2022-2023学年浙江省宁波市北仑中学高二（2-10班、外高班）上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省宁波市北仑中学高二（2-10班、外高班）上学期期中数学试题

一、单选题

1．若两直线与平行，则它们之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先根据两直线平行求出，再利用两平行线间距离公式即得.

【详解】依题意可得，，解得

所以直线方程为，又，即，

则两平行直线的距离为.

故选：B.

2．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP=2PN，设向量，，，则= （    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由空间向量的线性运算，，再转化为用表示即得解

【详解】由题意，

=+=×(+)+×=

故选：C

3．已知直线的方向向量，直线的方向向量，若且，则的值是（    ）

A．-3或1 B．3或-1 C．-3 D．1

【答案】A

【分析】根据空间向量的模的坐标表示结合即可求得x的值，再根据，列出方程，即可求得y，从而可得答案.

【详解】解：∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴当时，，则，

当时，，则

∴或-3.

故选：A.

4．一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（    ）

A． B．

C． D．1

【答案】B

【解析】根据题意，只有1人解出，则分三类，一是A解出而其余两人没有解出，一是B解出而其余两人没有解出，一是C解出而其余两人没有解出，每一类用独立事件概率的乘法公式求解，然后这三类用互斥事件概率的加法求解.

【详解】.

故选：B

【点睛】本题主要考查了独立事件的概率和互斥事件的概率，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.

5．若样本的平均值是5，方差是3，样本的平均值是9，标准差是b，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设的平均值为，方差为，进而根据公式列式求解即可.

【详解】解：设的平均值为，方差为，

因为样本的平均值是5，方差是3，

所以，

因为样本的平均值是9，标准差是b，

所以，，

所以

故选：D

6．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先证明平面，以点为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立的空间直角坐标系，利用点到面的距离可求解.

【详解】解：由题意得：

因为，为中点

所以

又，与交于点A，平面，平面

所以平面

以点为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

故，

所以

所以

又，，设平面的法向量，则

令，则，，所以.点到平面的距离为，解得或（舍）

故选：A.

7．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，列举所有比赛的情况，利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.

【详解】设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，所有比赛的情况:：

、、，齐王获胜三局；

、、，齐王获胜两局；

、、，齐王获胜两局；

、、，齐王获胜两局；

、、，田忌获胜两局；

、、，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为

故选：B

【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，考查了理解辨析和数学运算能力，属于中档题目.

8．已知圆和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的取值范围是（    ）

A．[8，64] B．[9，64]

C．[8，49] D．[9，49]

【答案】D

【分析】设P的坐标为，由可得P的轨迹为，又因为点P在圆C上，所以两圆有公共点，从而求解即可.

【详解】解：设P的坐标为，因为，，，

所以，化简得，

又因为点P在圆上，

所以圆与圆C有公共点，

所以且，

解得，

故选：D．

二、多选题

9．若为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据空间位置关系的向量方法依次判断各选项即可.

【详解】解：对于A，，故错误；

对于B，或，故错误；

对于C，，不重合，，故正确；

对于D，，故正确.

故选：CD

10．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ）

A．若点在圆上，则直线与圆相切

B．若点在圆内，则直线与圆相交

C．若点在圆外，则直线与圆相交

D．若点在直线上，则直线与圆相切

【答案】ACD

【分析】根据点与圆的位置关系、点与直线的位置关系可得出与的大小关系，再利用几何法可判断出直线与圆的位置关系.

【详解】圆的圆心为，半径为.

对于A选项，若点在圆上，则，

所以，圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相切，A对；

对于B选项，若点在圆内，则，

所以，圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相离，B错；

对于C选项，若点在圆外，则，

所以，圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相交，C对；

对于D选项，若点在直线上，则，

圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相切，D对.

故选：ACD.

11．下列说法错误的是（    ）

A．过点且在、轴截距相等的直线方程为

B．过，两点的直线方程为

C．过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围是

D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是

【答案】ABC

【分析】根据直线的截距可判断A；对选项B特殊情况不成立；利用到圆心的距离大于圆的半径,列出关于的不等式，同时考虑大于0 ,两不等式求出公共解集即可得到的取值范围可判断C；利用直线与圆的位置关系以及数形结合思想求出的取值范围，可判断D选项.

