2022-2023学年山西省介休市第一中学校高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山西省介休市第一中学校高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】直接根据方差的运算性质即可得结果.

【详解】．

故选：C.

2．从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙地有2种走法，若从甲地到达丙地必须经过乙地，则从甲地到丙地的不同走法的种数为（    ）

A．5 B．6 C．8 D．12

【答案】B

【分析】利用分步乘法计数原理计算可得.

【详解】由分步计数原理可知，从甲地到丙地的不同的走法种数为.

故选：B

3．每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候，甲､乙两家公司今年分别提供了2个和3个不同的职位，一共收到了100份简历，具体数据如下：

分析毕业生的选择意愿与性别的关联关系时，已知对应的的观测值；分析毕业生的选择意愿与专业关联的的观测值，则下列说法正确的是（    ）

A．有的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联

B．毕业生在选择甲､乙公司时，选择意愿与专业的关联比与性别的关联性更大一些

C．理科专业的学生更倾向于选择乙公司

D．女性毕业生更倾向于选择甲公司

【答案】B

【分析】根据题中的数据表及独立性检验的知识即可判断.

【详解】解：与专业关联的的观测值，明显大于，明显小于，所以有的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联，所以不正确；

因为，故正确；根据题中的数据表列出专业与甲､乙公司的关联表可知，理科专业的学生更倾向于选择甲公司，列出性别与甲､乙公司的关联表可知，

女性毕业生更倾向于选择乙公司，所以C，D均不正确.

故选：B.

4．某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如下表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，则看不清的数据★的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设看不清的数据★的值为，求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程可求得结果.

【详解】设看不清的数据★的值为，则，，

将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得.

故选：A.

5．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是(　　)

A．甲 B．乙

C．一样 D．无法比较

【答案】B

【详解】E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56<D(ξ)，所以乙稳定．

6．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品：第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意知，本题属于全概率问题，直接套用全概率公式即可求解.

【详解】设事件表示从第箱中取一个零件，事件B表示取出的零件是次品，则

，

即取出的零件是次品的概率为.

故选：C.

7．已知集合，从的至少含有两个元素的所有子集中任取一个集合，记为，则中的元素恰好为连续整数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，求得所有集合的可能，找到满足题意的集合，利用古典概型的概率计算公式求解即可.

【详解】因为集合中含有2个元素的子集有如下10个：

其中元素是连续整数的有4个，是

含有3个元素的子集有如下10个：

，

其中元素是连续整数的有3个，是

含有个元素的子集有5个，

其中元素是连续整数的有2个，是.

含有个元素的子集有1个，是，其满足元素是连续整数.

即的所有可能有：26种，满足元素是连续整数的有10种.

故满足题意的概率.

故选：A.

8．有一个盒子里有1个红球，现将（）个黑球放入盒子后，再从盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着（）的增加，下列说法正确的是（    ）

A．减小，增加 B．增加，减小

C．增加，增加 D．减小，减小

【答案】D

【分析】由题易知，取到红球个数服从两点分布，根据两点分布的均值和方差的公式可得所以， ，易得随着n的增大而减小，对于，利用导数研究其单调性即可得出结论.

【详解】取到红球个数服从两点分布，其中，

所以，显然随着n的增大而减小.

，

记，

，

当时，，故在上单调递减，

则当时，随着n的增大而减小.

故选：D.

二、多选题

9．某医院妇产科对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X~N（2，4），则下列结论正确的是（    ）

A．该正态分布的均值为2 B．该正态分布的标准差为4

C． D．

【答案】ACD

【分析】由正态分布的性质逐个分析判断即可

【详解】因为X~N（2，4），

所以正态分布的均值为2，标准差为2，所以A正确，B错误，

因为正态分布的均值为2，

所以由正态曲线的性质可得，，所以CD正确，

故选：ACD

10．甲袋中有2个黑球，2个白球，乙袋中有2个黑球，1个白球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是（      ）

A．2个球都是黑球的概率为 B．2个球都是白球的概率为

C．1个黑球1个白球的概率为 D．2个球中最多有1个黑球的概率为

【答案】ABD

【分析】分别计算出从甲袋和乙袋中任取个球，该球为黑球或白球的概率，然后利用独立事件、互斥事件的概率公式可判断各选项.

【详解】从甲袋中任取个球，该球为黑球的概率为，该球为白球的概率为，

从乙袋中任取个球，该球为黑球的概率为，该球为白球的概率为.

