2022-2023学年河北省唐山市滦州市第六中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年河北省唐山市滦州市第六中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．若在复平面内，复数所对应的点为，则的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简复数，进而可得的共轭复数．

【详解】依题意，，则，则，故选：C．

2．已知向量，，若，则（    ）

A． B．0 C．1 D．3

【答案】C

【分析】由向量垂直的坐标表示计算．

【详解】解：因为向量，，所以，

因为，所以，解得.

故选：C.

3．已知复数满足，则复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先条件化简为，再利用复数除法计算公式，即可求解.

【详解】由可知，，得，

.

故选：D

4．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】因为，所以，结合正弦定理，，代入化简，求得，从而求得，由面积公式求得结果.

【详解】因为，所以，由正弦定理可得，即．

所以，，，

所以的面积．

故选：C

5．已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设线段的中点为，则，因为，所以，则，由三点共线，得，解得；故选B.

点睛：利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：

①三点共线；

②为平面上任一点，三点共线，且.

6．已知向量与的夹角为，，，则（    ）

A．-4 B．-2 C．2 D．4

【答案】B

【分析】根据平面向量数量积的运算法则，直接计算，即可得出结果.

【详解】因为向量与的夹角为，，，

所以.

故选：B.

7．若复数z满足，则z在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】由复数的除法求得复数后可得其对应点的坐标，得其所在象限．

【详解】解：由，得，

∴z在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限．

故选：D．

8．棱长为4的正方体的内切球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由正方体的内切球直径为正方体棱长，直接求解.

【详解】由球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径，

得，，故表面积为，

故选：C.

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

二、多选题

9．设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是（    ）

A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3

C．若，则|z1z2|＝|z1z3| D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2

【答案】BC

【分析】根据复数的模的定义，共轭复数的定义，复数的乘法判断各选项，错误的选项可以举反例．

【详解】A：由复数模的概念可知，不能得到，例如，，A错误；

B：由可得，因为，所以，即，B正确；

C：若，则，有，

又，则，故，故C正确；

D：取，，显然满足，但，D错误.

故选：BC．

10．已知是边长为的等边三角形，、分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．在方向上的投影向量的模为

【答案】BCD

【分析】分析出，可判断A选项的正误；利用平面向量的线性运算可判断B选项的正误；以为坐标原点，、分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可判断CD选项的正误.

【详解】由题意可知，为的中点，则，所以，故选项A错误；

由平面向量线性运算可得，，故选项B正确；

以为坐标原点，、分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，

则、、、、，

设，，所以，，

因为，所以，解得，

故，故选项C正确；

因为，，

所以在方向上的投影为，故选项D正确.

故选：BCD.

11．中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的最大值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】BD

【分析】根据平面向量共线定理可知A错误；

根据，利用基本不等式可求得最大值，知B正确；

由，利用基本不等式可求得最小值，知C错误；

利用基本不等式可得，知D正确.

【详解】对于A，，

三点共线，，A错误；

对于B，，（当且仅当时取等号），B正确；

对于C，（当且仅当，即时取等号），C错误；

对于D，（当且仅当时取等号），D正确.

故选：BD.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

12．在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，则一定是等腰三角形

B．若，则

C．若是锐角三角形，

D．若是钝角三角形，则

【答案】BCD

【解析】利用三角函数的性质，结合诱导公式以及正切函数的两角和公式，逐个选项进行判断求解即可

【详解】对于A，根据正弦定理，由，得出，所以，，因为在中，令，，此时，仍有，所以，不一定是等腰三角形，A错误；

对于B，由已知条件得，，因为，所以，，均为锐角，则有，所以，，B正确；

对于C，若是锐角三角形，则均为锐角，所以，，得和，且，得，同理，可证得，，，所以，成立，C正确；

对于D，若是钝角三角形，不妨设为钝角，则为锐角，

则有，所以，，

又因为，所以，，得到，

又由为钝角，可得，所以，

成立，同理，当为钝角或者为钝角时，该不等式仍然成立，D正确；

故选BCD

【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用特殊角进行赋值进行判断选项，以及利用三角函数的性质和相关公式，逐个选项进行判断，主要考查学生的运算能力，属于中档题

三、填空题

13．i是虚数单位，则为        .

【答案】

【分析】先利用复数的除法运算化简，然后利用模的公式计算.

【详解】,,

故答案为：

【点睛】本题考查复数的除法运算和模的计算，利用复数的除法运算化简是关键，注意分子分母同乘以分母的共轭复数，并利用复数的乘法运算法则化简.

