2022-2023学年浙江省宁波市北仑中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年浙江省宁波市北仑中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】计算，，再计算交集得到答案.

【详解】，

，故.

故选：A

2．设，则“”是”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.

【详解】x，，若满足，则，即不成立；

若，即有，必有，从而得，即成立，

所以是成立的必要不充分条件.

故选：B

3．已知随机变量，则（    ）(附：若，则，)

A．0.02275 B．0.1588 C．0.15865 D．0.34135

【答案】A

【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.

【详解】由题意可得：，则，

所以.

故选：A.

4．如表为某商家1月份至6月份的盈利（万元）与时间（月份）的关系，其中，其对应的回归方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．与负相关

B．

C．回归直线可能不经过点

D．2023年10月份的盈利大约为6.8万元

【答案】D

【分析】，与正相关，A错误，计算中心点带入计算得到B错误，回归直线一定经过中心点，C错误，带入数据计算得到D正确，得到答案.

【详解】对选项A：回归方程为，，与正相关，错误；

对选项B：，，故，解得，错误；

对选项C：回归直线一定经过点，错误；

对选项D：，当时，，正确.

故选：D

5．函数的部分图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分析函数的定义域排除A，利用判断函数对称性排除D，再代入特殊点，计算，排除B.

【详解】由函数解析式可得，函数，

定义域为，所以排除A；

因为，

所以函数图像关于直线对称，故排除AD；

又因为，所以排除B.

故选：C

6．我们把各个数位上的数字之和为8的三位数称为“幸运数”，例如“170，332，800”都是“幸运数”. 问“幸运数”的个数共有（    ）

A．35个 B．36个 C．37个 D．38个

【答案】B

【分析】按照首位数字为进行分类，相加得到答案.

【详解】当首位数字为1时，后两位相加为7，共有8种；

当首位数字为2时，后两位相加为6，共有7种；

当首位数字为3时，后两位相加为5，共有6种；

当首位数字为4时，后两位相加为4，共有5种；

当首位数字为5时，后两位相加为3，共有4种；

当首位数字为6时，后两位相加为2，共有3种；

当首位数字为7时，后两位相加为1，共有2种；

当首位数字为8时，后两位相加为0，共有1种；

故共有个数.

故选：B

7．已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解.

【详解】随机变量满足,,其中.

则随机变量的分布列为:

所以

随机变量,

所以当时,,当时,

所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):

则

当即,解得.所以A、B错误.

恒成立.

所以C错误,D正确

故选:D

【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.

8．设是定义在D上的函数，如果，当时，都有，则称为D上的“非严格递减函数”，已知集合，其中，集合，则满足定义域是，值域是的子集的非严格递减函数有（    ）个

A．56 B．126 C．252 D．462

【答案】D

【分析】计算得到，转化为，计算得到答案.

【详解】，，故，，故集合，

由，则，

即有，

则共有个函数，

故选：D.

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．命题“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”.

B．若事件A与B相互独立，且，，则.

C．已知，，则.

D．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好.

【答案】BD

【分析】对于A：根据特称命题的否定分析判断；对于B：根据独立事件的概率乘法公式结合条件概率公式分析运算；对于C：以为整体表示，结合不等式的性质分析运算；对于D：根据残差的定义分析判断.

【详解】对于A：“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”，故A错误；

对于B：由条件概率可知：，

∵事件A与B相互独立，则，

∴，故B正确；

对于C：∵，

由，，可得，

∴，故C错误；

对于D：根据残差的定义可知：残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故D正确；

故选：BD.

10．已知关于x的函数：，其中，则下列说法中正确的是（    ）

A．当时，不等式的解集是.

B．若不等式的解集为空集，则实数的取值范围为.

C．若方程的两个不相等的实数根都在内，则实数的取值范围为.

D．若方程有一正一负两个实根，则实数的取值范围为.

【答案】CD

【分析】对于A：解一元二次不等式即可；对于B：分析可得原题意等价于恒成立，结合恒成立问题运算求解；对于C、D：整理可得，根据题意结合图象分析运算.

