结论，结合面积公式，可得，再由余弦定理以及基本不等式可得，得到的取值范围.

【详解】（1）∵，

且，

∴，

∴，

∵，∴，，

∵，∴；

（2）由（1）知，

∴，

∴，

由余弦定理得，

，

当且仅当时取等号，∴，

又，∴，

综上，的取值范围为.

22．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点M是的中点．

(1)求证：平面；

(2)已知，求三棱锥的表面积．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）连接交与点，利用中位线定理得，再根据线面平行的判定定理即可证明；

（2）根据各面都是直角三角形，利用三角形的面积公式，进而能够计算三棱锥表面积

【详解】（1）如图所示

连接交与点，连接，因为底面是正方形，

所以是的中点，又点M是的中点．

所以，又平面，平面，

所以平面.

（2）因为，

所以，

所以平面，平面，

所以，

又因为底面是正方形

所以，

所以平面，平面，所以.

因为底面是边长为2的正方形，所以，

所以，

.

所以三棱锥的表面积为

.