河北省唐山市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(学生版+解析)

这是一份河北省唐山市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(学生版+解析)，共26页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁， 在中，角的对边分别是，已知，， 在中，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案涂在试卷上一律无效.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和改正带.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，则复平面内表示的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知，，若，则( )
A. B. C. 0D. 2
3. 某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1，2，3，4的四种添加剂可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为( )
A. B. C. D.
4. 在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5. 为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下(单位cm)：60，61，62，63，65，65，66，67，69，70，则第40百分位数是( )
A. 62B. 63C. 64D. 65
6. 若圆锥的底面半径为，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为( )
A. 2B. C. D.
7. 从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是( )
A. “至少有1名女生”与“都是女生”
B. “至少有1名女生”与“至少有1名男生”
C. “恰有1名女生”与“恰有2名女生”
D. “至少有1名女生”与“至多有1名男生”
8. 在中，角的对边分别是，已知，.若，则的面积为( )
A. B. 或C. D. 1或2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知一组数据3，5，6，9，9，10的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个数据7后得到一组新数据，其平均数为，方差为，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
10. 在中，下列结论正确的是( )
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若为钝角，则
11. 若，是关于的方程的两个虚根，则( )
A B.
C. D.
12. 如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则( )

A. 满足点有且只有一个
B. 满足的点有两个
C. 存在最小值
D. 不存在最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若复数，，则_________.
14. 甲、乙两人参加驾考科目一的考试，两人考试是否通过相互独立，甲通过的概率为0.6，乙通过的概率为0.5，则至少一人通过考试的概率为__________.
15. 若的面积为，角的对边分别是，且，则__________.
16. 在正六棱台中，，，，设侧棱延长线交于点，几何体的外接球半径为，正六棱台的外接球半径为，则此正六棱台的体积为___________，__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知平面向量与的夹角为，且，.
(1)求；
(2)若与垂直，求值.
18. 近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：，成年人的BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图.

(1)求的值，并估计该公司员工BMI的样本数据的众数与中位数(精确到0.1)；
(2)该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI数值正常的人数.
19. 在中，内角，，的对边分别是，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，边上的中线，求的周长.
20. 如图，在四棱锥中，，平面，，，是边长为2的等边三角形，为棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
21. 某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分.若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛.甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为0.6，在A类的5个问题中，乙只能答对4个问题，在B类的4个问题中，乙答对的概率都为0.4，甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求乙在第一轮比赛中得20分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛?
22. 如图1，在直角梯形中，，，，是的中点，与交于点，将沿向上折起，得到图2的四棱锥.

(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正切值.
唐山市2022~2023学年度高一年级第二学期期末考试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案涂在试卷上一律无效.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和改正带.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，则复平面内表示的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】求出复数在复平面内对应的点的坐标，由此可得出结论.
【详解】，则复数在复平面内对应的点的坐标为，
因此，复平面内表示的点位于第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，属于基础题.
2. 已知，，若，则为( )
A. B. C. 0D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量平行的坐标表示可得结果.
【详解】因为，，，
所以，得.
故选：D
3. 某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1，2，3，4的四种添加剂可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为( )
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式即可得解.
【详解】从芳香度为1，2，3，4的四种添加剂中随机抽取两种添加剂，
其可能结果有，，，，，共6个，
其中选用的两种添加剂芳香度之和为5的结果有，共2个，
则所求概率为.
故选：B.
4. 在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用线线平行确定异面直线与所成角的角，再利用勾股定理求得，从而利用余弦定理即可得解.
【详解】记的中点为，连接，如图，

因为为棱的中点，为的中点，所以，
所以为异面直线与的所成角(或补角)，
因为在正三棱柱中，，
所以，，，
所以在中，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
5. 为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下(单位cm)：60，61，62，63，65，65，66，67，69，70，则第40百分位数是( )
A. 62B. 63C. 64D. 65
【答案】C
【解析】
【分析】根据求百分位数的定义求解可得结果.
【详解】因为为整数，
所以第40百分位数是.
故选：C
6. 若圆锥的底面半径为，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为( )
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解.
【详解】依题意，设圆锥的母线长为l，则，
设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则，
因为，所以，
则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为，

