2022-2023学年山西省怀仁市第一中学校高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省怀仁市第一中学校高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合,,若,则(    )

A．7 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】3在A中，也在B中，从而先确定，再确定

【详解】因为,所以,即,从而

所以

故选：C

2．已知，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果．

【详解】，

故选：B．

3．设x，y都是实数，则“且”是“且”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案.

【详解】由且，必有且；

当且时，如，不满足，故不一定有且．

所以“且”是“且”的充分不必要条件．

故选：A．

4．已知函数，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数的运算性质化简，从而得出值域．

【详解】．故的值域为．

故选：B．

5．已知函数，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数奇偶性可得为偶函数，根据解析式直接判断函数在上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.

【详解】解：因为，则

所以，则为偶函数，

当时，，又，在上均为增函数，所以在上为增函数，

所以，即，解得或，

所以的解集为

故选：D.

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用辅助角公式求得，然后利用二倍角公式计算即可.

【详解】，则，

则，

故选：D.

7．已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同的交点，借助的图象求解即可.

【详解】设，

则恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同的交点.

的图象如图所示.

不妨设，所以，

所以，即，即，所以，

所以，

故选：A.

8．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数.若是高斯函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】判定函数的单调性，然后根据条件建立方程组，可知是方程在上的两个不等实根，令，则在上有两个不等实根，令，建立关于的不等式组，解之即可．

【详解】在上单调递增，则

所以是方程在上的两个不等实根，

令，则，

所以在上有两个不等实根，

令，对称轴，

则，即，解得．

故选：B．

二、多选题

9．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．是奇函数

C．是偶函数 D．在上单调递增

【答案】ACD

【分析】根据幂函数经过的点得其表达式，结合幂函数的性质即可根据选项逐一求解.

【详解】因为函数的图象过点，所以，即，所以，故A正确：

，定义域为，关于原点对称，所以，所以是偶函数，故B错误，C正确：

又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，故D正确．

故选：ACD．

10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．当时，

C．在上单调递增

D．不等式的解集为

【答案】BD

【分析】由奇函数的定义可求解A、B；用特值法可判断C；分段求解不等式可判断D.

【详解】，故A错误；

当时，，所以，故B正确；

因为，，又，故C错误；

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，所以不等式的解集为，故D正确.

故选：BD.

11．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．的单调减区间为

C．图象的一条对称轴方程为

D．点是图象的一个对称中心

【答案】ABC

【分析】由题可知，解得，又在的图象上，结合得，得，即可判断A；根据三角函数的性质可判断B、C、D.

【详解】由题可知，所以，解得，

所以，又在的图象上，所以，

所以，所以，又，所以，

所以，故A正确；

令，解得，

所以的单调减区间为，故B正确；

令，解得，当时，，故C正确；

令，解得，令，则，故D错误.

故选：ABC.

12．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．函数的图象关于点对称

C．当时，函数在上单调递增

D．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是

【答案】CD

【分析】利用周期的定义可判断A；利用对称性的概念可判断B；利用复合函数的单调性可判断C；设，可得在上有解，结合函数的单调性即可判断D.

【详解】因为，所以当时，，故A错误；

因为，所以函数的图象不关于点对称，故B错误；

当时，，设，当时，单调递增且，又函数在上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，故C正确；

由，设，则当时，，又在上有解，故方程在上有解，得在上有解，易知在上单调递减，所以，故D正确.

故选：CD.

三、填空题

13．__________.

【答案】##

【分析】利用诱导公式，结合特殊角的三角函数值计算即可.

【详解】.

故答案为：.

14．已知函数，则__________.

【答案】##

【分析】根据指数幂的运算性质直接化简计算即可求解.

【详解】

.

故答案为：.

15．__________.

