2022-2023学年山西省晋城市第一中学校高二下学期第一次调研数学试题含答案

2022-2023学年山西省晋城市第一中学校高二下学期第一次调研数学试题

一、单选题

1．已知函数，（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】根据基本初等函数的求导公式求导，从而可得出答案.

【详解】解：由，得，

所以.

故选：A.

2．等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（    ）

A．    B．    C．3     D．8

【答案】A

【分析】设等差数列的公差，由成等比数列求出，代入可得答案.

【详解】设等差数列的公差，

∵等差数列的首项为1， 成等比数列，

∴，

∴，且，，

解得，

∴前6项的和为.

故选：A.

3．下列四个函数中，周期为π的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数的周期性求解.

【详解】函数周期为；函数周期为；函数周期为；函数周期为.

故选：D

4．现有6个评优名额要分配给3个班级，要求每班至少一个名额，则分配方案有（    ）

A．8种 B．10种 C．18种 D．27种

【答案】B

【分析】相同元素分组问题，利用隔板法求解即可

【详解】现有6个评优名额要分配给3个班级，要求每班至少一个名额，

利用隔板法，把6个元素排成一列形成5个空，再在5个位置放置2个隔板，

则共有种方案，

故选：B

5．函数的图象如图所示，则有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】先求解出，再根据的图象分析的取值情况，由此判断出结果.

【详解】因为，所以，

由图象可知：先减后增再减，所以先为负，再为正，最后又为负，所以，

因为为的两个极值点，且，所以，所以，

又因为，所以，

故选：C.

【点睛】易错点睛：分析函数与其导函数的关系时需注意：

（1）的单调性和取值的正负相对应；

（2）的极值点一定是的零点，但的零点却不一定是的极值点.

6．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)

A．243

B．252

C．261

D．279

【答案】B

【详解】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252．

7．已知函数，对任意的，有恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题知在上单调递增，进而得在上恒成立，再根据独立参数法求解最值即可得答案.

【详解】解：∵对于任意得有，

∴

∴在上单调递增，

∵

∴在上恒成立，

∴，即在上恒成立，，

∵

∴，即实数的取值范围为.

故选：D.

8．已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（    ）

A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)

【答案】A

【分析】对求导得到关于、的方程求出它们的值，代入原解析式，根据求单调减区间.

【详解】由题设，则，可得，

而，则，

所以，即，则且递增，

当时，即递减，故递减区间为(-,0).

故选：A

二、多选题

9．已知函数，则（    ）

A．，函数在上均有极值

B．，使得函数在上无极值

C．，函数在上有且仅有一个零点

D．，使得函数在上有两个零点

【答案】BC

【分析】对于AB，举例判断即可，对于CD，分，和讨论函数的单调性求函数的零点

【详解】，时，，无极值，A错，B对．

时，在上，，，

在有且仅有一个零点．

时，在恒成立，在

时，，，在有且仅有一个零点．

时，，或0，在，

．

时，，有且仅有一个零点．

，有且仅有一个零点，C对，D错．

故选：BC

10．已知定义在上的函数的导数为，对任意的满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】构造函数，结合导数，利用已知条件求得的单调性，从而确定正确答案.

【详解】构造函数，，

所以在上递增，

所以，

由，得，D选项错误.

由，得，C选项正确.

由，得，B选项正确.

由，得，A选项正确.

故选：ABC

11．若直线与曲线相切，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由导数的几何意义已知条件可判断AB；由基本不等式可判断C；由可得，设，利用导数法研究最值可判断D

【详解】由得，

设直线与曲线相切于点，

则且，消去得，

所以A正确，B错误；

取等号，C错误；

，设，由得，

所以函数在上递增，在上递减，

所以，即，D正确，

故选：AD.

12．已知、，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；构造函数，利用函数在上的单调性可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，

所以，，当且仅当时，等号成立，A对；

对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

所以，，B对；

对于C选项，取，，则

，此时，C错；

对于D选项，令，其中，

则，所以，函数在上为增函数，

因为，则，D对.

故选：ABD.

三、填空题

13．函数的最大值为          .

【答案】1

【分析】利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值

【详解】由，得，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以当时，取得最大值，

故答案为：1

14．现有包括甲、乙在内的5名同学在比赛后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则符合要求的排列方法共有          种

【答案】54

【分析】利用排列组合先排特殊元素，再排其余元素即可

【详解】先排乙，从中间的3个位置中选1个安排乙，则有种方法，

再排甲，从除左端外，剩下的3个位置中选1个安排甲，则有种方法，

最后排其余3个，有种方法，

所以由分步乘法原理可知共有种方法，

故答案为：54

15．若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是      ．

【答案】

【分析】先对求导，将问题转化为在上有解，即在上有解，利用换元法与基本不等式求出的最大值即可得解.

