浙江省宁波市北仑中学2023-2024学年高二数学上学期期初考试试题（Word版附解析）

绝密★考试结束前

北仑中学2023学年第一学期高二年级期初返校考数学试卷

（全年级+外高班使用）

命题：高二数学组   审题：高二数学组

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，则的虚部是（    ）

A． B． C． D．

2．设等比数列的首项为1，公比为，前项和为．令，若也是等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

3．下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足平面MNP的是（    ）

A．       B．       C．     D．  

4．已知一个等比数列的前项和､前项和､前项和分别为P，Q，R，则下列等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

5．在锐角中，角,,的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

7．若是的外心，且，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

8．已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，点在侧面PBC内的射影为的垂心，二面角的平面角的大小为，则AP的长为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ）

A． 

B．，则

C．若，，则 

D．，则向量在向量上的投影向量的坐标为

10．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则          B．若，则为锐角三角形

C．若，则此三角形有2解      D．若，则为等腰三角形

11．已知实数，，成公差不为0的等差数列，若函数满足，，成等比数列，则的解析式不可以是（    ）

A．         B．       C．          D．

12．如图，在长方形中，，，点,分别为边，的中点，将沿直线进行翻折，将沿直线进行翻折的过程中，则（    ）

A．直线与所成角可能为75° B．直线与直线可能垂直

C．平面与平面可能垂直 D．直线与平面可能垂直

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，且，则___________.

14．如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是__________．

15．、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是___________．

16．已知等差数列的前项和为，且，若，数列的前项积为，则使的最大整数为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）已知复数，其中是正实数，是虚数单位．

（1）如果为纯虚数，求实数的值；

（2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值．

18．（本题满分12分）在中，三个内角所对的边分别是，，，且．

(1)求；

(2)当取最大值时，求的面积．

19．（本题满分12分）已知数列的前项和，是等差数列，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前项和．

20．（本题满分12分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系统化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形(如图)．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．

问题：如图2，已知满足，，设，四边形、四边形、四边形都是正方形．

（1）当时，求的长度；

（2）求长度的最大值．

21．（本题满分12分，使用空间向量法解答一律不给分）如图，在平行四边形中，,，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且,分别为的中点.

（Ⅰ）证明：∥平面.

（Ⅱ）若平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值.

22．（本题满分12分）已知数列中，关于的函数有唯一零点，记．

（Ⅰ）判断函数的奇偶性并证明；

（Ⅱ）求；

答案解析：

1．D

【详解】由题意可得，则.故选：D.

2．A

【详解】：由题意可知，，，，

，若也是等比数列，

，即，即，解得或（舍去）．

故选：．

3.A

【详解】对于A：连接，交与点，连接，因为，分别为中点，

所以，由线面平行的判定定理可知，平面，故C正确；

对于B：如图所示，分别是所在棱的中点，连接

则平面MNP和平面为同一平面，因为，

因为与平面相交，所以不满足平面，故B错误；   

对于C：连接，由图可知，与平面相交，故不满足平面，故A错误；

对于D：分别是所在棱的中点，连接，，

平面与平面为同一平面，

取的中点为，连接，由中位线定理可知，，

因为与平面相交，所以不满足平面，故D错误；故选：A；

4.D

【详解】当时，

当时，

对于A, 当时，故A错，

对于B, 当时，，故B错，

对于C, 当时，，故C错，

对于D, 当时，，

，

当时，

则，故选项正确，故选：D

5.C

【详解】因为的面积为，

所以，

中，由余弦定理得，，

则，因为，所以,

又，，所以，

化简得，解得或（不合题意，舍去）；

因为，所以，，

因为，所以

因为，所以，所以，

因为，，所以，，

所以，因为在上单调递增，

所以，所以，

因为，所以.故选：C．

6.B

【详解】

如图，取中点为，连接，设外接圆的圆心为，连接.

因为，，中点为，所以.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以，平面.

设为三棱锥外接球的球心，半径为，连接，则，平面.

因为，，

所以，，，.

设，，过作交于点，连接，

则，.

又平面，，

在中，有.

又在中，有.

所以，有，解得，

所以，.

所以，三棱锥外接球的表面积为.

7.C

【详解】如图所示：

 设，， ，，

由，

得

化简得，由是的外心可知，

是三边中垂线交点，得，代入上式得

，所以，

根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，.

所以，

由柯西不等式可得：，

所以，所以，

所以，当且仅当“”时，等号成立.

