2022-2023学年陕西省西安市第六十六中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市第六十六中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．在平行四边形中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由平行四边形的性质可得，从而可求得答案

【详解】解：因为四边形为平行四边形，

所以,

所以，

故选：D

2．若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】利用复数的除法可求，从而可求.

【详解】由题设有，故，故，

故选：D

3．`已知向量，，，则实数k的值为（    ）

A． B． C．6 D．2

【答案】C

【分析】根据两向量垂直向量积为0，得到关于的方程，进行求解.

【详解】解：因为，故，即，解得.

故选：C.

4．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为

A．相交、平行或异面 B．相交或平行

C．异面 D．平行或异面

【答案】A

【解析】根据异面直线的定义可得直线，的位置关系可能相交，可能平行，可能是异面直线．

【详解】因为，是异面直线，，是异面直线，

则，的位置关系可能相交，可能平行，也可能是异面直线．

如下图所示，满足题意的条件，图①中，相交，图②中，平行，图③中，是异面直线.

故选：A．

【点睛】本题主要考查空间异面直线的位置关系的判断，属于基础题．

5．下列命题正确的是（    ）

A．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行

B．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行

C．如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行

D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行

【答案】B

【分析】利用线面的位置关系即可得出结果.

【详解】对于A，直线可能与平面相交，故A错；

对于B，过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，

但过一条直线可作无数个平面与已知直线平行，B正确；

对于C，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故C错．

对于D，一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行或在平面内，故D错.

故选：B

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos A＋acos C＝2c，若a＝b，则sin B等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，利用正弦定理可得：，化为，可得，又，再利用余弦定理可得，即可得出．

【详解】解：，由正弦定理可得：，，，，

又，．

，

，

则.

故选：A．

7．已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出正的实际图形和直观图，计算出直观图的底边上的高，由此可求得的面积.

【详解】如图①②所示的实际图形和直观图.

由斜二测画法可知，，，

在图②中作于，则.

所以.

故选：D.

8．若的内角，，所对的边分别为，已知，且，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦定理得到，利用三角恒等变换得到，，计算得到答案.

【详解】，则，，

故，，故.

，故，

化简整理得到：，，故，，.

故选：D.

【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

二、多选题

9．若平面平面，直线，点，过点M的所有直线中（    ）

A．一定存在与a垂直的直线 B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线 D．有且只有一条与a平行的直线

【答案】AD

【分析】过点和直线确定平面为，设，根据面面平行的性质定理得一条平行线，再用反证法说明只有一条，而过点且与直线垂直的直线均与直线垂直.

【详解】显然，过点和直线确定平面为，

设，又，

由于，所以，则过点且与直线垂直的直线均与直线垂直，故A正确；

假设平面内过还有一个直线与平行，即，则，

但有公共点，矛盾，因此过M有且只有一条直线与a平行，故BC错误，

故选：AD．

10．下列说法中错误的是（    ）

A． B．若，则对应的点在复平面内的第一象限

C．若一个数是实数，则其虚部不存在 D．虚轴上的点表示的数都是纯虚数

【答案】ABCD

【分析】A选项，虚数不能比较大小，据此判断，B选项，根据复数的几何意义判断，CD选项，根据复数的概念进行判断.

【详解】A选项，都是虚数，但是虚数不能比较大小，A选项错误；

B选项，，故，根据复数的几何意义，对应点为，在第四象限，B选项错误；

C选项，实数可以看作虚部为的复数，C选项错误；

D选项，虚轴上的点的代表是，当时为是实数不是纯虚数，D选项错误.

故选：ABCD

11．下列关于向量正确的命题是（    ）

A．非零向量，，满足，，则；

B．向量共线的充要条件是存在实数，使得；

C．已知，，，则；

D．若，，是锐角，则实数的范围是

【答案】AC

【分析】AB选项根据共线向量的性质分析，C选项先求出，然后根据夹角公式求解，D选项注意两个向量共线的情况需要排除.

【详解】A选项，对于非零向量，，，由，，可知，共线且，共线，

于是，共线，平行向量就是共线向量，故，A选项正确；

B选项，若，，满足向量共线，则不存在这样的，

否则，这和矛盾，故B选项错误；

C选项，，，

由夹角公式，，C选项正确；

D选项，是锐角时，，即，

当共线时，，此时，，

故实数的范围是且，D选项错误.