【详解】对于A，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项不正确.

对于B，两点式使用的前提是，所以B选项不正确；

对于C，把圆的方程化为标准方程得：，

∴圆心坐标为(-1,2)，半径，

则点到圆心的距离，

因为点在圆外时，

过点总可以向圆作两条切线，

∴即，且，解得：，所以C选项不正确；

对于D，由可得，得，

所以曲线表示圆的上半圆，

直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示：

当直线与半圆相切且切点位于第二象限时，

则，解得；

当直线过点时，则，解得.

由图可知，直线与曲线有两个不同的交点，

则实数的取值范围是，所以D选项正确.

故选：ABC.

12．若圆上有4个点到直线的距离为1，则实数可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】设直线，与直线平行且距离为1，若圆上有4个点到直线的距离为1，分析可得要大于最远的一条直线到圆心的距离，再通过点到直线的距离即可得出答案.

【详解】圆的圆心到直线的距离，

设直线，与直线平行且距离为1，如图，

则若圆上有4个点到直线的距离为1，

这4个点就为直线，与圆的4个交点，

则两条直线，与圆的可相切，

则要大于最远的一条直线到圆心的距离，

最远的一条直线到圆心的距离为：

，

则选项C与D符合，

故选：CD.

三、填空题

13．若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______

【答案】0.686

【分析】根据题意，先求得与至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件概率的乘法公式，即可求解.

【详解】由题意，系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，其中正常工作的概率为0.7；正常工作的概率为0.8, 正常工作的概率为0.9，

则与至少有一个正常工作的概率为，

所以这个系统正常工作的概率为：0.7×0.98＝0.686；

故答案为：0.686；

【点睛】本题主要考查了对立事件和相互独立事件的概率的计算，其中解答中熟记相互独立事件的概率的计算公式，结合对立事件的概率计算公式求解是的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

14．若方程表示圆，则的值为________

【答案】

【分析】根据方程表示圆的必要条件可得，解得或；代回原方程验证方程是否表示圆即可得到结果.

【详解】若，则需，解得：或；

当时，方程可化为，即，

则方程表示圆心在，半径为的圆，满足题意；

当时，方程可化为，即，

则，方程不表示圆，不合题意；

综上所述：.

故答案为：.

15．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为__________．

【答案】

【详解】记小球落入袋中的概率，则，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以有，则．故本题应填．

16．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，，且对于任意，，，则的最小值为______．

【答案】2

【分析】由已知求得，不妨设，，，再由已知结合数量积运算求得与的值，然后求，配方后求其最小值即可求解.

【详解】∵，∴．

不妨设，，，

由题意可知，，

∴，，．

∵，∴．

∵，

∴

∴当，时，取得最小值4，

即的最小值为2．

故答案为：2.

四、解答题

17．一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，若标签的选取是无放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率；若标签的选取是有放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率．

【答案】无放回时，概率为；有放回时，概率为

【分析】利用列举法，结合抽样方法以及古典概型的概率计算公式求得正确答案.

【详解】（1）选取是无放回的，

，共有12种方法，

其中相邻的有（1，2），（2，1）（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6种，

所以两张标签上的数字为相邻整数的概率为.

（2）选取是有放回的，

，共有16种方法，

其中相邻的有（1，2），（2，1）（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6种，

所以两张标签上的数字为相邻整数的概率为.

18．年月日，我国实施“全国二孩”政策，中国社会科学院在某地随机抽取了名已婚男性，其中愿意生育二孩的有名，经统计，该名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下：

(1)根据频率分布直方图，估计这100名已婚男性的年龄平均值、众数和第25百分位数（同组数据用区间的中点值代替）；

(2)若在愿意生育二孩的且年龄在、、的三组已婚男性中，用分层抽样的方法抽取人，试估计每个年龄段应各抽取多少人？

【答案】(1)平均值35.92、众数为，第25百分位数为：33.25

(2)人数分别为人、人、人

【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数，百分位数公式及众数定义直接求解即可；

（2）利用分层抽样的定义求解即可.