对于A选项，2个球都是黑球的概率为，A对；

对于B选项，2个球都是白球的概率为，B对；

对于C选项，1个黑球1个白球的概率为，C错；

对于D选项，2个球中最多只有1个黑球的概率为，D对.

故选：ABD.

11．甲袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个红球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用，，分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是红球，则以下结论正确的是（    ）

A．，，两两互斥 B．

C． D．与B是相互独立事件

【答案】AB

【分析】A由互斥事件的定义判断；B根据题意判断；C应用全概率公式求，D判断是否相等即可.

【详解】由题意，{甲袋取出白球}，{甲袋取出红球}，{甲袋取出黑球}，

所以，，两两互斥，A正确；

而甲袋有3个白球，3个红球和2个黑球，则，，

先发生，此时乙袋有3个白球，2个红球和1个黑球，则，

先发生，此时乙袋有2个白球，3个红球和1个黑球，则，

先发生，此时乙袋有2个白球，2个红球和2个黑球，则，

所以，B正确，C错误；

，D错误.

故选：AB

12．下列说法中正确的是（    ）

A．将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有3种放法

B．被7除后的余数为2

C．若，则

D．抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标，另一个的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，则点P在圆内的次数的均值为

【答案】ACD

【分析】根据组合数的计算即可判断A,根据二项式定理即可判断B，根据赋值法即可判断C，根据古典概型求解概率，由独立重复事件的均值计算即可判断D.

【详解】对于A：选一个盒子放两个球，另外两个盒子放一个球，共有种放法，故A正确；

对于B,

，展开式中只有最后一项-2不是7的倍数，所以被7除后的余数为5，故B错误；

对于C：在中，

令，得，

令，得，，

两式相加除以2，得，故C正确；

对于D：在一次抛掷两枚骰子的过程中，点P共有36种情况，其中在圆内的有，共8种，所以掷这两枚骰子一次，点P在圆内的概率为．因为，所以的均值为，故D正确，

故选:ACD

三、填空题

13．的展开式中的系数为______.

【答案】

【分析】展开，再求出展开式中的系数，即可得答案.

【详解】，

因为展开式通项为，

所以展开式中的系数分别为，

故的展开式中的系数为.

故答案为：

14．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.5，乙闹钟准时响的概率为0.6，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是______．

【答案】0.8/

【分析】利用对立事件，即可求解.

【详解】两个闹钟至少有一个准时响的对立事件是两个闹钟都没响，所以两个闹钟至少有一个准时响的概率．

故答案为：

15．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为___________．

【答案】0.375

【分析】设出总体容量即学校的人数，根据概率计算出样本容量，然后再计算出所求概率.

【详解】设该学校人数为，依题意得，近视的人数为，玩手机超过1小时的人有，近视人数为，于是玩手机小于1小时但又近视的人数为，玩手机小于1小时的总人数为，这类人的近视率约为.

故答案为：

四、双空题

16．如图，一个质在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则：

（1）事件“质点回到原点”的概率为___________；

（2）事件“质点位于4的位置”的概率为___________.

【答案】     /0.3125     /0.09375

【分析】（1）质点回到原点可知质点向左移动3次，向右移动3次，根据古典概型的概率公式即可求解；

（2）质点位于4的位置可知质点向左移动1次，向右移动5次，根据古典概型的概率公式即可求解．

【详解】（1）质点移动6次，可能的结果共有种情况，

质点回到原点则向左移动3次，向右移动3次，共种情况，

所以质点回到原点的概率为.

（2）质点移动6次，可能的结果共有种情况，

质点位于4的位置则质点向左移动1次，向右移动5次，共种情况，

所以质点位于4的位置的概率为.

故答案为：（1）；（2）.

五、解答题

17．某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.

(1)求只有一个女生被选中的概率；

(2)在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）应用古典概型的概率公式求解；

（2）利用条件概率公式求解.

【详解】（1）从7名成员中挑选2名成员，共有种情况，

记“只有一个女生被选中”为事件A，事件A所包含的基本事件数为种，

故只有一个女生被选中的概率为.

（2）记“男生甲被选中”为事件C，“女生乙被选中”为事件B，则，

男生甲被选中的概率为，

故在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率为.

18．鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：

（1）没有鸡感染病毒的概率；

（2）恰好有1只鸡感染病毒的概率.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解.

（2）利用二项分布的概率计算公式即可求解.