【答案】##0.5

【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式求解即可得答案．

【详解】

，

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数若关于x的方程有4个解，分别为，，，，其中，则______，的取值范围是______．

【答案】     1    

【分析】作出图象，将方程有4个解，转化为图象与图象有4个交点，根据二次函数的对称性，对数函数的性质，可得的、的范围与关系，结合图象，可得m的范围，综合分析，即可得答案.

【详解】作出图象，由方程有4个解，可得图象与图象有4个交点，且，如图所示：

由图象可知：且

因为，

所以，

由，可得，

因为，所以

所以，整理得；

当时， 令，可得，

由韦达定理可得

所以，

因为且，

所以或，则或，

所以

故答案为：1，．

【点睛】解题的关键是将函数求解问题，转化为图象与图象求交点问题，再结合二次函数，对数函数的性质求解即可，考查数形结合，分析理解，计算化简的能力，属中档题.

五、解答题

17．已知集合，非空集合.

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由可得，则，再求补集即可；

（2）“”是“”的充分条件可知且，分情况讨论即可.

【详解】（1）当时，

，

则，

所以.

（2），

因为“”是“”的充分条件，

所以且，故，

当，即时，，

因为，

所以不成立，即不符合题意；

当，即时，，

则有解得.

综上，的取值范围为.

18．设函数.

(1)求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；

(2)求在上的最值.

【答案】(1)；；

(2)，.

【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的性质求得答案；

（2）利用函数的单调性求出最值．

【详解】（1）因为，

令，解得，

所以的对称轴方程为，

令，得，

可得函数图象的对称中心的坐标为；

（2）因为，所以，

令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，，，故.

19．已知.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)已知函数的定义域为，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据不含参的一元二次不等式的解法即可求解；

(2)当时不等式成立；当时，根据一元二次不等式恒成立，列出不等式组，解之即可.

【详解】（1）当时，，

或，

则的解集为；

（2）由题意可知恒成立.

①当，即时，不等式为对任意恒成立，符合题意；

②当，即时，对于任意恒成立，

只需，

解得，所以.

综合①②可得实数的取值范围是.

20．如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点是扇形弧上的一点（不包含端点），过作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平行线，交于点.

(1)若，求；

(2)求四边形的面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）记与的交点分别为，，求得，进而得，由可得结果；

（2）设，仿照（1）的思路，求得，，，从而得的表达式，利用三角恒等变换化简，利用三角函数的性质求得最大值.

【详解】（1）连接，记与的交点分别为，，

故，

，

.

（2）连接，记与的交点分别为，

设，

则，，，

，

所以四边形的面积

因为，，

所以当，即时，.

21．已知，且，.

(1)求的最小值；

(2)求的最小值.

【答案】(1)3；

(2).

【分析】（1）由已知推得，将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值；

（2）原式可变形为，进而求出，用“1”的代换将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值.

【详解】（1）因为，，

所以

，

当且仅当，且，即，时等号成立，

则的最小值为3.

（2）

，

因为，所以，

所以原式

，

当且仅当，且，即，时等号成立，

则的最小值为.

22．已知函数，其中，若将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，且函数为奇函数.

(1)求函数的解析式；

(2)若关于的方程在区间上有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简，利用图象平移规律得，由结合求得，即可得解；

（2）令，方程可化为，令，，问题转化为关于的方程在区间和上分别有一个实数根，或有一个实根为1，另一实根在区间上，分类讨论求解即可.

【详解】（1），

.

又是奇函数，所以，有，

可得，

整理得，

由，有，得，

由，可得，，经检验符合题意，

.

（2）由（1）知方程

可化为，可得

令，方程可化为，令，

由，可得，可得，

若关于的方程在区间上有三个不相等的实根，可知关于的方程在区间和上分别有一个实数根，或有一个实根为1，另一实根在区间上，

①关于的方程在和上分别有一个实根时，

，解得；

②关于的方程的一个根为时，，可得，

此时可化为，所得或，不合题意；

③关于的方程的一个根为1时，，可得，此时有，解得或，由，不合题意，

由上知.