14．已知向量与向量夹角为，且，，要使与垂直，则          ．

【答案】

【分析】由与垂直可得，代入条件列方程求解即可.

【详解】解：因为与垂直，

则，

解得.

故答案为：.

15．已知向量与向量方向相反，若，点A的坐标是，则点的坐标为       ．

【答案】

【分析】由题意设，，再由可求出，从而可得的坐标，再结合点A的坐标可求出点B的坐标

【详解】解：与方向相反，

设，，且，

，解得，

，设，且，

，

，解得，

．

故答案为：．

16．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则圆柱的侧面积是 

【答案】

【分析】根据条件求得底面圆的半径和圆柱的高，即可求解.

【详解】由题意可知，圆柱的轴截面是面积为8的正方形，

则圆柱的底面圆的半径为，高为，则，

则，得，，

那么圆柱的侧面积为.

故答案为：

四、解答题

17．已知等腰中，，D是AC的中点，且．

（1）若，求的面积；

（2）若，求．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）在中，由余弦定理可得,求得,进而利用三角形面积公式计算；

（2）设，由题意可得，在、中，同时由余弦定理求得,得到关于的方程求解即得.

【详解】解：因为，D是AC的中点，且，，

所以在中，由余弦定理可得，

可得，

所以．

设，由题意可得，

在中，由余弦定理可得：，

在中，由余弦定理可得：，

所以，解得，

所以，

可得．

【点睛】本题考查正余弦定理和三角形的面积公式，属基础题，关键是在、中，同时由余弦定理求得,建立方程求解.

18．已知，，是同一平面内的三个向量，其中．

(1)若，且，求的坐标；

(2)若，且，求与的夹角．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据有的关系得到，从而得到的坐标；

（2）将展开求出，代入夹角公式计算．

【详解】（1）由，得，

又，所以

因为，所以，

所以或

（2）因为，所以，.

因为，所以．

因为，所以，

即，解得：.

所以与的夹角θ满足：.

因为，所以．

19．在中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，已知，.

（1）若，求c；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）2；（2）或.

【解析】（1）由余弦定理化简得到，即可求解；

（2）根据题设条件和三角形的内角和定理，化简得到，进而求得或，分类讨论，结合面积公式，即可求解.

【详解】（1）在中，因为，，

由余弦定理，可得，解得.

（2）因为，可得

又因为

，

可得

所以或，

当时，则，所以，所以，，

所以；

当时，由正弦定理，可得，所以，

则，

综上可得，的面积为或.

【点睛】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.

20．已知，，与的夹角为．

(1)求；

(2)当为何值时，？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；

（2）由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果.

【详解】（1），

，.

（2）由得：，

解得：.

21．在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD 底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，∠ADC=90°，BC=CD=AD=1，PA=PD，E，F分别为AD，PC的中点.

（1）求证：平面BEF；

（2）若PC与AB所成角为45°，求二面角F-BE-A的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连接AC交BE于O，并连接FO，根据条件可证，从而可证明结论.

（2）由ABCE为平行四边形可得，为与所成角，即，又由条件可得，可得，取中点，连，可得为的平面角，可得答案.

【详解】（1）证明：连接AC交BE于O，并连接FO，

，为中点，，且AE =BC.

四边形ABCE为平行四边形，O为AC中点，

又F为AD中点，，

平面平面，

平面.

（2）由BCDE为正方形可得.

由ABCE为平行四边形可得.

为与所成角，即.

为中点,所以.

侧面底面侧面底面平面，

平面，，.

取中点，连，

由，分别为的中点，所以

又，所以,所以四点共面.

因为平面平面，且平面平面，

平面，平面

所以,则为的平面角.

又，.

所以二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查证明线面平行和求二面角的平面角，解答本题的关键是取中点，连，证明出,得到为的平面角，属于中档题.

22．如图，在直三棱柱中，，.

(1)求三棱柱的体积；

(2)求异面直线与所成角的大小

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用柱体的体积公式可求得三棱柱的体积；

（2）将直三棱柱补成正方体，分析可知异面直线与所成角为或其补角，分析出的形状，即可得解.

【详解】（1）解：在直三棱柱中，，，

则，

又因为，平面，故，

因此，三棱柱的体积为.

（2）解：在直三棱柱中，，，

将该三棱柱补成正方体，如下图所示：

因为且，所以，四边形为平行四边形，

所以，，所以，异面直线与所成角为或其补角，

易知是边长为的等边三角形，则.

因此，异面直线与所成角为.