浙江省宁波市九校2023-2024学年高一上学期1月期末联考数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则的子集个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合，进而可求出集合，确定集合的元素个数，利用子集个数公式可求得结果.
【详解】因为，，则，
所以，的元素个数为，的子集个数是，
故选：C.
2. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换可得出结论.
【详解】为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，
故选：B.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】当时，不妨取，，则，所以，“”“”，
另一方面，当时，由不等式的基本性质可得，
所以，“”“”，
因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知菱形的边长为1，若，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将平方转化为数量积求解.
【详解】
.
所以.
故选：D
5. 若函数为偶函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据为偶函数，得在(或其子集)上为偶函数，求得的取值范围.
【详解】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数，
在(或其子集)上为偶函数，
恒成立，
恒成立，

故选: A .
6. 某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（ ）
A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍
【答案】C
【解析】
【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出的值，利用指数运算可求得结果.
【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍，
即，即，即，
再过周后该植物的长度为.
因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍.
故选：C.
7. 已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】令，
对任意的，，
故对任意的，，故函数的定义域为，
因为
，所以，，函数为奇函数，
令，则函数在上为增函数，
函数为增函数，所以，函数在上为增函数，
由，可得，
所以，，
所以，，即，
令，
当时，则有，显然成立；
当时，则，
所以，函数在、上单调递减，在上单调递增，
又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，所以，，解得，此时，；
当时，则，
所以，函数在上单调递减，在、上单调递增，
又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，所以，，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
8. 已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（ ）
A. 2B. 6C. 10D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性求出，再由在上没有最小值，求出答案.
【详解】由题意知，
因为为奇函数，所以，
，
因为为偶函数，所以，
相加得，
又因为 ，所以，
代入得，即，
代入得，即，即.
因为 在上没有最小值，
设，则，所以，的最大值是2.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用奇偶性求出及的表达式；二是利用区间上没有最小值可求的不等关系.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列式子化简正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式可判断A选项；利用辅助角公式可判断B选项；利用两角差的正切公式可判断C选项；利用诱导公式结合二倍角的正弦公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，
，A错；
对于B选项，
，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，
，D对.
故选：BD.
10. 已知边长为的正边形.若集合且，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的定义逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，当时，如下图所示：
则，，
，
同理可得，，，
故时，，A对；
对于B选项，当时，如下图所示：
，，
，此时，，B错；
对于C选项，当时，取的中点，连接，则，如下图所示：
易知正五边形的每个内角都为，则，故，
则，
由平面向量数量积的定义可得，
故当时，，C对；
对于D选项，当时，设正六边形的中心为，如下图所示：
易知正六边形的每个内角都为，则，
故，所以，，
，则，
由正六边形的几何性质可得，则，
则，结合图形可知，故，
因此，当时，，D对.
故选：ACD.
11. 若，则（ ）
A. 的最小值是
B. 的最小值是
C. 的最大值是0
D. 的最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】结合对数的运算，利用不等式的性质与基本不等式即可解决.
【详解】若，则，，，即.
对于A，，当且仅当，
即，时，等号成立，可得，故A错误；
对于B，由，可得，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故B正确；
对于C，由，可得，
所以，
当且仅当，时，等号成立，故C正确；
对于D，由，可得，可知，
故，
令，可知，，
故，
当且仅当，即，时，等号成立，故最大值是，故D正确.
故选：BCD.
12. 下列大小关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据换底公式结合对数函数单调性分析判断；对于B：根据换底公式结合基本不等式以及对数函数单调性分析判断；对于C：根据对数函数单调性以及中间值分析判断；对于D：结合图象可知当时，则，进而可得结果.
【详解】对于选项A：因为均不为0，且，
又因为在定义域内单调递减，可得，
则，所以，故A正确；
对于选项B：因为
且，
，
可得，即，故B正确；
对于选项C：因为，则，可得，
且，所以，故C错误；
对于选项D：对于与，如图所示，
可知当时，则，
令，可得，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：对于选项D：构建函数，结合图象可得当时，则，令即可得结果.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 杭州第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成如图1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.会徽的几何图形如图2所示，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为.若，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式及求解即可.
【详解】设扇形的面积为，，则.
所以，即，
所以.
故答案为：2
14. 与向量共线的一个单位向量的坐标是______.
【答案】或
【解析】
【分析】先求出向量的模，与向量共线的单位向量为，计算即可.
【详解】因为，，
所以与向量共线的单位向量为，
所以向量共线的一个单位向量的坐标是或.
故答案为：或.
15. 已知函数在上既有最大值，又有最小值.若，则______，______.
【答案】 ①. 0 ②.
【解析】
【分析】根据在上的值域为，判断出，得到，然后根据三角函数的有界性，转化为不等式的解集问题，再根据方程与不等式的关系，即可求的值.
【详解】对于函数，
当时，它在上没有最大值，也没有最小值，
所以，由在上既有最大值，又有最小值，必有，
所以，其值域为.
由得
，
，
，
，其中，
所以，
因为，
所以，
所以，
两边平方得，
因为，
根据题意可得
的解集为.
所以为方程的根，
所以，
所以，解得.
故答案为：0，.
16. 设函数，若对任意，都存在唯一的，使得，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】对实数的取值进行分类讨论，分析函数的单调性与值域，根据题意以及数形结合额可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】设函数在、上的值域分别为、，
当时，函数在上为增函数，函数在上为增函数，
此时，函数在上为增函数，
当时，即当时，函数在上为增函数，
当时，则，则，
①当且时，，即，
此时，函数在上为增函数，则，即，
由题意可知，，则，解得，此时，；
②当时，函数在上为增函数，则，
当时，，
当时，，则，此时，，
当时，，则，
此时，，
如下图所示：

