2022-2023学年陕西省安康市汉滨区五里高级中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年陕西省安康市汉滨区五里高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．设，其中为实数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据复数相等可得答案.

【详解】，

解得.

故选：D.

2．在复平面内，与复数的共轭复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】由共轭复数定义，及复数与点的对应关系可得

【详解】复数的共轭复数为，对应得点为，位于第二项限.

故选：B

3．若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】利用复数的除法可求，从而可求.

【详解】由题设有，故，故，

故选：D

4．如图，在梯形中，，，设，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得答案.

【详解】由题意得E为中点，

故

，

故选：C

5．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用余弦定理求解.

【详解】由题知，，，

在中，由余弦定理得，，

所以，又，所以.

故选：C.

6．在中，已知是边上的一点，若，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：由已知得，因此，答案选B.

【解析】向量的运算与性质

7．在中，角的对边分别为，且，，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用余弦定理可构造方程直接求得结果.

【详解】在中，由余弦定理得：，

即，解得：或（舍），.

故选：B.

8．已知的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，若，且满足，则的形状是（    ）

A．等腰直角三角形 B．钝角三角形

C．等边三角形 D．直角三角形

【答案】C

【分析】由，可得，可得，即．又满足，可得，可得，解得即可得出．

【详解】解：∵，∴，∴，即，则，又满足，，

即，，

∴，∵，∴，则，

则的形状是等边三角形．

故答案选：C．

二、多选题

9．下列四种说法中正确的有（    ）

A．复数是纯虚数

B．复数中，实部为1，虚部为

C．复数的共轭复数为，则的一个充要条件是

D．（为虚数单位）

【答案】CD

【分析】根据纯虚数的概念，可判断A的正误；根据实部虚部的概念，可判断B的正误；根据充分、必要条件的概念，可判断C的正误；根据复数的性质，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】对于A：复数的实部为2，故不是纯虚数，故A错误；

对于B：复数中，实部为1，虚部为-2，故B错误；

对于C：设，则，

若，则虚部为，此时，充分性成立，

若，则，则，此时，必要性成立，

所以的一个充要条件是，故C正确；

对于D：因为，所以，故D正确.

故选：CD

10．下列四个命题中，真命题为（    ）

A．若复数满足，则 B．若复数满足，则

C．若复数满足，则 D．若复数，满足，则

【答案】AB

【分析】根据复数实部和虚部特点，利用特值法依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A，若复数，设，其中，则，则选项A正确；

对选项B，若设，其中，且，则，则选项B正确；

对选项C，若，设，则，但，则选项C错误；

对选项D，若复数，满足，设，，则，

而，则选项D错误.

故选：AB.

11．是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论中正确的是（    ）

A．，为单位向量 B．

C． D．

【答案】CD

【分析】由题意可得，即可得，结合向量的加法运算可得，即可判断A，C；根据题意可得的夹角为，判断B；利用数量积的运算律可判断D.

【详解】由题意可得，则，

而是边长为2的等边三角形，即，故为单位向量；

，即，故，即，则C正确；

而，即，不是单位向量，A错误；

由于的夹角即为的夹角，而是等边三角形，

故的夹角为，即的夹角为，不垂直，B错误；

，

即，D正确，

故选：CD

12．在中，角、、的对边分别为、、，且满足，的面积，，则、值分别为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】AB

【分析】利用正弦定理对已知等式边化角，结合两角和的正弦公式，即可求得角C，继而利用面积推出的值，再利用余弦定理即可求得的值，即可求得答案.

【详解】由题意知，故，

即，

而，则，

又，故；

由，则，

又，即，即，

即，结合，解得或，

故选：AB

【点睛】方法点睛：此类同时含有边和角的等式的化简，一般利用正弦定理进行边角互化，即可求得角或边之间的关系，也可利用余弦定理边角互化，进行求解.

三、填空题

13．已知复数，那么             .

【答案】

【解析】利用共轭复数的概念得出复数，然后利用复数的除法法则可得出复数的值.

【详解】，，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也涉及了共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.

14．复数的模是             .

【答案】3

【解析】根据复数的三角形式的定义，即可得到复数的模.

【详解】复数是三角形式，

故的模是3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查由复数的三角形式，写出模的大小，属基础题.

15．在锐角三角形中，分别为角所对的边.若，，，则    .

【答案】

【分析】应用正弦边角关系及三角形内角性质得，平方关系求，结合已知并应用余弦定理求即可.

【详解】由，则，且，故，

因为△为锐角三角形，所以，又，，

所以，则.

故答案为：

16．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点满足，则      ．

小雪花

【答案】/0.5

【分析】利用向量的摸公式及向量的数量积公式即可求解.

【详解】由题意可知，，

所以，

由两边同时平方，得

，即，

解得.

故答案为：.

四、解答题

17．复数，为实数．

(1)若为实数，求的值；

(2)若为纯虚数，求的值．

【答案】(1)或2

(2)1

【分析】（1）根据为实数，令复数虚部等于0，即可得答案；

（2）根据为纯虚数，可得实部为0，虚部不等于0，即可求得答案.

【详解】（1）由题意知复数，

若为实数，则或；

（2）若为纯虚数，则且，

解得.

18．已知复数，，为虚数单位.

（1）若复数，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；

（2）若，求的共轭复数

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）化简复数，再由复数在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；

（2）由复数的除法运算法则，化简得，再根据共轭复数的概念，即可求解.

【详解】（1）由题意，复数，

则    

因为复数在复平面上对应的点在第四象限，

所以，解得，

即实数的取值范围.

（2）由，

所以.

【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：

（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；

（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数与复平面上的点一一对应，列出相应的关系求解.

19．已知

(1)当k为何值时，与共线？

(2)若，且A，B，C三点共线，求m的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由向量共线的坐标运算列出方程，即可得到结果.

（2）根据题意，由三点共线可得与共线，列出方程，即可得到结果.

【详解】（1）因为

所以，，

因为与共线，

所以，解得.

（2）因为

所以，

，

因为A，B，C三点共线，

所以与共线，即，解得.

20．已知向量与的夹角为，，.

（1）求的大小及在方向上的投影；

（2）求向量与夹角的余弦值.

【答案】（1），在方向上的投影为；（2）.

【分析】（1）利用向量数量积的定义可得，代入可得解，利用向量投影的公式，可求在方向上的投影；

（2）借助向量的夹角公式，即得解

【详解】（1）因为，

所以，

所以在方向上的投影为.

（2），，

设向量与的夹角为，则.

21．在中,角所对的边分别是,若,且.

（Ⅰ）求的值;

（Ⅱ）若,求的面积.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）根据可得

所以，由余弦定理推论可知，根据同角基本关系可知，所以代入数据即可求出结果.（Ⅱ）由（1）可得，在△中，由正弦定理即可求出b，c进而求出面积.

【详解】（Ⅰ）可得

所以，所以，

所以

所以

（Ⅱ）由（1）可得

在△中，由正弦定理

∴,

∴.

22．某市一棚户区改造用地平面示意图如图所示.该区域是半径为的圆面，圆面的内接四边形是原棚户区建筑用地，测量可知.

(1)求原棚户区建筑用地中对角线的长度；

(2)请计算原棚户区建筑用地的面积.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据，在△和△中利用两次余弦定理，整理计算即可求得结果；

（2）根据（1）中所求解得，再利用三角形面积公式即可求得结果.

【详解】（1），由余弦定理，得

，

，

，

.

故原棚户区建筑用地中对角线的长度为.

（2）在△中，因为，

故，又，故可得，则，

故.

即原棚户区建筑用地的面积为.