浙江省宁波市北仑中学2022-2023学年高二数学上学期期中检测试题（Word版附解析）

北仑中学2022学年第一学期高二年级期中考试数学试卷

一、单选题（每小题5分，共40分）

1. 要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是（    ）

A.   B.  

C.   D.  

【答案】A

【解析】

【分析】利用相关系数的含义,判断每个选项里的相关系数的绝对值的大小即可.

详解】当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关； ，且 越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小，

故 ，因此线性相关最强的是A,

故选：A

2. 某村庄对该村内名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：

已知抽取的老年人、年轻人各名，则对列联表数据的分析错误的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题中信息可得出关于、、、、、的等式，进而可判断各选项的正误.

【详解】由题意得，，，，，，

所以，，，，，则.

故选：D．

3. 我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的第80项为（    ）

A 13 B. 14 C. 78 D. 91

【答案】D

【解析】

【分析】先由等差数列的求和公式判断出第80项为第13行的第2个数，再由二项展开式的系数规律求解即可.

【详解】由图可知：第1行有1项，第2行有2项，每一行的项数构成等差数列，前行共有项，当时，，

故第80项为第13行的第2个数，由二项展开式的系数规律可知第13行的第2个数为.

故选：D.

4. 设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（    ）

附：若，则，.

A. 0.1587 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3413

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数没有零点得到的范围，然后结合正态曲线的对称性得到的值，结合正态曲线即可得到对应概率.

【详解】函数没有零点,即方程无实根，

，即，又函数没有零点的概率是0.5，

，由正态曲线的对称性可知，

即，，

所以

故选:B.

5. 的展开式中的系数为（    ）

A.  B.  C. 120 D. 200

【答案】A

【解析】

【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.

【详解】展开式的通项公式为，

当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；

当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；

据此可得：的系数为.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题.

6. 设，随机变量X的分布列是：

则当最大时的a的值是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求得，，得到，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】根据随机变量的分布列和数学期望与方差的计算公式，

可得，

又由

可得，

因为，所以当最大时的的值为.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差的计算及应用，其中解答中熟记离散型随机变量的分布列的期望与方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于中档试题.

7. 袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球，

分别求出利用条件概率公式即可求解.

【详解】记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球，则,，

所以

所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：.

故选：C.

8. 正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（    ）种.

A. 420 B. 600 C. 720 D. 780

【答案】D

【解析】

【分析】根据对面的颜色是否相同，分①三对面染相同的颜色、②两对面染相同颜色，另一对面染不同颜色、③一对面染相同颜色，另两对面染不同颜色，分别求出不同的染色方案，最后加总即可.

【详解】分三类：

1、若三对面染相同的颜色，则有种；

2、若两对面染相同颜色，另一对面染不同颜色，则有种；

3、若一对面染相同颜色，另两对面染不同颜色，则有种；

∴共有种.

故选：D

二、多选题（每小题5分，共20分；每题完全正确得5分，不完全正确得2分）

9. 对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据y与x成正相关或负相关可判断相关系数的正负，根据点的密集程度可比较相关性的大小，从而比较相关系数绝对值的大小．

【详解】由散点图可知，线性相关系数的图像表示y与x成负相关，故-1<<0，故A正确；

线性相关系数的图像表示y与x正相关，故1>，故B错误；

∵线性相关系数的点较线性相关系数的点密集，故>，故，故C正确，D错误．

故选：AC．

10. 袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则下列结论中正确的是（     ）

A. 取出的白球个数X服从二项分布

B. 取出的黑球个数Y服从超几何分布

C. 取出2个白球的概率为

D. 取出球总得分最大的概率为

【答案】BD

【解析】

【分析】A、B根据题设描述写出取出的白球个数X、黑球个数Y的可能情况，并求出对应情况的概率，易得它们都服从超几何分布；进而可判断C、D的正误.

【详解】A：取出白球个数X可能为0、1、2、3、4，则，，，，，

所以，即取出的白球个数X服从超几何分布，错误；

B：同A，取出黑球个数Y可能为0、1、2、3、4，易得，即取出的黑球个数Y服从超几何分布，正确；

C：由A知取出2个白球概率为，错误；

D：总得分最大，即取出的都是黑球，由A知：概率为，正确.

