浙江省宁波市效实中学2024-2025学年高一上学期分班考试数学试题（Word版附解析）

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1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用交集定义计算即可.
【详解】，则.
故选：D.
2. 有一支队伍长，以的速度前行，传令员传令需要从排尾跑到排头，再立即返回排尾，速度为，若传令员回到排尾时，队伍正好前进了，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算队伍前进的总时间，传令兵从排头到排尾的时间及从排尾到排头的时间，根据传令兵往返总时间与队伍前进时间相等即可求解.
【详解】设总时间为，传令员从排头到排尾所用时间为，从排尾到排头所用时间为，
所以，所以，
解得，即，
所以.
故选：C.
3. 如图，已知 ，点 将线段 均分为 等分，点 在直线 上，且 轴. 记 、 的面积分别为 . 当 越来越大时，猜想最近的常数是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先按规律列举出，，再求出面积，最后求和，结合极限思想得出解.
【详解】，
且.
又，故最近常数是.
故选：B.
4. 设正整数，其中，记．则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】对于A选项，，，
所以，，A选项正确；
对于B选项，取，，，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选：ACD.
二、填空题 (共 10 小题)
5. 计算___.
【答案】
【解析】
【分析】将式子拆成两部分求和，再相减即可.
【详解】
故答案为：.
6. 已知则的取值范围是___.
【答案】
【解析】
【分析】因为方程的解是函数图象与轴的交点的横坐标，所以先求出方程的解，再作出函数图象即可得到的解集，进而得到原不等式的解集.
【详解】由题，
解得，.
作出函数的图象如图所示：

由图可得不等式的解集为，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
7. 已知、是方程的两个根，则___.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，，即可得到，代入计算可得.
【详解】因为、是方程的两个根，
所以，，
所以，则，
所以
.
故答案为：
8. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为___.
【答案】
【解析】
【分析】由已知得，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】正实数且得，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
的最小值为.
故答案为：
9. 已知 满足 ，则 ___.
【答案】4048
【解析】
【分析】将根数变形，分母去根式，再结合非负数性质可解.
【详解】，
则，
同理，
得出的两个式子相减得，即，
由非负数性质知道，即.则.
故答案为：4048.
10. 已知满足，则___.
【答案】2
【解析】
【分析】根据已知等式化简求值即可.
【详解】因为，所以
所以，则，
所以.
故答案为：2.
11. 已知为实数，那么 的最小值为___.
【答案】3
【解析】
【分析】整理可得，进而可得结果.
【详解】因为
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故答案为：3.
12. 为任意实数，则 的最小值为___.
【答案】510
【解析】
分析】利用零点分段去绝对值，结合函数单调性求最小值.
【详解】①时，
，
当时，有最小值；
②时，
，
当时，有最小值；
③时，
，
此时；
④时，
，
当时，有最小值；
⑤时，
，
当时，有最小值；
⑥时，
，
当时，有最小值.
综上可知，当时，的最小值为.
故答案为：.
13. 如图， ， 点 分别在边 上，且 ， ，点 分别在边 上，则 的最小值是___.

【答案】
【解析】
【分析】作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交于P，交于Q，此时的值最小，最小值为，进而推出为等边三角形，进一步得出结果．
详解】
作法：（1）作点M关于的对称点，点N关于的对称点，
（2）连接交于P，交于，
（3）连接，
，
，
此时的值最小，最小值为，
，，，，
，，
，
直角三角形，
，即 的值最小为，
故答案为：．
(来源: 2022 金华中考)
14. 如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠， 点的对应点分别为与相交于点，的延长线过点. 若，则的值为___.
【答案】
【解析】
【分析】连接，先由题意求得，进而推出，再依据，设求得，，从而可求出解.
【详解】连接、，则由题意，，，
所以，
所以由，，得，
所以，故是的中点，
所以由得为的中点，即，
因为，故设，则，
所以，
所以，故，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点1是正确作出需要的辅助线、，关键点2是求出，从而推出，关键点3是依据，设求得，再结合勾股定理得，进而可求出解.
三、解答题 (共 2 小题)
15. 如图， 已知 为等边三角形，其内部有一点 满足 ， ，求 的大小.
【答案】
【解析】
【分析】由全等三角形的性质得到，再根据旋转性质，证明为等边三角形，为直角三角形，最后由解答；
【详解】
利用“转化”思想，将绕顶点A旋转到处，
连接，∵，
∴，
由题意知旋转角，
∴为等边三角形，
，
由旋转性质可得：,
∵，
∴为直角三角形，且，
∴；
16. 已知函数，在内方程有两个解、.
（1）求的取值范围；
（2）求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）令，将写成分段函数，由于函数有两个零点，可判断出，然后分别由，可求出实数的取值范围；
（2）由以及，消去，可证得结论.
【小问1详解】
令，
则，
当时，是单调函数，至多只有一个零点；
当时，假设有两个零点，则，出现矛盾；
因此必有；
由，得，所以；
由，得，
显然函数在上单调递减，故；
故实数取值范围是；
【小问2详解】
由以及，消去，整理得，
即，由于，故．