2022-2023学年河北省石家庄北华中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年河北省石家庄北华中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．若，则的值是（    ）

A．0 B．1 C．-1 D．

【答案】B

【分析】根据集合相等列出方程组，求出，检验是否满足元素互异性，最后代入求解.

【详解】因为，所以①或②，

由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，

符合题意，

由②得，符合题意，

两种情况代入，答案相同.

故选：B

2．如果二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为，3，且a<0，那么不等式ax2＋bx＋c>0的解集为（    ）

A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}

C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2}

【答案】C

【分析】本题先根据一元二次方程的两根因式分解，再根据a<0求一元二次不等式的解集即可.

【详解】解析：由二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，且a<0，知不等式ax2＋bx＋c>0可化为a(x＋2)(x－3)>0，即(x＋2)(x－3)<0，方程(x＋2)(x－3)＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，则不等式(x＋2)(x－3)<0的解集是{x|－2<x<3}，

故选：C.

【点睛】本题考查根据一元二次方程的根求对应一元二次不等式的解集，是基础题.

3．已知，若，则的值是（    ）

A．1 B．1或 C．1或或 D．

【答案】D

【分析】根据分段函数解析式，将各段等于3，解方程取满足范围的值即可.

【详解】若，则，解得（舍去）；

若，则，解得或（舍去）；

若，则，解得（舍去），

综上，.

故选：D.

【点睛】本题考查了由分段函数的函数值求自变量，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

4．函数f（x）=

A．（-2,-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）

【答案】C

【详解】试题分析：

，所以零点在区间（0，1）上

【解析】零点存在性定理

5．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数，现有100℃的物体，放在10℃的空气中冷却，5分钟后物体的温度是40℃，则k约等于（    ）（参考数据

A．0.22 B．0.27 C．0.36 D．0.55

【答案】A

【分析】根据题意列出方程，利用指数和对数运算法则计算出结果.

【详解】根据题意，即，

解得，

故选：A

6．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复合函数单调性同增异减，可得在区间上单调递增，由对数函数的性质，真数恒大于0，可得，再利用二次函数的单调性和值域求解即可.

【详解】解析：令．

因为在上单调递减，

所以函数在区间上单调递增，且恒大于0，

所以对称轴且，所以且，

解得，即a的取值范围为，

故选：D．

7．已知P＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（    ）

A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q

【答案】C

【分析】由基本不等式可得，通过配方结合可得即可选得答案.

【详解】，当且仅当时等号成立，

，当时等号成立，

所以.

故选：C

8．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先根据函数为偶函数，不等式变形为，由函数在上单调递减，且，求出在上单调递增，且，分与两种情况进行求解，得到答案.

【详解】因为为偶函数，所以，

所以，且，

因为在上单调递减，且，

所以在上单调递增，且，

当时，则，故，

当时，则，故，

综上：的解集为.

故选：B

二、多选题

9．在所给的四个条件：①；②；③；④中，能推出成立的有（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】ABD

【分析】利用不等式的基本性质通过①，判断是否成立；②，同乘，判断即可；③，直接判断能否得到；④，同乘，判断即可．

【详解】解：由不等式的基本性质可知①，，所以①能使成立的条件；

②，同乘，可得，②能使成立的条件；

③，可知不成立；

④，同乘，成立．

故选：ABD．

【点睛】本题考查不等式的基本性质，注意不等式成立的条件的应用，考查计算能力，推理能力，属于基础题．

10．下列命题中是假命题的有（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】ACD

【分析】依次判断选项中命题的真假性即可.

【详解】对选项A，当时，，所以，为假命题.

对选项B，若，则，所以，为真命题.

对选项C，若，则，不满足，，

所以，为假命题.

对选项D，，则，所以不存在，满足，

即，为假命题.

故选：ACD

11．可以使得函数有意义的x的值为（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】AB

【分析】利用真数大于0，被开方数大于等于0，列出不等式组，求出定义域，得到答案.

【详解】要满足，解得，故AB选项正确.

故选：AB

12．下列函数中，是奇函数且存在零点的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】AD选项，满足奇函数定义且存在零点；B选项，由函数定义域可知不是奇函数；C选项，函数无零点.

【详解】A选项，定义域为R，且，

故为奇函数，且，存在零点，A正确；

B选项，定义域为，定义域不关于原点对称，故不是奇函数，B错误；

C选项，与轴无交点，故无零点，C错误；

D选项，定义域为R，且，

故为奇函数，且，D正确.