故选：BD

11. 对任意实数x，有．则下列结论成立的是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】CD

【解析】

【分析】由题可知，利用二项展开式的通项即可求得，即可判断A；令，可得，即可判断B；令，可得，即可判断C；令，可得，即可判断D.

【详解】对任意实数x有

，

所以，故A不正确；

令，可得，故B不正确；

令，可得，故C正确；

令，可得，故D正确．

故选：CD．

12. 已知数列满足：，，下列说法正确的是（    ）

A. ，成等差数列 B.

C.  D. ，一定不成等比数列

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意得，再结合数列单调性与得，可判断B选项；由递推关系式易得，进而可判断A选项；根据数列单调性得，进而可得判断C；利用反证法先假设，成等比数列，推出之间的公比为，结合可以得到成等比数列，与矛盾，故假设不成立，可判断D

【详解】解：因为，

所以，且，

所以①，

所以②

所以，②-①整理得：

因为，

所以数列为单调递增数列，

所以，即，故B选项正确；

对于A选项，若，成等差数列，则成等差数列，由递推关系得，显然不满足等差数列，故A选项错误；

对于C选项，因为，数列为单调递增数列，

所以，即，

所以，因为，所以，

所以，从第2项起，数列介于以为首项，公比分别为和为公比的等比数列对应项之间，

所以，故C选项正确；

对于D选项，假设，成等比数列，设之间的公比为，

由可得即，

因为，所以，解得，

因为为单调递增数列，所以，

由可得，即整理得，所以成等比数列，

所以以此类推能得到成等比数列，与矛盾，故假设不成立，故D正确；

故选：BCD

【点睛】本题关键点在于通过数列的递推关系式以及等差数列、等比数列研究数列的性质，D选项中反证法的应用是本题的重难点，注意掌握加以应用.

三、填空题（每小题5分，共20分）

13. 设随机变量X服从二项分布，若，则______．

【答案】

【解析】

【分析】由随机变量X服从二项分布可得，然后利用即可得到答案

【详解】解：因为随机变量X服从二项分布，

所以，

所以，

因为，所以，

故答案为：

14. 下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：）的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为，则相应于点的残差为________.

【答案】.

【解析】

【分析】由表中数据计算出，，代入线性回归方程求出，进而可求得结果.

【详解】，，

代入线性回归方程得，解得，

则线性回归方程为.

所以，则相应于点的残差为.

故答案为：.

15. 把a，a，a，b，b，，排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，则这样的排法共有______种．

【答案】96

【解析】

【分析】计数综合问题，可先对b，b，，进行排列，然后用“插空法”解决三个“a”两两不相邻的问题，最后减去两个“b”相邻的情况即为所求

【详解】根据题意，分情况进行分析：

①先排列b，b，，，若，不相邻，则有（种）排法，若，相邻，则有（种）排法．所以b，b，，的排法有（种），排好后有5个空位．

②从所形成的5个空中选3个插入a，共有（种）方法，若b，b相邻，从所形成的4个空中选3个插入a，共有（种）方法，

故三个“a”两两步相邻，且两个“b”也不相邻的排法共有（种）．

故答案为：96

16. 将杨辉三角中的每一个数都换成，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形. 记第三斜列构成数列，即，则的前项和__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可得，再应用分组和裂项求和求即可.

【详解】由题设，、、、…….、，

所以，

又，，

所以.

故答案为：

四、解答题（共70分）

17. 甲、乙等6个班级参加学校组织的广播操比赛，若采用抽签的方式随机确定各班级的出场顺序（序号为1，2，…，6），求：

（1）甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率；

（2）甲、乙两班级之间的演出班级（不含甲乙）的个数X的分布列.

【答案】（1）   

（2）分布列见解析

【解析】

【分析】（1）先求出甲、乙两班级的出场序号均为偶数的概率，再利用对立事件的概率公式即可得出答案.

（2）列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列.

【小问1详解】

由题意得，甲、乙两班级的出场序号均为偶数的概率，

故甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率.

【小问2详解】

易知X的可能取值为0，1，2，3，4，

，，，，.

