2022-2023学年山西省应县第一中学校高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山西省应县第一中学校高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合A，B，再由交集的定义求解即可.

【详解】的定义域为，解得：，

故，

因为，所以，

故，故

故选：B.

2．一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意得到圆台和半球的体积，即可求解．

【详解】，，

剩余部分几何体的体积为．

故选:C

3．函数的大致图象是（    ）

A．   B．   C．   D．  

【答案】C

【分析】利用时，，可判断B，D；利用函数的导数判断时图像变化情况，可判断A，C.

【详解】当时，，故B，D错误；

又，当时，，当时，，

故时的图象是先下降后上升，故A错误，C正确，

故选：C

4．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.

【详解】因为，为的中点，则，

由圆锥的几何性质可知平面，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

又因为，所以，点到平面的距离为.

故选：B.

5．已知数列满足，且（），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用题给条件求得（），列出关于的方程，进而求得的值.

【详解】

（），

，解得.

故选：A

6．在三棱锥中，底面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据外接球的特点和线面垂直的判定结合几何关系即可求解.

【详解】  

因为平面，平面，所以，

由面，所以面，

由面，则，由面，则，

是和的公共斜边，则是三棱锥的外接球直径，

由，

设，则，则，

故选：C．

7．函数在内存在零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】法一：特殊值检验，令排除A，令，得到，设，利用导数法求解判断；法二：设，由与的零点相同，利用导数法求解判断.

【详解】解：法一：特殊值检验

①令，则，此时，符合题意，排除A．

②令，则，设，

则，

因为恒成立，所以，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，从而，无零点，排除C．

当时，，则，，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以．

故在内存在2个零点，设这2个零点分别为，则，

不妨设，当或时，；当时，．

因为，所的根为1，，且，

，，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

因为，

同理可得，所以此时在内存在2个零点．

综上所述，，

故选：D．

法二：设，则与的零点相同，

，

设，则，可以得到在上单调递增，在上单调递减，

所以．

①当时，，所以时，，时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，令，，

在递增，所以，所以无零点．

②当时，，因为，所以在内存在零点，符合题意．

③当时，在内存在2个零点，设这2个零点分别为，则，不妨设，可以得出，当或时，；当时，．

因为，所以的根为1，，且，

，，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

因为，

同理可得，所以此时在内存在2个零点．

综上所述，，

故选：D．

8．已知，，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】由条件结合充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】当时，若，则，故充分性不成立.

当时，若，则 ，故必要性不成立，

所以“”是“”的既不充分又不必要条件.

故选：D

9．已知函数.曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】首先求出，再求出函数的导函数，即可得到，最后利用点斜式求出切线方程；

解：因为，所以，

所以，，

所以切点为，切线的斜率，

所以切线方程为，即；

故选：C

10．已知，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据，取，和，，即可排除错误选项，构造函数，利用导数说明其单调性，即可判断C．

【详解】解：根据，取，，则可排除、；

取，，则由，，可排除．

构造函数，，则，

令，则，即函数在上单调递增，

因为，所以，即，所以，

所以，所以，故C正确；

故选：．

【点睛】本题考查了不等式的基本性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．

11．已知随机变量X服从正态分布，若，则（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6

【答案】B

【分析】根据正态分布的定义和正态曲线的对称性即可得到答案.

【详解】.

故选：B.

12．2022年7月24日14时22分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭成功发射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为，；B通过初赛、复赛的概率分别为，，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为（    ）

A．300元 B．元 C．350元 D．元

【答案】B

【分析】求出X的可能取值及对应的概率，得到数学期望.

【详解】由题知X的所有可能取值为150，250，350，450，

，

，

，

，

所以数学期望（元）．

故选：B．

二、填空题

13．已知向量，若， 则         .

【答案】2

【分析】由垂直向量的坐标表示求解即可.

【详解】因为向量，若，

则，即，即，解得：.

故答案为：.

14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，且点A在x轴下方.设，，的内切圆的半径分别 为，，.若椭圆C的离心率为，且，则直线l的斜率为       .

【答案】

【分析】依题意可得椭圆方程表示为，设直线为，，，，根据面积公式及椭圆的定义得到，再由，即可得到，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到、，代入解得.

【详解】因为椭圆的离心率为，

所以，，，

则椭圆方程可以表示为，

设直线为，，，，

由，消去整理得，显然，

所以，，则，

由，

由，

由，

又，所以，所以，

又，所以，

又，，所以，

所以，，

所以，所以，则或（舍去），

所以直线的斜率为.

故答案为：

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为、；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；

（5）代入韦达定理求解.