所以的最大值为.故选：C.

8.C

9.BD

对于A：表示与共线的一个向量，

表示与共线的一个向量，故A错误；

对于B：若，则，即，

所以，则，故B正确；

对于C：因为，即，又，所以，即向量与在向量方向上的投影相同，故C错误；

对于D，，则向量在向量上的投影为，

所以向量在向量上的投影向量的坐标为，故D正确.

10.AC

【详解】

对于A项，因为，所以由正弦定理可知，，故B项正确；

对于B项，因为，所以，所以为锐角，但不一定是锐角三角形，故B项不成立；

对于C项，如图所示， 因为，所以此三角形有2解，故C项正确；

对于D项，因为，，所以或，即：或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D项不成立.故选：AC.

11.ABC

【详解】若是f(x)=2x,则由于a,b,c成等差数列，∴2a,2b,2c也成等差数列，

即f(a),f(b),f(c)也成等差数列，要使f(a),f(b),f(c)同时也成等比数列，则f(a)=f(b)=f(c)，从而a=b=c,从而等差数列a,b,c的公差为零，与已知矛盾；

若f(x)=2x+1,同理得到矛盾；

若f(x)=x3,为使f(a),f(b),f(c)成等比数列，必须且只需a,b,c成等比数列，又∵a,b,c成等差数列，∴a,b,c为常数列，进而公差为零，与已知矛盾；

若f(x)=x2+1，设a=b-d,c=b+d(d≠0),f(a)f(c)=f2(b)等价于[(b-d)2+1][(b+d)2+1]=(b2+1)2,整理得：d2-2b2+2=0,即只要b,d满足上式，f(a),f(b),f(c)便成等比数列，比如取b=d=既满足要求.

取a=0,b=,c=,满足a,b,c成等差数列，且公差不为零，此时，f(a)=1,f(b)=3,f(c)=9,f(a),f(b),f(c)成等比数列.故选：ABC.

12.BC

【详解】如图，将沿直线BF进行翻折，得到以BF为轴，线段AF绕BF旋转形成的一个圆锥，点在圆锥的底面圆周上，同理将沿直线DE进行翻折的过程中，点也在相应的圆锥的底面圆周上.

对于B，如图，在长方形ABCD中，.旋转形成的圆锥的轴截面张角最大，由，，则，，所以，则，

假设不做旋转，在旋转过程中可以与旋转前的初始位置垂直，即在旋转过程中可以与AB垂直，故B正确.

对于A，由选项B同理可得，，轴截面张角，

所以同理可得直线AF与CE所成角不可能为60°，故A错误；

对于C，当平面ABF不做旋转，平面CDE旋转到与平面BEDF垂直时，即平面ABF与平面CDE垂直，故C正确.

对于D，若直线AF与平面CDE垂直，则直线AF与CE垂直，由选项B可知，，直线AF不可能与CE垂直，所以直线AF与平面CDE不可能垂直，故D错误；

13.-3 解：由于，所以，则，

所以．

14.3/5 解：几何体的轴截面如图所示，设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则球的半径也为，

因为圆锥的体积恰好等于半球的体积，所以，得，

所以，设圆锥的轴截面的顶角为，则

，

15.10 连接，如下图所示：

因为，则为圆的一条直径，故为的中点，

所以，，

所以，

，当且仅当、、共线且、同向时，等号成立.

16.21 设等差数列的公差为，则，故为各项为正数的等比数列.因为，故，故，故，，故，，所以，

，

，所以，

17.

18. （1）因为，所以，

由正弦定理可得，整理得到：，

所以，而，故.

（2）因为，故，

故，所以，

故，

整理得到，

故，当且仅当时等号成立.

故此时，对应的的面积为.

19.解：（Ⅰ），时，，时，，；

，，．，，，

，，；

（Ⅱ）

①，②，

①②可得

，．

20.解：（1）在中，，，，则，，

因为，所以，

在中，，，

由余弦定理

，

所以的长度为6．

（2）在中，，所以，

设，在中，，

所以①，在中，由正弦定理得，

所以，

代入①可得，

因为，所以，当即时，的最大值为，所以长度的最大值为6．

21.解：

（1）连接，交于，连接，

（2）

22.（1）要点：定义域关于原点对称；.

（2）解：由为偶函数，又关于的方程有唯一解，

是唯一解，，可得；又，；

（3）证明：

；

又，

，

；