故截面的面积为，当且仅当时，等号成立，
故截面的面积的最大值为2.
故选：A.
7. 从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是( )
A. “至少有1名女生”与“都是女生”
B. “至少有1名女生”与“至少有1名男生”
C. “恰有1名女生”与“恰有2名女生”
D. “至少有1名女生”与“至多有1名男生”
【答案】C
【解析】
【分析】根据互斥事件的定义判断ABD都不是互斥事件，再结合对立事件的定义判断C.
【详解】“至少有1名女生”与“都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互斥事件，A错；
“至少有1名女生”与“至少有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，B错；
“至少有1名女生”与“至多有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，D错；
“恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事件，又因为“恰有1名女生”与“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生”两种情况发生，即“恰有1名女生”与“恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事件，C正确.
故选：C.
8. 在中，角的对边分别是，已知，.若，则的面积为( )
A. B. 或C. D. 1或2
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理角化边可得或，分两种情况解三角形可得结果.
【详解】由及正弦定理得，
得或，
若，因为，，所以，，
若，则三角形为直角三角形，，
因为，，所以，，.
综上所述：的面积或.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知一组数据3，5，6，9，9，10的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个数据7后得到一组新数据，其平均数为，方差为，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据平均数和方差的计算公式求解，即可判断各选项.
【详解】对于AB，，，
所以，A正确，B错误；
对于CD，，
所以，C错误，D正确.
故选：AD
10. 在中，下列结论正确的是( )
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若为钝角，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于AB，利用大角对大边与正弦定理的边角变换即可判断；对于C，举反例排除即可；对于D，利用正弦函数的单调性即可判断.
【详解】对于A，由大角对大边知，若，则，
所以由正弦定理得，故A正确；
对于B，若，则由正弦定理得，
所以由大边对大角，故B正确；
对于C，取，，则，，
所以不成立，故C错误；
对于D，若为钝角，则，所以，
因为在上单调递增，所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 若，是关于的方程的两个虚根，则( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】解方程可得，不妨令，分别计算各选项即可判断.
【详解】因为，所以，
根据求根公式可得，
又，是关于的方程的两个虚根，不妨令.
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD
12. 如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则( )

A. 满足的点有且只有一个
B. 满足的点有两个
C. 存在最小值
D. 不存在最大值
【答案】BC
【解析】
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，然后利用点的四种位置进行分类讨论即可.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形的边长为1，，则
，
所以，，
由，得，
所以，所以，
①当点在上时，，且，
所以；
②当点在(不含点B)上时，则，所以，化简，
所以，
因为，所以，即；
③当点在(不含点C)上时，，且，
所以，即，所以；
④当点在(不含点A、D)上时，则，所以，化简，
所以，
因为，所以，所以；
对于A，由①知，当时，，此时点与点重合；
由④可知当时，，，此时点在的中点处；
其它均不可能，所以这样的点有两个，所以A错误，
对于B，由②知，当时，，，此时点在的中点；
由③知，当时，，，此时点在点处；
其它均不可能，所以这样的点有两个，所以B正确，
对于CD，由①②③④可得：
当，即点为点时，取到最小值0；
当，即点为点时，取到最大值3，所以C正确，D错误，
故选：BC.
【点睛】关键点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，然后分类讨论，考查数形结合的思想，属于较难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若复数，，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据复数减法法则计算，再根据复数模的计算公式，即可得出结果.
【详解】∵，，
∴．
故答案为：．
14. 甲、乙两人参加驾考科目一的考试，两人考试是否通过相互独立，甲通过的概率为0.6，乙通过的概率为0.5，则至少一人通过考试的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】先求两人都未通过的概率，再根据对立事件的概率和为1求解两人至少有一人通过的概率即可.
【详解】因为两人考试相互独立，
所以两人都未通过的概率为，
故两人至少有一人通过的概率为.
故答案为：
15. 若的面积为，角的对边分别是，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形面积公式与余弦定理的边角变换，结合切化弦得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】因为，
所以，
因为，且，所以，
则，即，
所以，则，即，
所以(负值舍去).
故答案为：.
16. 在正六棱台中，，，，设侧棱延长线交于点，几何体的外接球半径为，正六棱台的外接球半径为，则此正六棱台的体积为___________，__________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】第一空，利用棱台的体积公式，结合正六边形的性质即可得解；第二空，先分析正六棱台的外接球的球心所在位置，再利用勾股定理列出关于的方程组，从而求得；再利用平行线分线段成比例求得，从而确定了几何体的外接球的球心所在位置，进而求得，由此得解.
【详解】依题意，正六棱台中，，，
则其上底面是由六个边长为的正三角形组成，则其面积为，
其下底面是由六个边长为的正三角形组成，则其面积为，
其高为，
所以该正六棱台的体积为.
设上底面中心为，下底面中心为，连接，则垂直于上下底面，如图，
连接，则，
由题意可得，
作垂足为G，则，
连接，则，
故，则为钝角，
又由于正六棱台外接球球心位于平面上，
故设正六棱台外接球球心为O，则O在的延长线上，
因为外接球半径为，故，
即，解得，则，
连接，如图，易得三点共线，且，
所以，则，
易知，
所以是几何体的外接球的球心，则，
所以.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是发挥直观想象能力，结合图形确定了正六棱台的外接球的球心所在位置，从而利用方程组求得.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知平面向量与的夹角为，且，.
(1)求；
(2)若与垂直，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)化为平面向量的数量积可求出结果；
(2)根据可求出结果.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为与垂直，所以，
所以，
所以，得.
18. 近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：，成年人的BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图.

