2022-2023学年贵州省遵义市播州区高一下学期期中质量监测数学试题含答案

2022-2023学年贵州省遵义市播州区高一下学期期中质量监测数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由补集的定义可得出集合.

【详解】因为全集，集合，则.

故选：C.

2．若为第三象限角，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用同角三角函数的基本关系化简可得的值.

【详解】因为为第三象限角，则，因此，.

故选：D.

3．函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用基本不等式可求得函数的最小值.

【详解】因为，则，

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，故函数的最小值为.

故选：C.

4．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】因为，则，

即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，

据此可知选项CD错误；

且时，，据此可知选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

5．设，是两个非零向量，则“”是“”成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量数量积的意义，向量的夹角公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】由，

又，

所以当且仅当时，成立．

充分性：由，得或，则不一定成立，所以充分性不成立；

必要性：由，得，则，所以必要性成立．

所以“”是“”成立的必要不充分条件．

故选：B．

6．如图，在等腰梯形中，，于点，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据等腰三角形的性质可得是的中点，由平面向量的加法运算法则结合向量平行的性质可得结果.

【详解】

因为，

所以是的中点，

可得

，故选.

【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及向量平行的性质，属于简单题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）

7．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)

A．略有盈利

B．略有亏损

C．没有盈利也没有亏损

D．无法判断盈亏情况

【答案】B

【详解】设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损．

8．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：注意到， ，，从而有；因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，所以有，而，，所以有，故选Ａ．

【解析】１．函数的奇偶性与单调性；２．三角函数的大小．

二、多选题

9．若，则下列不等式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】对A，利用指数函数的单调性；对B，利用基本不等式；对C，利用不等式的性质；对D，利用基本不等式.进行判断即可.

【详解】对A，由指数函数的单调性可知，当，有，故A 正确；

对B，当时，不成立，故B错误；

对C，当时，不成立，故C错误；

对D，成立，从而有成立，故D正确；

故选：AD.

【点睛】本题考查利用已知函数及基本不等式的应用，求解时注意基本不等式成立的条件，考查分类讨论思想的应用，属于基础试题．

10．已知函数的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述，其中正确的有（    ）

A． B．

C． D．若，则

【答案】ABD

【分析】由函数图象可得当时，取得最大值可判断选项A，由三角函数的周期可判断选项B，由题意可得结合可判断选项C，由，可得，计算可判断选项D，进而可得正确选项.

【详解】对于选项A：由图知，函数最大值为，所以，故选项A正确；

对于选项B：函数周期为，所以，故选项B正确；

对于选项C：由图知，可得，由于，所以，，故选项    C不正确；

对于选项D：若，则，

所以，

故选项D正确；

故选：ABD.

11．口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，“第一次取出的是红球”，“第二次取出的是红球”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（    ）

A．A与B相互独立. B．A与D互为对立. C．B与C互斥. D．B与D相互独立；

【答案】ABD

【分析】根据古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，再根据相互独立事件的定义判断AD，根据对立事件，互斥事件的定义可判断BC.

【详解】由题可得，，，

，，

所以，，

所以 A 与 B 相互独立，B 与 D 相互独立，故AD正确；

对于B，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即 A 与 D 互为对立事件，故B正确；

对于C， “第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”， C 与 D 可能同时发生，故C错误.

故选：ABD.

12．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到.而信号处理背后的‘功臣’就是和正弦相关的某类函数，的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（    ）

A．函数为周期函数，且最小正周期为

B．函数为奇函数

C．函数的图象关于直线对称

D．函数的图象关于中心对称

【答案】BC

【分析】A.利用三角函数的周期性定义判断；B.利用函数奇偶性的定义判断；C.由判断；D. 由判断.

【详解】A. ，故错误；

B.因为 ，所以函数为奇函数，故正确；

C. 因为，所以函数的图象关于直线对称，故正确；

D. 因为，

所以函数的图象不关于中心对称，故错误；

故选：BC

三、填空题

13．函数的零点个数为      .

【答案】

【分析】根据零点的定义，结合分段函数的性质，分情况建立方程，可得答案.

【详解】当时，令，则，解得，故为函数的零点；

当时，令，则，解得，故为函数的零点.

故答案为：.

14．已知为第四象限角，且，则      .

【答案】/

【分析】判断出的符号，结合可求得的值.

【详解】因为为第四象限角，则，，则，

因为，

将代入上式可得，

因此，.

故答案为：.

15．函数，，若方程有个不同的实数解，则的值为      .

【答案】或

【分析】化简函数在上的函数解析式，数形结合可得出实数的值.

【详解】当时，，

因为方程在上有三个不同的实数解，

所以，直线与函数在上的图象有三个交点，如下图所示：

由图可知，当或时，直线与函数在上的图象有三个交点，

故或.