【详解】（1）由题意可得鸡接种一种疫苗后，感染某种病毒的概率为，

没有鸡感染病毒为事件，

则.

（2）恰好有1只鸡感染病毒为事件，

19．一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列.

（1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%；

（2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%.

【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解.

【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解.

（2）利用独立事件的概率乘法公式即可求解.

【详解】（1），

，

，

，

所以的分布列如下：

（2），

，

，

.

所以的分布列如下：

20．自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一种更方便快捷并且无接触的支付方式得到了越来越多消费者和商家的青睐．某金融机构为了调查研究“支付方式的选择与年龄是否有关”，从某市市民中随机抽取100名进行调查，得到部分统计数据如下表：

(1)根据以上数据，判断是否有99%的把握认为支付方式的选择与年龄有关；

(2)将频率视为概率，现从该市60岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中选择“现金支付”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，数学期望和方差．

参考公式：，其中．

【答案】(1)没有99%的把握认为支付方式的选择与年龄有关

(2)分布列见解析，，

【分析】（1）计算的观测值，结合独立性检验的思想求解即可；

（2）由题知，再根据二项分布求解即可；

【详解】（1）解：根据题意可得：的观测值，    

所以没有99%的把握认为支付方式的选择与年龄有关；

（2）由题意可知：在60岁以上的市民中抽到1人选择“现金支付”的概率为，

所以，X的所有可能取值为0，1,2，3，

    ，    

，

，    

，    

所以X的分布列为

，．

21．在牛年春节前夕，某市质监部门严把食品质量关，根据质量管理考核指标对本地的1000家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的100家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如图频率分布直方图.

(1)估计抽样中考核成绩在80分以上的企业共有多少家，并求中位数a（精确到0.01）；

(2)若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布，其中近似为100家食品生产企业考核成绩的平均数，近似为样本方差，经计算得，，利用该正态分布，估计该1000家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家？（精确到1）

附：参考数据：；若，则，，.

【答案】(1)84，

(2)22

【分析】（1）由频率分布直方图得考核成绩位于的频率，进而得考核成绩位于的企业数量，根据中位数的定义可求得中位数；

（2）由题意，考核成绩高于95.32分的概率为，计算可得答案.

【详解】（1）由频率分布直方图得，

考核成绩位于的频率为：，

考核成绩位于的企业共有：（家），

，，解得中位数.

（2）由题意，，，

，

，

，

估计该1000家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有22家.

22．某工厂每天生产1000箱某型号口罩，每箱300个，该型号口罩吸气阻力不超过343.2pa的为合格品，否则为不合格品，不可出厂销售.生产过程中随机抽取了20个口罩进行检测，其吸气阻力值（单位：pa）如下表所示：

（1）从样本中随机抽取1个口罩，求其为不合格品的概率；

（2）从样本中随机抽取3个口罩，求其中含有不合格品的概率；

（3）已知每个口罩的检测费用为0.05元.按有关规定，该型号口罩出厂前，工厂要对每一个口罩进行吸气阻力检测，为督促工厂执行此规定，每天生产的口罩出厂后，质检部门将随机抽取100箱，每箱抽3个口罩进行检测，每检测出一个不合格品，罚款500元.这个处罚标准是否合理？说明理由.

【答案】（1）； （2）； （3）不合理，理由见解析.

【分析】（1）根据图表中的数据，得到合格品18个，不合格品有2个，即可求解；

（2）由（1）知合格品18个，不合格品有2个，利用组合数公式，即可求得含有不合格品的概率；

（3）根据题意，分别求得检测费用和100箱的罚钱总额，比较即可得到结论.

【详解】（1）由题意，该型号口罩吸气阻力不超过343.2pa的为合格品，否则为不合格品，

根据图表中的数据，可得合格品18个，不合格品有2个，

所以从样本中随机抽取1个口罩，其不合格品的概率为.

（2）由（1）知样本中合格品18个，不合格品有2个，

所以从中随机抽取3个，其中含有不合格品的概率为.

（3）由题意，总检测费用为元，

每箱检测出不合格品的概率为，

每箱检测出1个不合格品的概率为，

每箱检测出2个不合格品的概率为，

每箱检测出3个不合格品的概率为，

则每箱罚钱的期望为：，

所以100箱罚钱的期望值为：元，

所以罚钱的期望值与检测的费用相等，所以不合理，罚钱的金额应大于检测费用.