【详解】因为，

所以，

则原问题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解，

令，则，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，此时，

所以，则，

所以，即.

故答案为：.

16．已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为      ．

【答案】

【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围.

【详解】当时，，，

当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

且，当时，恒为正，

当时，，，

当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

且，

画出的图象如下：

要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可，

显然当时，符合要求.

故答案为：

四、解答题

17．现有8个人（5男3女）站成一排.

(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法?

(2)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法?

【答案】(1)4320

(2)2880

【分析】（1）利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，与5名男生全排列即可，

（2）利用插空法，先将5名男生全排列，然后从除去2端的4个空位中选3个位置排女生即可.

【详解】（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，

将这个整体与5名男生全排列，有种情况，

则女生必须排在一起的排法有种；

（2）根据题意，将5名男生全排列，有种情况，

排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，

则女生两旁必须有男生，有种不同排法

18．已知是等差数列的前n项和，且，.

(1)求；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用基本量列方程求解即可；

（2）由裂项相消法求和.

【详解】（1）为等差数列，则，，

.

∴，故，

故.

（2），

∴

19．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的外接圆半径为，且.

（1）求a；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式中的商关系、特殊角的正切值进行求解即可；

（2）根据余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.

【详解】解：（1）由及正弦定理，得，

又在中，，则，可得，

即得，

又，则.

又的外接圆的半径，

由正弦定理；

（2）由（1）知，又，

则由余弦定理得，

解得，

则，故的面积为.

20．已知函数.

（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；

（2）若，求的最大值.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据单调递减可知导函数恒小于等于，采用参变分离的方法分离出，并将的部分构造成新函数，分析与最值之间的关系；

（2）通过对的导函数分析，确定有唯一零点，则就是的极大值点也是最大值点，计算的值并利用进行化简，从而确定.

【详解】（1）由题意知， 在上恒成立，所以在上恒成立.

令，则，

所以在上单调递增，所以，

所以.

（2）当时，.

则，

令，则，

所以在上单调递减.

由于，，所以存在满足，即.

当时，，；当时，，.

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以，

因为，所以，所以，

所以.

【点睛】（1）求函数中字母的范围时，常用的方法有两种：参变分离法、分类讨论法；

（2）当导函数不易求零点时，需要将导函数中某些部分拿出作单独分析，以便先确定导函数的单调性从而确定导函数的零点所在区间，再分析整个函数的单调性，最后确定出函数的最值.

21．已知函数，其中.

(1)求函数的单调区间；

(2)设，若对任意的，恒成立，求的最大值.

【答案】(1)当时，在上单调递增，无单调递减区间；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)

【分析】（1）先确定函数的定义域，然后求导，通过讨论a的正负判断导函数在定义域内有无零点，无零点时原函数在定义域内单调，有零点时再通过导函数确定各区间的单调性；

（2）原不等式恒成立等价于原函数的最大值小于等于0成立，由第一问的单调区间求得原函数的最大值，记为关于a的函数，再通过对新函数求导判断单调性，得到满足新函数小于等于0的自变量a的最大整数值即可.

【详解】（1），定义域为

当时，，在上递增.

当时，，在上递增.

当时，令，得；令，得.

即在上递增，在上递减.

综上：当时，在上单调递增，无单调递减区间；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）在上恒成立，

等价于.

由（1）得，

当时，在上单调递增，无最大值，

故此时原不等式无法恒成立；

当时，在上单调递增，在上单调递减，

则此时

即须成立.

记函数，且

则

即在单调递增.

因为，

所以满足的a的最大整数值为.

综上：的最大值为.

22．已知函数在处取得极值0．

(1)求实数，的值；

(2)若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围；

(3)设函数，若，总有成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据极值与极值点的定义列方程组即可求解；

（2）分离参数，将方程解问题转化为直线与曲线交点问题即可求解；

（3）由题意可知，利用导数求的最小值即可求解.

【详解】（1），

由题意可知：，解得.

（2），

由得，

由题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点．

，

时，，时，，

所以在区间上是减函数，在区间上是增函数，

，

又，

∴．

（3）由总有成立可知：

在区间上，

由（2）知在区间上，，

∵，

时，，时，，

∴函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，

∴，所以，

∴ ．

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．