故答案为：或.

16．已知函数在区间上有且仅有10个零点，则ω的取值范围是      .

【答案】

【分析】将看成一个整体，找出其范围，再根据余弦函数的性质列出不等式求解.

【详解】由，则，

因为函数在区间上有且仅有10个零点，

所以由余弦函数的性质可知：解得，

故答案为：.

四、解答题

17．平面内给定三个向量，，.

(1)设，求m，n的值；

(2)若，求实数k的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量，，，由，利用向量相等求解；

（2）根据向量，，，得到和的坐标，由求解；

【详解】（1）解：因为向量，，，且，

所以，

所以，解得；

（2）因为向量，，，

所以，，

因为，

所以.

18．已知角的终边在第二象限，且与单位圆交于点.

(1)求实数m的值；

(2)，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据单位圆的定义以及角终边所在象限，可得答案.

（2）利用任意角三角函数的定义，写出其正弦值、余弦值、正切值，结合三角函数的诱导公式，可得答案.

【详解】（1）由点在单位圆上，则，解得，

由点在第二象限角的终边上，则.

（2）由点是角的终边与单位圆的交点，则，，，

.

19．石嘴山市第三中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩，现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示:

（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；

（2）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件发生的概率.

【答案】（1）见解析；（2）乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中 ；（3）.

【分析】（1）直接由茎叶图求解.

（2）由茎叶图中数据的集中程度直接判断．

（3）甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e，即可求得任意选出2个成绩有10种，其中2个成绩分属不同同学的情况有6种，利用古典概型概率公式即可得解．

【详解】（1）甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128，

同学乙的成绩的频率分布直方图如下：

（2）从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中 .

（3）甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a，b，

乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e  ,

现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有：

(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10种，  

其中2个成绩分属不同同学的情况有：

 (a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)共6种，

因此事件A发生的概率P(A)=  .

【点睛】本题主要考查了茎叶图知识，考查了平均数计算及稳定性判断，还考查了古典概型概率计算，属于基础题．

20．已知函数.

(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为，

(2)最大值为2，最小值为－1

【分析】（1）利用周期的公式求解，利用整体代入求解单调递增区间；

（2）利用的范围求出的范围，结合的范围可得区间最值.

【详解】（1）由.

∴函数的最小正周期.

由，得

，.

∴的单调递增区间为，.

（2）∵，∴，∴，

∴.

∴函数在区间上的最大值为2，最小值为.

21．已知扇形的周长为c.

(1)当扇形中心角为1rad时，扇形的面积为多少?

(2)当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积为多少?

【答案】(1)

(2)当时，扇形面积取得最大值为.

【分析】（1）根据弧度制的定义以及扇形的周长公式，利用周长表示出扇形的半径与弧长，结合扇形的面积公式，可得答案；

（2）利用（1）的做题步骤，整理扇形面积与扇形中心角的函数关系，利用基本不等式，可得答案.

【详解】（1）设扇形的半径与弧长，因为扇形中心角为，所以，则，

因为扇形的周长为，所以，则，解得，

扇形的面积.

（2）设扇形的中心角为，则其弧长与半径的比为，即，

因为扇形的周长为，所以，则，解得，则，

扇形的面积，

由，则，当且仅当时，等号成立，

故当时，扇形面积取得最大值为.

22．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式；

(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到米?

(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔个座舱，游客乙进入座舱后距离地面高度能否超过游客甲，若能，是在甲进入后的多少分钟以后?

【答案】(1)，

(2)分钟

(3)能，是在甲进入的分钟后

【分析】（1）根据最高点和最低点可得与，由周期求值，由结合的取值范围可得出的值，即可得函数的解析式；

（2）令，结合可求得游客甲坐上摩天轮后距离地面的高度第一次恰好达到米所需时间；

（3）求出经过分钟后甲距离地面的高度为，以及乙距离地面的高度为，，化简的表达式，结合可求得满足时的取值范围，即可得出结论.

【详解】（1）解：由题意，（其中，，），

摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，，得，，             

又函数周期为分钟，所以，，         

又，所以，

因为，则，所以，．

（2）解：，

所以，得，

因为，则，

当游客甲坐上摩天轮后，距离地面的高度第一次恰好达到米，则有，解得（分钟），

因此，游客甲坐上摩天轮后分钟，距离地面的高度第一次恰好达到米.

（3）解：经过分钟后甲距离地面的高度为，

乙与甲间隔的时间为分钟，

所以乙距离地面的高度为，，           

则

，

因为，则，

由可得，

所以，，解得，

因此，在甲进入后的分钟后，游客乙进入座舱后距离底面的高度能超过游客甲.