2022-2023学年河北省武强中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年河北省武强中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数，其中为虚数单位，则的在复平面内的对应点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数得乘法运算，得出即可求解.

【详解】复数，则，在复平面内的对应点位于第四象限.

故选：D.

2．在中，若，则的形状为（    ）

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【分析】根据向量的减法法则可得，由三边相等关系即可得出结果.

【详解】因为，，

所以，

所以为等边三角形．

故选：A

3．已知向量，不共线，实数x，y满，则的值是（    ）

A．3 B． C．0 D．2

【答案】A

【解析】根据向量，不共线可得

【详解】由题意得解得．

故选：A

【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，属于基础题。

4．将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式（不可折断），不可能拼成（    ）.

A．正三棱柱 B．正四棱锥 C．正四棱柱 D．正六棱锥

【答案】D

【分析】根据几何体的结构特征逐一判断即可.

【详解】正三棱柱中9条棱长度可以完全相同，故A成立；

正四棱锥中5条棱长度可以完全相同，故B成立；

正四三棱柱中12条棱长度可以完全相同，故C成立；

因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，

所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，故D不成立；

故选：D.

5．已知向量，则“与夹角为锐角”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先求与夹角为锐角时，的取值范围，再根据集合的包含关系，判断选项.

【详解】当，解得：，

且当时，，解得：，

所以“与夹角为锐角时，的取值范围是且，

所以“与夹角为锐角”是“”的充分不必要条件.

故选：A

6．如图，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，若一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点将此圆台分为上下两个圆台，设该平面上方的圆台侧面积为，下方的圆台侧面积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出截面图形，求出截面圆半径，设出上下方圆台的母线长，根据圆台侧面积公式即可解得.

【详解】

如图为圆台的截面图形，截面圆圆心为O，半径为r，则，l为上下方圆台的母线长，则，∴

故选：C.

7．已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则的最小值为（    ）

A．10 B．9 C．8 D．4

【答案】C

【分析】先根据三点共线，求出，利用基本不等式求最值.

【详解】因为A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，

所以

当且仅当，即时等号成立．

故选：C

【点睛】（1）A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则有；

（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”：

①“一正”就是各项必须为正数；

②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

8．规定，若在复平面上的三个点，，分别对应复数0，，，其中满足，则的面积为（    ）

A．25 B． C．5 D．

【答案】D

【分析】根据行列式的计算可得，由此可得三角形三个顶点的坐标以及三条边的长度，推断出是等腰直角三角形，最后由面积公式求解即可．

【详解】解：由题意得，

，，

∴，，，

，，，

∴，即是等腰直角三角形，

∴的面积．

故选：D

二、多选题

9．已知复数，则（    ）

A．是纯虚数 B．若，则的最大值是

C．的共轭复数为 D．复数在复平面内对应的点在第二象限

【答案】ABC

【分析】利用复数的代数形式的乘除运算化简z，结合复数的有关概念和几何意义依次分析选项即可.

【详解】解：，

，是纯虚数，故A正确；

若，即，则所对应点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，

则的最大值是，故B正确；

的共轭复数为，故C正确；

，在复平面内对应点的坐标为，在第三象限，故D错误．

故选：ABC．

10．已知向量，，，向量是与方向相同的单位向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（       ）

A．a与b的夹角为钝角 B．向量a在b方向上的投影向量为

C．2m+n=4 D．mn的最大值为2

【答案】CD

【分析】由数量积的符号可判断A；根据投影定义直接计算可判断B；根据向量平行的坐标表示可判断C；由基本不等式结合可判断D.

【详解】对于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，则，则的夹角为锐角，错误；

对于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，则向量在方向上的投影为，错误；

对于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，则 (1，2)，若()∥，则(﹣n)=2(m﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；

对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有，当m=1，n=2时，mn有最大值2，正确；

故选：CD.

11．在中，角，，的对边分别是，，，则能确定为钝角的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】结合正弦定理、余弦定理、向量运算、三角恒等变换确定正确选项.

【详解】A选项，由正弦定理得为锐角.