【详解】对于A：当时，不等式，即，

解得或，即不等式的解集是，故A错误；

对于B：若不等式的解集为空集，等价于恒成立，

当时，则恒成立，符合题意；

当时，则，解得；

综上所述：实数的取值范围为，故B错误；

若方程有根，则有：

当时，则不成立，不符合题意；

当时，则，即与有交点，

结合图象，

对于C：若方程的两个不相等的实数都在内，

则与有交点横坐标均在内，

可得，解得，

所以实数的取值范围为，故C正确；

对于D：若方程有一正一负两个实根，

则与有交点横坐标一个为正数一个为负数，

可得，解得，

所以实数的取值范围为，故D正确；

故选：CD.

11．已知正数、，满足，则下列说法正确的是（    ）

A．的最大值为. B．的最大值为.

C．的最小值为. D．的最小值为.

【答案】ABD

【分析】对于AB，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.

【详解】对于A，因为，

所以，则，

当且仅当且，即时，等号成立，

所以的最大值为1，故A正确；

对于B，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，

所以，则，

当且仅当且，即时，等号成立，

所以的最大值为，故B正确；

对于C，，

当且仅当且，即时等号成立，

所以的最小值为，故C错误；

对于D，令，，则，，，，

所以

，

当且仅当且，即，即时，等号成立，

所以的最小值为1，故D正确.

故选：ABD.

12．已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（    ）

A．为奇函数 B．是上的增函数

C． D．是周期函数

【答案】ABC

【分析】令，代入，即可得到再由，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D选项即可

【详解】对于A:由题意，令， ,解得：或

当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去，

当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去，

∴，令，则，所以，即，

所以为奇函数，故A正确；

对于C：令，，因为

若,则,又为非常值函数故舍去，

所以，所以所以,故C正确:

对于B: 设任意的且

令所以，又因为为奇函数，

所以，

又因为当时，，所以，，,

即，所以是上的增函数,故B正确;

对于D:因为是上的增函数,又因为为奇函数且,

所以是上的增函数,故不是周期函数,故D错误.

故选:ABC.

三、填空题

13．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______.

【答案】

【分析】先根据分式不等式求出，设条件对应的集合为，条件对应的集合为，由p是q的充分条件，可得，进而可得出答案.

【详解】由，得，解得，

设，

因为p是q的充分条件，所以，

所以，解得，

所以实数k的取值范围是.

故答案为：.

14．已知：，则______.

【答案】14

【分析】变换，再利用二项式定理得到，计算得到答案.

【详解】，

展开式的通项为，

.

故答案为：

15．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为_______．

【答案】

【详解】因为，是开口向下的二次函数，故只能是在上单减，故要求整个函数在R上都是减的，每一段都是减的，则要求，

故答案为．

点睛：这个题目考查了，已知分段函数的单调性求参的问题，一般这类题目要满足两个条件，一是分段函数每一段都是单调的，且要求在定义域上函数是上台阶或下台阶的，即每段的连接点处必须是连接起来的或者都是向下或向上的趋势，不能错位．

16．将1，2，3，……，9，10这10个整数分别填入图中10个空格中，样本空间为满足“每一行的最大数比上一行的最大数要大”的所有样本点构成的集合，事件为“第四行有一个数字是1”，事件为“第三行有一个数字是2”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为_______.

【答案】/

【分析】利用排列组合的性质和条件概率公式即可求解.

【详解】假设每一行数字由小到大排列（最后再乘每一行的排列数），那么当每一行最后一个数字给定，只需挑出每一行的前几个数字即可，且10在第四行第4个数.

当1在第四行时，第四行前3个数字选法，第三行前2个数字选法，第二行第1个数字选法.

当1在第四行，2在第三行时，第四行前3个数字选法，第三行前2个数字选法，第二行第1个数字选法.

所以，

故答案为：.

四、解答题

17．在（n为正整数）二项展开式中，若，求：

(1)展开式中所有项的系数之和；

(2)展开式中含的项的系数.

【答案】(1)729

(2)240

【分析】（1）根据题意结合二项式系数的性质求得，再令，求所有项的系数之和；

（2）利用二项展开式的通项公式运算求解.

【详解】（1）由题意可得，可得，

故二项式为，

令，可得，

所以展开式中所有项的系数之和为729.

（2）设的通项为，

令时，则，此时，

故展开式中含的项的系数为240.

18．为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场，得到天数与直播间人数的数据如下表所示：

(1)求直播间人数y和与日期代码x的样本相关系数（精确到0.01）；

(2)若使用作为y关于x的回归方程模型，计算该回归方程（结果保留1位小数），并预测至少要到哪一天直播间人数可以超过30万人.

