2022-2023学年安徽师范大学附属中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年安徽师范大学附属中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数的虚部是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的除法运算可得答案.

【详解】，

则其虚部为.

故选：B.

2．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合，再求两集合的并集

【详解】因为，

所以.

故选：C

3．是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分，必要条件的定义，结合不等式的性质，即可判断.

【详解】，由，不能得到，也得不到，

所以是的充分不必要条件.

故选：A

4．函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.

【详解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，

因为函数在区间存在零点，

所以，即，解得，

所以实数m的取值范围是.

故选：B.

5．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式，再结合同角三角函数基本关系式，即可求解.

【详解】因为，所以，又，所以

故选：D

6．已知为的外接圆圆心，且，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】由已知条件可得是为直角的等腰三角形，然后数量积的定义求解即可

【详解】由可知为中点，则为直径，

所以；

在等腰中，由，得，

所以，

所以是为直角的等腰三角形，

所以

故选：A.

7．已知函数是偶函数，且在单调递增，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先确定函数关于对称，再结合单调性，即可判断选项.

【详解】是偶函数，则关于对称，

又因为在单调递增，则在上单调递减，

所以，

根据函数关于对称，可知，，则，只有D正确.

故选：D

8．向量，若存在整数使得方程在上有两个不同的实数根，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】首先化简，将方程的实数根转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合，即可求解.

【详解】，

若有两个不同的实数根，则有两个不同实数根，

，有，

如图，画出函数的图象，

要使得有两个不同实数根，，于是为整数，所以.

故选：C

二、多选题

9．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用给定条件结合基本不等式可判断AB；利用函数的单调性可判断CD.

【详解】对于A，，且，所以，故A正确；

对于B，，又因为，

所以，又等号不成立，故B正确；

对于C，因为，所以，所以,

可得，，所以，

因为在是单调递增函数， 所以，故C正确；

对于D，，因为在是单调递增函数，

所以，故D错误.

故选：ABC.

10．已知向量，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则

D．在上的投影向量为

【答案】ABD

【分析】根据向量的坐标，表示向量夹角的余弦值，判断A；利用数乘公式，判断B；根据向量垂直的坐标表示求的值，判断C；根据向量投影公式，判断D.

【详解】由题知，A正确；

，所以，В正确.

若，则，

则，C不正确；

在的投影向量为，D正确.

故选：ABD

11．狄利克雷是解析数论的创始人之一，对数学分析和数学物理有突出贡献，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，以下关于狄利克雷函数的说法正确的是（    ）

A．是偶函数 B．

C．值域是 D．函数值域包含正整数集

【答案】AB

【分析】根据狄利克雷函数的解析式，结合函数的奇偶性的定义和运算，可判定A、B正确，C错误；结合函数的值域中不含有4，可判定D错误.

【详解】由题意，函数的定义域是，

若是有理数则也是有理数，若是无理数则也是无理数，

所以，函数为偶函数，所以A正确；

当是无理数时，；当是有理数时，，

所以B正确；

由函数值域是，所以C错误；

函数，

由，可得，此时为无理数，所以，

由，可得，此时为有理数，所以，

综上可知，函数的值域内不含有，所以D错误.

故选：AB.

12．在中，，以下结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，利用向量运算可得，，，再利用三角形面积性质判断作答.

【详解】由，两边同时乘以，得，

令，则，即有，

因此，点在上，且，如图，

所以，则；

同理，两边同时乘以得：，

令，点在上，，

所以，则；

，

所以.

故选：ABD

三、填空题

13．已知函数，则          .

【答案】

【分析】根据解析式可推导得到，进而求得结果.

【详解】，.

故答案为：.

14．已知函数，，当时，函数取得最小值，则          .

【答案】

【分析】利用基本不等式取等条件可确定的取值，结合二倍角余弦公式可求得结果.

【详解】当时，，

（当且仅当，即时取等号），

，.

故答案为：.

15．三国时期东吴的数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一张勾股圆方图（也称赵爽弦图），弦图作为可分解的一种图模型在代数与几何，以及复杂统计量的分解和参数估计都有着极大的作用.现有一弦图，为正方形，，过作的垂线交于点，线段上存在一点，使得，则          .