故X的分布列为

18. 已知二项式，（且）．若、、成等差数列．

（1）求展开式的中间项；

（2）求的最大值．

【答案】（1）；（2）7．

【解析】

【分析】（1）根据二项式定理写出并化简，写出，由这三项成等差中项列出等式解出n，进而写出最中间项即可；

（2）设最大，则，展开解出即可.

【详解】（1），

则，，

，由题意知，

则，即，因为，所以.

展开式的中间项是

（2）设最大，则有

，

即，解得,又，∴或6

所以的最大值为.

19. （1）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？

（2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？

（3）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？

【答案】（1）10；（2）65；（3）1560.

【解析】

【分析】（1）应用隔板法，在6个小球队列的5个空隙中插入3块隔板，即可得结果；

（2）将6个不同的小球按{2,2,1,1}和{3,1,1,1}两种方案分组放入箱子，即得结果；

（3）在（2）的基础上，作全排列即可得结果.

【详解】（1）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，

将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板，

所以不同的放法种数为；

（2）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球，

先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，

每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法，

所以不同的放法种数为；

（3）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，

先把6个不同小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，

每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求，

所以不同的放法种数为．

20. 经观测，某种昆虫的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数（）的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表．

表中，．

（1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，试求y关于x的回归方程．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，结合给定的回归方程模型的特征即可判断；

（2）对变换得：，变换后得样本点分布在一条直线附近，即可用线性回归方程来拟合，即可求出关于回归方程．

【小问1详解】

适宜作为y与x之间的回归方程模型；

理由如下：

回归方程模型适用于散点图呈直线型；

回归方程模型适用于散点图上升，且上升趋势越来越慢；

回归方程模型适用于散点图上升，且上升趋势越来越快，呈指数型变化；

根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为y与x之间的回归方程模型．

【小问2详解】

令，则，

由表中数据可得，；

，∴；

∴y关于x的回归方程为．

21. 2022年卡塔尔世界杯将11月20日开赛，某国家队为考察甲、乙两名球员对球队的贡献，现作如下数据统计：

乙球员能够胜任前锋､中场､后卫三个位置，且出场率分别为：0.1，0.5，0.4；在乙出任前锋、中场、后卫的条件下，球队输球的概率依次为：0.2，0.2，0.7

（1）根据小概率值=0.025的独立性检验，能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联？

（2）根据数据统计，问：

①当乙参加比赛时，求该球队某场比赛输球的概率；

②当乙参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当中场的概率；

③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？

附表：

【答案】（1）认为该球队胜利与甲球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过；   

（2）①；②；③应该多让乙球员担任前锋，来扩大赢球场次.

【解析】

【分析】（1）完善列联表中数据，求出卡方的观测值，再与临界值表比对作答.

（2）①利用全概率公式计算某场比赛输球的概率，②利用条件概率公式计算乙担当中场的概率；③求出球队输的条件下乙任前锋、后卫概率得解.

【小问1详解】

依题意，，

零假设为：球队胜利与甲球员参赛无关，则的观测值，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该球队胜利与甲球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过.

【小问2详解】

①设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中场”；表示“乙球员担当后卫”；表示“球队输掉某场比赛”，有，，，，，

则

，所以该球队某场比赛输球的概率是0.4.

②由①知，球队输的条件下，乙球员担当中场的概率.

③由①知，球队输的条件下，乙球员担当前锋的概率，

球队输的条件下，乙球员担当后卫的概率，

由②知，，

所以，应该多让乙球员担任前锋，来扩大赢球场次.

22. 已知数列满足，（其中）

（1）判断并证明数列的单调性；

（2）记数列的前n项和为，证明：．

【答案】（1）单调递减，证明见解析；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）应用作差法比较大小，即可判断的单调性；

（2）根据递推式易得且，即，再由可得，应用累加法可得，进而有，由裂项相消法即可证结论.

【小问1详解】

单调递减，理由如下：．

∵，结合递推式易得，

∴，故数列单调递减；

【小问2详解】

∵，，，

∴，又，故，

∵，，

∴，则，

当，累加得，

则，故，

所以，

∴，

综上，有.