参考公式和数据：相关系数，其中，回归直线方程中，

【答案】(1)0.93

(2)，第8天

【分析】（1）根据题意可求得，结合题中数据和公式运算求解；

（2）根据题意令，可得，结合题中数据和公式求，进而根据回归方程运算求解.

【详解】（1）由题意可得：，

则

，

故直播间人数y和与日期代码x的样本相关系数为.

（2）∵，由题意令，则，

可得，

则，

，

所以，

故关于的回归方程为，

令，整理得，

则，且，所以，

故至少要到第8天才能超过30万人.

19．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是，命中Ⅱ部分的概率是，命中Ⅲ部分的概率是，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.

(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；

(2)求击落飞机的命中次数的分布列、数学期望和方差.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，，

【分析】（1）恰好在第二次射击后击落飞机存在两种情况，一种是连续命中Ⅱ部分两次，另一种情况是第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，根据这两种情况即可求出概率；

（2）根据题意可知，击落飞机的次数可为1，2，3，4四种取值情况，根据四种取值情况求出对应概率即可求出分布列、数学期望和方差.

【详解】（1）设恰好在第二次射击后击落飞机为事件A，满足事件A的情况有连续命中Ⅱ部分两次，或者第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，

则.

（2）依题意，的可能取值为1，2，3，4，

，

，

，

，

所以的分布列为：

的数学期望.

的方差

20．已知是定义在上的函数，若满足且.

(1)求的解析式；

(2)判断函数在上的单调性（不用证明），并求使成立的实数t的取值范围；

(3)设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围.

【答案】(1)

(2)单调递增，

(3)

【分析】（1）确定函数为奇函数，，，，代入数据计算得到答案.

（2）确定函数单调递增，根据函数的奇偶性得到，解得答案.

（3）只要，最小值为，题目转化为，根据单调性计算最值得到答案.

【详解】（1），且，所以为奇函数，

将代入可得，即，所以，

即，因为，所以，代入可得，

解得，故；

，，函数为奇函数，满足，故.

（2）设，则，

，，，即，

故函数在上单调递增，因为为奇函数，

所以，即，

根据单调性及定义域可得：，解得，即.

（3）只要，函数在上单调递增，最小值为.

法一：在上恒成立，只要，

在上单调递减，在上单调递增，

当时，，当时，，

故当时，，所以.

法二：，，

当时，，，解得，舍去；

当时，，，解得，因此，

综上所述：.

21．数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

(2)根据列联表的信息，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”，求的值；

(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.

附：.

【答案】(1)能

(2)

(3)分布列见解析，

【分析】（1）计算，得到答案.

（2），计算得到答案.

（3）根据分层抽样比例关系得到人数，确定随机变量的所有可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.

【详解】（1）零假设：数学成绩与语文成绩无关，

则，

根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，

故认为数学成绩与语文成绩有关；

（2），

（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，

随机变量的所有可能取值为.

，，

，，

故的概率分布列为：

数学期望.

22．设，，函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若在上的最大值为，求的取值范围；

(3)当时，对任意的正实数，，不等式恒成立，求的最大值.

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)1

【分析】（1）变换得到，考虑，，三种情况，解不等式得到答案.

（2）确定函数对称轴为，考虑和两种情况，计算最值得到范围.

（3）注意分类讨论的思想，分当时和当时两种情况进行讨论，当时注意用换元法把换成t，得到又由题意对任意的不等式恒成立，而，只要时不等式成立即可从而解出m的取值范围，同理可求另一种情况

【详解】（1）即，即，

的两根为和

当，即时，解集为；

当，即时，解集为；

当，即时，解集为.

综上所述：

当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.

（2）因为，，所以，的对称轴为，

当时，即时，，不合题意；

当时，即时，，而，符合题意.

故取值范围为.

（3）当时，不等式即为：，

整理得：即：，

令则，

所以不等式即，

即：，

由题意：对任意的不等式恒成立，

而，

只要时不等式成立即可，

，而，

；

当时，同理不等式可整理为：，

令则，所以不等式即，

即：，

由题意：对任意的不等式恒成立，

而，只要时不等式成立即可，

，而，

；

综上，的最大值为1

【点睛】关键点睛：本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力