【答案】

【分析】利用面积关系，结合向量共线，即可求解.

【详解】连接，

因为，所以，

所以，

所以，，故.

故答案为：

16．已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围是          .

【答案】

【分析】首先根据方程，求得或，再画出函数的图象，结合函数零点的个数，利用数形结合求的取值范围.

【详解】的大致图象如图，

函数有5个零点等价于方程

有5个不同的根，

解关于的二次方程得：或；

由的图象可知有两个根，则需有3个根，

所以，则实数的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的最小正周期，并求出使函数取得最大值的的集合；·

(2)当，求函数的值域.

【答案】(1)最小正周期2，；

(2).

【分析】（1）由周期公式可求出最小正周期，再由可求出函数取得最大值的的集合；

（2）令，则，然后根据正弦函数的性质可求出函数的值域.

【详解】（1）最小正周期，

当（），即时，函数取得最大值，

所以取最大值时，的集合是；

（2）令，因为，所以，

在区间上单调递增，在区间单调递减，

当时，时，时，.

所以当时，函数最大值为3，最小值为，

故函数的值域为.

18．已知复数.

(1)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围；

(2)若该虚数是关于的方程的一个根，求实数的值.

【答案】(1)

(2)13

【分析】（1）根据条件中复数的特征，列式求实数的取值范围；

（2）根据条件可知，和都是方程的根，结合韦达定理，即可求解.

【详解】（1）复数在复平面内对应的点在第四象限，

所以，解得：，得，

则实数的取值范围为；

（2）因为虚数是方程的一个根，所以虚数也是方程的一个根，

于是，

解得，得到，

.

19．在中，角所对的边分别为，且满足为中点.

(1)若，求长；

(2)若周长为6，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）首先利用边角互化，求角，再利用，结合向量模的公式，即可求解；（2）由余弦定理，并结合基本不等式求的最大值，即可求面积的最大值.

【详解】（1）因为，

由正弦定理得，

，

，

，

所以，

所以；

（2）由余弦定理得：

，整理得：，

因为，所以，

所以或，即或，

又因为，所以，

所以，当且仅当时等号成立，

所以，

即面积的最大值为.

20．已知函数.

(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；

(2)若对于任意的总存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）分类讨论函数的类型，图象的开口方向，结合二次函数的单调性列式可求出结果；

（2）转化为的值域是值域的子集，再分别求出和的值域，根据子集关系列式可求出结果.

【详解】（1）当时，，在区间上单调递减，符合题意；

当，函数是二次函数，对称轴为，

因为函数在区间上单调，

所以当时，则，所以，

当时，则，所以，

综上所述，若函数在区间上单调，则实数的取值范围.

（2）由条件可知：的值域是值域的子集，

因为，当且仅当即时等号成立，

所以值域为；

当时，值域为，显然符合条件；

当时，值域为，不成立；

当时，值域为，

由的值域是值域的子集，得，即；

综上所述，实数的取值范围为.

21．塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委､生态环境部等9部门联合印发《关于扎实推进塑料污染治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，将禁用不可降解的塑料袋､塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍.（参考数据：）

(1)塑料自然降解，残留量为初始量的，大约需要多久？

(2)为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的，至少需要多久？（精确到年）

【答案】(1)207年；

(2)21年.

【分析】（1），则可求出的值，从而可得答案，

（2）由题意得，可求出，然后解不等式可得结果.

【详解】（1）由题可知，

所以，

所以，

所以残留量为初始量的，大约需要207年；

（2）根据题意当时，，

，解得，

所以，

若残留量不足初始量的，则，

，两边取常用对数，

，所以至少需要21年.

22．已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且满足

(1)求 .

(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围 .

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先切化弦，再由正弦定理可得；

（2）根据锐角三角形，再由余弦定理可得边长间关系得出范围.

【详解】（1）由题可知两边同乘

由正弦定理得，

（2）为锐角三角形，所以cosA>0，cosB>0，cosC>0

由余弦定理得

把代入上面不等式，并两边同时除以可得

解得

由正弦定理得

的取值范围是