B选项，为锐角.

C选项，由余弦定理得，，为钝角.

D选项，，由于三角形中，最多只有一个钝角，所以，则，即，为钝角.

故选：CD

12．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图．其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则以下结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据正八边形的性质可知每个中心角为、，结合向量的线性运算即可判断AB；根据垂直向量数量积为0即可判断C；根据直角三角形和向量的线性运算即可判断D.

【详解】A：正八边形被分成8个全等的等腰三角形，

所以每个中心角为，由正八边形的性质可知，

设，则，所以，故A错误；

B：如图，

在正方形中，，

所以，故B错误；

C：由，得，

所以，故C正确；

D：如图，在中，由，，得，

所以，故D正确.

故选：CD.

三、填空题

13．如图所示，平行四边形是四边形的直观图，若，，则原四边形的周长为______．

【答案】10

【分析】利用直观图反推原图形，易知其为矩形，进而易求其周长.

【详解】由四边形的直观图可知该四边形是矩形，

如图，且，，

所以原四边形的周长为．

故答案为：10.

14．把一个半径为R的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1∶3∶4，其中最小球的半径为________．

【答案】/

【分析】求出小球与原来球的体积的比值，即可求解

【详解】原球的体积为，

把一个半径为R的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1∶3∶4，

则最小球的体积为，

设最小球的半径为，可得，

所以，

故答案为：

15．已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_______.

【答案】4

【分析】根据投影向量公式求得结果即可.

【详解】在上的投影向量为，

所以4.

故答案为：4.

16．已知向量，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】求出，可得，结合三角函数的性质得出答案．

【详解】∵，

∴，

则当时，取最大值．

故答案为：．

四、解答题

17．已知．

（1）求实数的值；

（2）若，求实数的值．

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值；（2）写出向量的坐标，利用得出关于的方程，即可求解实数的值.

试题解析：（1）

（2）由（1）得

所以

【解析】向量的坐标运算.

18．设复数，，其中，且复数所对应的点都在复平面第一象限内

(1)若，求实数的值；

(2)设所对应的向量为，若共线，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据复数的几何意义以及复数的模长公式即可求解.

（2）由复数的几何意义以及基本不等式即可求解.

【详解】（1），对应的点分别为，且 ，由可得： ，故.

（2），共线，所以 ，由基本不等式可得：，当且仅当 取等号.所以的最小值为

19．在中，是角所对的边，且满足

(1)求角的大小；

(2)设向量，向量，且向量共线，判断的形状.

【答案】(1)

(2)直角三角形

【分析】（1）利用余弦定理可求，结合三角形性质可得角的大小；

（2）根据向量共线得出角，进而可以判断三角形的形状.

【详解】（1）因为，所以；

因为，所以；

（2）因为，共线，所以，

所以或（舍）；

当时，，所以为直角三角形.

20．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm，圆柱筒高为3cm.

(1)求这种“浮球”的体积；

(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？

【答案】(1)

(2)26400克

【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；

（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解出一个的表面积，然后乘以3000得总面积，按照规定再乘以0.1即可解决问题.

【详解】（1）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，

所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，

由球体的体积为：，

圆柱体积为：，

所以浮球的体积为：.

（2）上下半球的表面积：，

圆柱侧面积：，

所以，1个浮球的表面积为，

3000个浮球的表面积为：，

因此每平方厘米需要涂胶0.1克，

共需胶克.

21．如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；

(2)若，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，即可求解；

（2），从而即可求解.

【详解】（1）因为在菱形中，.

故，

故，所以.

（2）显然，

所以

①，

因为菱形，且，，

故，.

所以.

故①式.

故.

22．已知，，，为坐标原点．

（1），求的值；

（2）若，且，求与的夹角．

【答案】（1）0；（2）．

【分析】（1）由数量积的坐标表示计算，平方后利用正弦的二倍角公式可得；

（2）由向量模的坐标表示计算出后由向量夹角公式计算可得．

【详解】（1）

，

所以，平方得，．

（2），，

又，所以，，

，而，所以．

即与的夹角为．