15．已知，若直线与直线平行，则m＝  ．

【答案】3

【分析】根据两直线平行，得到方程，计算求得m值．

【详解】由题意得：，且，

解得：m＝3，

故答案为：3．

16．已知偶函数，对任意的都有，且，则不等式的解集为         ．

【答案】，或，或

【分析】由已知条件构造函数，求导后可判断出在上单调递增，在上单调递减，由，可得，由为偶函数，可判断出为偶函数，而不等式转化为，偶函数的性质可得，从而可求出的范围，再由可得，进而可求出不等式的解集

【详解】解：令，则，

因为对任意的都有，

所以当，，当，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

因为，所以，

因为为偶函数，所以，

所以，

所以为偶函数，

所以由，所以，所以，解得或，

因为，所以，

综上，，或，或，

所以不等式的解集为，或，或.

故答案为：，或，或

三、解答题

17．已知函数

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数的图像在点处的切线斜率为，设，若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导，分类讨论，和三种情况讨论单调性即可；

（2）根据导数的几何意义求出，然后根据在单调递增，得到在上恒成立，然后求最值即可.

【详解】（1）

当时，的单调增区间为，减区间为；

当时，的单调增区间为，减区间为；

当时，不是单调函数.

（2）∵，∴，解得，

∴

又

要在区间上单调递增，只需在上恒成立，

即在上恒成立，即，又在上

∴.

18．如图，在四棱锥中，，，，，平面.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求四棱锥的表面积.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）由线面垂直推出，，勾股定理求出边AC，则易证，得证；（Ⅱ）易证各侧面均为直角三角形，底面为两直角三角形的组合，相应直角边长代入三角形面积计算公式求和即可.

【详解】（Ⅰ）因为平面，平面，平面，

所以，，

因为，，所以.

因为，，

所以，

所以，，

由，，可得，

平面.

（Ⅱ）由题意可知，

，

由（Ⅰ）可知，平面，平面，

所以，同理可得，

又，，

所以，

所以四棱锥的表面积.

【点睛】本题考查线面垂直的判定，多面体的表面积，属于中档题.

19．已知集合，.

(1)若，求及;

(2)若“"是""成立的 ，求实数m的取值范围.

从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面横线上并进行作答.注:如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)，

(2)答案见解析

【分析】（1）先求出集合，再由交、并、补集的定义求解即可；

（2）若选①，则A是B的真子集，从而建立不等式组求解即可；若选②，B是A的真子集，从而建立不等式组求解即可.

【详解】（1）由已知得，，

当时，，

所以，

.

（2）若选①：“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集.

所以

解得，

所以实数m的取值范围是.

若选②:因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以B是A的真子集,

所以

解得，

所以实数m的取值范围是.

20．若数列满足，则称数列为“平方递推数列".已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，

(1)证明:数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列;

(2)设，，求数列的前10项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)436

【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可；

（2）求出表达式，再分段求前10项和即可.

【详解】（1）点在函数的图象上，

，，

数列是“平方递推数列”，

因为，

对两边同时取对数得，

数列是以1为首项、2为公比的等比数列；

（2）由（1）知，

所以

所以.

21．某校高二年级为研究学生数学与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计学中称为似然比.现从该校学生中任选一人，设“选到的学生语文成绩不优秀”，“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计的值.

附：

【答案】(1)认为数学成绩与语文成绩有关

(2)

【分析】（1）零假设后，计算卡方的值与比较即可；

（2）根据条件概率公式计算即可.

【详解】（1）零假设为：数学成绩与语文成绩独立，

即数学成绩与语文成绩无关，

根据表中数据计算得

根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，

故认为数学成绩与语文成绩有关.

（2），

所以估计的值为.

22．已知函数

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若有极小值点，极大值点，且对任意，求实数的取值范围.

【答案】(1)的递增区间为和的递减区间为

(2)

【分析】（1）易知，解可得或，即可知其单调区间；

（2）由（1）知，对参数和进行分类讨论，再通过构造函数研究单调性结合不等式恒成立，即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）由题，

令，解得，或.

当时，

令得或，所以在和上单调递增，

令得，所以在上单调递减.

综上所述，当时，的递增区间为和的递减区间为

（2）解法一：

当时，由（1）得；，且，所以.

当时，，符合题意；

当时，，

即，得

令得

令得

①若，即，则

当时，，所以在上单调递增；

所以，不符合题意：

②若，即，则在上单调递减，

所以成立

综上所述实数的范围为.

解法二：

由（1）知，当时，

所以问题转化为任意

即

令，则

令，则

令，则

①若，则当时，，所以在上单调递增，

所以，即，所以在上单调递增，

所以，即，所以在上单调递增，

所以，即任意.

②若，则令，得.

当时，，所以在上单调递减.

此时，即，所以在上单调递减，

所以，即，所以在上单调递减，

所以，即当时，不成立.

综上所述实数的范围为.

【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立求参数取值范围问题，往往通过参变分离再构造函数进行范围求解，还可以直接求导对参数取值进行分类讨论来限定参数范围.