若对任意，都存在唯一的，使得，
只需，解得，此时，；
③当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
当时，，
当时，，则，此时，，
当时，，则，如下图所示：

若对任意，都存在唯一的，使得，
只需，解得，与矛盾，此时，不存在，
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数值相等求参数的取值范围，解题的关键在于对参数进行分类讨论，结合图形将题中的信息等价转化为不等式求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 求解下列各题：
（1）计算：；
（2）已知，求值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指对幂运算求解结果.
（2）根据平方和关系与倍角公式求解结果.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
因为，
所以，所以，
所以.
18. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）从①；②；③中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，写出集合，并解出集合，利用并集的定义可得出集合；
（2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：由，得，得，所以，
当时，，所以.
【小问2详解】
解：若选①，因为，则，
当，即，得；
当时，则有，解得，
综上，实数的取值范围是；
若选②，因为，则，
当，即，得；
当时，则有，解得，
综上，实数的取值范围是；
若选③，因为，则，
当，即，得；
当时，则有，解得，
综上，实数的取值范围是.
19. 已知向量.
（1）求函数的解析式及其单调递减区间；
（2）若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积及三角函数公式化简函数，再根据三角函数的性质求解即可；
（2）根据函数零点的定义，将问题转化为图形交点问题求解即可.
【小问1详解】
，
由，得，
即函数的单调递减区间为.
【小问2详解】
当时，令，
则函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
且.
函数在区间上有且仅有两个零点，
等价于函数的图象与函数在上有两个公共点，
所以，或，
即的取值范围是.
20. 已知一个半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，且按顺时针方向匀速转动，每秒转动一圈.如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为.
（1）在水轮转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式；
（2）在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间段.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的最大值和最小值可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，求出该函数的最小正周期，可得出的值，再由，结合的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式；
（2）时，解不等式即可得出结论.
【小问1详解】
解：由题意知的最大值为，最小值为，
所以，，解得，
由题意可知，函数的最小正周期为，
则，所以.
当时，，即，可得，
又，所以，所以，.
【小问2详解】
解：令，得.
由，得，所以，解得，
即在水轮转动的一圈内，点在水面下方的时段是秒到秒.
21. 已知函数.
（1）若函数为定义域上的偶函数，求实数的值；
（2）当时，对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由偶函数的定义求值；
（2）将不等式转化为，结合真数恒正及常数分离求得的取值范围.
【小问1详解】
定义域为，由题知，
即，
化简得，
即对任意恒成立，得.
【小问2详解】
当时，
因为不等式对恒成立，
所以①，且②对恒成立.
由①得.
②即对恒成立，令，
则，
当且仅当时，所以，
综上：的取值范围是.
22. 已知函数有3个不同零点，且.
（1）求实数的取值范围；
（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将化为分段函数，对，以及进行分类讨论，结合二次函数的图象与轴的交点情况，即可判断的取值范围.
（2）根据（1）可判断是方程的两个不等实根，是方程的大根，即，分离参数，结合韦达定理以及存在性问题的判断将问题转化为函数的最值问题，即，利用函数的单调性即可求出的取值范围.
【小问1详解】
由已知得，
当时，在上单调递增，只有1个零点，不符合题意；
当时，因为函数有3个不同的零点，
且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以时，有1个根，
时，有2个根，故，解得；
当时，当时，方程判别式，
可知无解，所以函数不可能有3个不同的零点，所以不符合题意.
综上：的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）知，是方程的两个不等实根，
则.
是方程大根，即.
由，得，记，则，
即等价于存在，使，即.
因为，
显然在上单调递增，
所以，
所以的取值范围是.