(1)求的值，并估计该公司员工BMI的样本数据的众数与中位数(精确到0.1)；
(2)该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI数值正常的人数.
【答案】(1)a=0.08，众数为；中位数为
(2)
【解析】
【分析】(1)根据频率之和为1可求得，从而可求得该公司员工的样本数据的众数为22 ；设设该公司员工的样本数据的中位数为，
则，求解即可；
(2)根据题意可求得该公司员工数值正常的概率为，进而可求解.
【小问1详解】
根据频率分布直方图可知组距4，
所以，解得
该公司员工的样本数据的众数为22 .
设该公司员工的样本数据的中位数为，
则，解得.
故该公司员工的样本数据的中位数约为.
【小问2详解】
因为成年人的数值为正常，
所以该公司员工数值正常的概率为
，
所以该公司员工数值正常的人数为.
19. 在中，内角，，的对边分别是，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，边上的中线，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据正弦定理边化角，再结合和角正弦公式、诱导公式，可得，从而可求解；
(2)根据余弦定理可得，再根据中线向量公式可得，从而求得，进而求得周长.
【小问1详解】
由正弦定理得：，
即，即.
因为，所以. 因为 , 所以.
【小问2详解】
已知，
在中，由余弦定理得：①，
由为的中线，得，
两边平方得②，
联立①②得，
所以 的周长为.
20. 如图，在四棱锥中，，平面，，，是边长为2的等边三角形，为棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)取中点，连接，证明，利用线面平行的判定定理即可证明；
(2)取中点，连接，可得即为与平面所成的角，求解即可.
【小问1详解】
取中点，连接，
为棱的中点，，
又，
且，
四边形是平行四边形，，
又平面平面，
平面；
【小问2详解】
取中点，连接，
是边长为2的等边三角形，，且，
平面，
平面，又平面，
又，且平面，
即为与平面所成的角，
在中，，
在中，则，
所以与平面所成角的正弦值为.

21. 某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分.若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛.甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为0.6，在A类的5个问题中，乙只能答对4个问题，在B类的4个问题中，乙答对的概率都为0.4，甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求乙在第一轮比赛中得20分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛?
【答案】(1)
(2)甲更容易晋级复赛
【解析】
【分析】(1)对类的5个问题进行编号：，设乙能答对的4个问题的编号为.利用列举法，根据古典概型概率公式即可求解；
(2)按第一轮得20分且第二轮至少得20分和第一轮得0分且第二轮得40分，结合独立乘法公式和对立事件概率公式，分别计算甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断.
【小问1详解】
对类的5个问题进行编号：，
设乙能答对的4个问题的编号为.
第一轮从类的5个问题中任选两题作答，可用 表示选题结果，其中，为所选题目的编号，样本空间为
,共10个样本点.
设“乙在第一轮得20分”事件为，
则共6个样本点.
则乙在第一轮得 20 分的概率为.
【小问2详解】
甲晋级复赛分两种情况:
①甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：，
②甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：
所以甲晋级的概率.
乙晋级复赛分两种情况:
①乙第一轮得20分且第二轮至少得20分概率为：，
②乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：
所以乙晋级复赛的概率为.
因为，所以甲更容易晋级复赛.
22. 如图1，在直角梯形中，，，，是的中点，与交于点，将沿向上折起，得到图2的四棱锥.

(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)利用平面几何的知识证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得解；
(2)在图2中证得平面，从而证得平面，进而得到为二面角的平面角，由此求得所需线段的长即可得解.
【小问1详解】
在题干图1中连接，如图，

由已知得是CD的中点，
四边形是平行四边形，，
同理，四边形是平行四边形，
又，且，四边形是正方形，，
所以在题干图2中，，
又平面，
平面，又，
平面.
【小问2详解】
因为在正方形中，，
，又是等边三角形，
在题干图2中，过作于点，则为中点，
过作交延长线于点，连接，如图，

平面平面，，
又平面，
平面，又平面，，
又平面，
平面，又平面，，
为二面角的平面角，
在等边中，，则，
又点为中点，，易得，

又，可得，
在中，，
所以二面角的正切值为.
【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用二面角的定义，结合线面垂直的判定定理在图2中作出二面角的平面角，从而得解.