故选：AC

12．在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（    ）

A．则为等边三角形；

B．已知，则；

C．已知，，，则最小内角的度数为；

D．在，，，解三角形有两解．

【答案】ABC

【分析】利用正弦定理、余弦定理一一计算可得；

【详解】解：对于A：若，则，即，即，即是等边三角形，故A正确；

对于B：由，可得，余弦定理：．，，故B正确．

对于C：因为，，，所以，所以，所以，，，故C正确；

对于D：因为，，，所以，即解得，因为，所以，所以三角形只有1解；

故选：ABC

三、填空题

13．若复数z满足 |z－i|≤ (i为虚数单位)， 则z在复平面内所对应的图形的面积为             ．

【答案】2π

【详解】分析：由的几何意义可知，点的轨迹是以为圆心，为半径的实心圆，由圆的面积公式可得结论.

详解：，

在复平面内对应点的的轨迹是以为圆心，

为半径的实心圆，

该圆的面积为，故答案为.

点睛：复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.

14．已知，，且，则              ．

【答案】/

【分析】先求出，然后用夹角公式求解.

【详解】，

，

根据夹角公式，.

故答案为：

15．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为        .

【答案】

【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.

【详解】∵

∴

∴

∴.

故答案为：.

16．在中，若，，则边长c的取值范围是              ．

【答案】

【分析】直接根据正弦定理求解即可.

【详解】由题意，根据正弦定理，，于是，

由，当时，，

当时，，

于是.

故答案为：

四、解答题

17．在复平面内，若复数对应的点：

(1)在虚轴上；

(2)在第三象限．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案；

（2）当复数在第三象限时，其实部小于0，虚部小于0，列式即可解出答案；

【详解】（1）复数的实部为，

虚部为．

由题意得，解得或；

（2）由题意，得，解得.

18．已知，

(1)若，求的值；

(2)若与的夹角为，求在方向上的投影.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）分、方向相同或相反两种情况讨论，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；

（2）利用平面向量数量积的运算性质求出以及的值，利用平面向量投影的定义可求得在方向上的投影.

【详解】（1）解：.

因为，则、方向相同或相反，

①若、方向相同，则，

则；

②若、方向相反，则，

则.

综上所述，或.

（2）解：因为与的夹角为，且，，

则，，

，

所以，在方向上的投影为.

19．如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．

【答案】剩下部分体积为，表面积为.

【分析】求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积.

【详解】由于是的中点，所以圆柱的高，且圆柱的底面半径为.

圆锥的体积为，

圆柱的体积为，

所以剩下几何体的体积为.

剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积，

即.

20．在中，角所对的边分别为，且满足，．

（Ⅰ）求的面积；

（Ⅱ）若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用二倍角公式由已知可得；根据向量的数量积运算，由得，再由三角形面积公式去求的面积；（2）由（1）知，又，解方程组可得或，再由余弦定理去求的值．

【详解】（1）因为，所以

又，所以，

由，得，所以

故的面积

（2）由，且，得或

由余弦定理得，故

【解析】（1）二倍角公式及同角三角函数基本关系式；（2）余弦定理．

21．如图：已知三棱柱中，D为BC边上一点，为中点，且∥平面．证明：平面平面．

【答案】证明见解析

【分析】连接与交于点，由线面平行的性质定理可得，从而为中点，进而可得四边形为平行四边形，，由线面平行的判定定理得平面，再利用面面平行的判定定理证得结论.

【详解】

连接与交于点，连接，

∵平面，平面，平面平面，

∴，又为中点，∴为中点，

∵，且，

∴四边形为平行四边形，∴．

又平面，平面，∴平面．

又平面,，平面

所以平面平面．

22．在气象台A正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到）？

【答案】大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟.

【解析】先作图，根据图像算出气象台所在地距离台风中心的距离即可判断是否会受到台风的影响；另外利用余弦定理，算出会受到台风影响的临界点，进而可得受到影响的时间．

【详解】解：如图

设台风中心为B，BD为台风经过的路径所在的直线，则，

过A作于C，则，

，

∴气象台所在地会受到台风的影响，

设以A为圆心，以为半径的圆与直线BD交于E，F两点，

设，

由余弦定理得是方程的根，

方程整理得，

解得，

，

∴大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟.

【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，关键是要求出受台风影响的临界点，是中档题．