故选：AD

三、填空题

13．已知函数在区间上的最大值比最小值大，则a=            

【答案】或

【分析】分与两种情况，求出最值，列出方程，得到答案.

【详解】当时，在上的最大值为，最小值为，

故，解得或（舍去）；

当时，在上的最大值为，最小值为，

故，解得或（舍去），

综上或.

故答案为：或

14．已知函数的图像过定点P，则P点的坐标是           

【答案】

【分析】根据指数函数的性质进行求解.

【详解】令得，此时，故恒过点，

所以恒过点，故P点的坐标为.

故答案为：

15．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是        ．

【答案】(2,3)

【详解】设函数f(x)＝x3－2x－5.∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(4)＝51＞0，

∴下一个有根区间是(2,3)．

四、双空题

16．已知函数，函数的零点是            ，若函数有三个零点，则实数m的取值范围是           

【答案】     0和-2    

【分析】分与两种情况，解方程，求出零点，转化为与交点个数问题，画出两函数图象，数形结合得到答案.

【详解】当时，令，解得，不合要求，舍去；

当时，令，解得或，满足要求，故函数零点为0和-2；

有三个零点，等价于与有三个交点，

在同一坐标系内，画出的图象及的图象，如下，

故当时，满足与有三个交点，即有三个零点.

故答案为：0和-2，

五、解答题

17．设全集，已知集合，.

(1)求；

(2)记集合，已知集合，若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先求出集合、，再根据补集、交集的定义计算可得；

（2）由（1）可得，依题意可得，分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.

【详解】（1）解：∵，，

且，

；

（2）解：由题意得．

∵

，

∴或，

①当时，，解得；

②当时，解得．

综上所述，所求的取值范围为．

18．已知幂函数

(1)求的解析式；

(2)若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间；

(3)若图像经过坐标原点，解不等式.

【答案】(1)或；

(2)，单调递减区间为，无递增区间；

(3)

【分析】（1）根据函数为幂函数得到，求出答案；

（2）在（1）的基础上，得到，得到函数单调区间；

（3）在（1）的基础上，得到，解不等式，求出解集.

【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或2，

故或.

（2）当时，的图像经过坐标原点，不满足要求，

当，的图像不经过坐标原点，此时的单调递减区间为，无递增区间；

（3）若图像经过坐标原点，则，

由可得，解得，

所以原不等式的解集为.

19．（1）已知求的最大值

（2）已知求的最大值

（3）已知，且，求的最小值

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）变形后利用基本不等式进行计算；（2）先计算出，从而得到；（3）利用基本不等式“1”的妙用求解最值.

【详解】（1）因为，所以，

故由基本不等式得，

当且仅当，即时等号成立，

故的最大值为；

（2）因为，所以，，

由基本不等式得，

当且仅当，即时，等号成立，

故，

故的最大值为；

（3）已知，且，故，

故，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为.

20．函数的定义域为.

(1)设，求t的取值范围；

(2)求函数的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值

【答案】(1)

(2)的最大值为12，此时；最小值为，此时.

【分析】（1）根据对数函数的单调性求出的取值范围；

（2）在（1）的基础上，化简得到，求出最值和对应的x的值.

【详解】（1）在单调递增，

故；

（2），

令，，

则函数变形为，

当时，，此时，解得，

当时，，此时，解得

21．计算

(1)

(2)

(3)

【答案】(1)0

(2)1

(3)

【分析】（1）（2）利用对数运算法则计算；（3）利用分数指数幂和根数运算法则进行计算.

【详解】（1）

；

（2）

（3）

.

22．已知且满足不等式．

（1）求实数a的取值范围． 

（2）求不等式．

（3）若函数在区间有最小值为，求实数a值．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）根据指数函数的单调性即可求解；

（2）由题意利用指数函数的性质求出的范围，再利用指数､对数函数的性质，求得的解集.

（3）根据a的范围，利用对数函数的性质，求出a的值.

【详解】解：，

，即，

， 又， ．

由知，

．

等价于    即，    ，

即不等式的解集为

，

函数在区间上为减函数，

当时，y有最小值为，

即，

，

解得或舍去，

所以．

【点睛】本题考查指、对数不等式的解法及指对函数基本性质的应用，指、对数不等式的解法一般根据底数确定单调性，然后建立不等式求解即可，注意对数函数真数恒大于0，属于基础题.