【详解】（1）已婚男性的平均年龄为：

，

众数为.

设第25百分位数为，

则，解得：.

（2）在年龄段、、的频率分别为、、，

，∴人数分别为人、人、人.

19．已知圆和圆外一点．

(1)若过点P的直线截圆所得的弦长为8，求该直线的方程；

(2)求的最大值和最小值．

【答案】(1)或

(2)最大值为75；最小值为-25

【分析】（1）根据直线斜率是否存在进行分类讨论，结合弦长求得直线的方程.

（2）根据“两点间的距离”求得正确答案.

【详解】（1）当过的直线斜率不存在时，直线方程为，

由解得或，则弦长为，符合题意.

当过的直线斜率存在时，设直线的方程为，即，

圆的圆心为，半径为，

设圆心到直线的距离为，则，

即，解得，

直线方程为，即.

（2），

表示圆上的点到点的距离的平方减去，

点在圆上，

所以圆上的点到点的距离的平方的取值范围是即，

所以的取值范围是，

所以的最大值为，最小值为.

20．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，平面，，为的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的正切值；

(3)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）设，连接，由已知得，从而得到平面，由此能证明平面平面

（2）过点作垂直于点，连接，由线面垂直的判定可得平面，平面，得到二面角的平面角为，求解直角三角形得答案．

（3）在底面作，垂足为，根据平面可知点到平面的距离就是点到平面的距离，求出即可求出点到平面的距离．

【详解】（1）证明：设，连接，

菱形，是中点，

为的中点，，

平面，

平面，

又平面，

故平面平面；

（2）解：过点作垂直于点，连接，

由，平面，平面，所以，

又，平面，平面，

因为平面，所以，，，平面，平面．

二面角的平面角为，

因为底面是边长为1的菱形，，，则为等边三角形，

所以，，又，所以，

所以，

在直角中，．

（3）解：在底面作，垂足为，

平面，平面，所以，

，平面，

所以平面，

所以平面，

所以点到平面的距离就是点到平面的距离，

在中，，，

所以，即点到平面的距离为．

21．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点.

(1)求证：平面；

(2)若侧面底面，且，；

①求与平面所成的角；

②在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)①；②存在点，

【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论；

（2）①以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示，求出平面的一个法向量根据线面夹角向量公式即可求解；②设，则向量，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果．

【详解】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点.

，且

又底面是菱形，且为的中点，

，且，

，且

四边形为平行四边形，

又平面平面

平面；

（2）①在平面内过点作，由平面底面得平面，

菱形中，则，

以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，是正三角形，则，

，，，

设平面的一个法向量为，

则，取，得，所以，

设直线与平面所成的平面角为，且，

则，

故直线与平面所成的角为

②设

即

化简得，故（舍负）

综上，存在点，

22．如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．

(1)求直线的方程，并判断直线是否过定点若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；

(2)求线段中点的轨迹方程；

(3)若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值．

【答案】(1)，过定点，

(2)

(3)

【分析】（1）求出以为圆心，为半径的圆的方程，再根据线段为圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，再令直线中参数项的自变量为0求解定点即可；

（2）设的中点为点，直线过的定点为点，根据几何性质可得始终垂直于，进而求得方程即可；

（3）设切线方程为，根据直线与圆相切化简可得，设，的斜率分别为，，则，为的两根，表达出，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可.

【详解】（1），，，

故以为圆心，为半径的圆的方程为，

显然线段为圆和圆的公共弦，

则直线的方程为，即，

经判断直线过定点，即所以直线过定点

（2）因为直线过定点，的中点为直线与直线的交点，

设的中点为点，直线过的定点为点，

易知始终垂直于，所以点的轨迹为以为直径的圆，又，，故该圆圆点，半径，且不经过.

点的轨迹方程为

（3）设切线方程为，即，

故到直线的距离，即，

设，的斜率分别为，，则，，

把代入，得，

则，

故当时，取得最小值为．