2022-2023学年山西省大同市浑源中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山西省大同市浑源中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接根据交集的定义求解即可.

【详解】因为集合，，所以.

故选：C.

2．设函数，则“”是“在上单调递增”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】运用复合函数单调性求得a的范围，再运用集合的包含关系即可求得结果.

【详解】因为在上单调递增，

所以由复合函数的单调性可知，，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

3．已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数研究分段函数的性质，作出函数图形，数形结合即可求出结果.

【详解】因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；

时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；

作出在上的图象，如图：

由图可知要使有3个不同的实根，则.

故选：D.

4．已知平面向量，满足，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可.

【详解】由知：，可得，

所以在上的投影向量为.

故选：A

5．在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．4

【答案】A

【分析】利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可得.

【详解】由题可知，，

因为，，所以，，

又，所以，

所以，

因为三点共线，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

所以的最小值为.

故选：A

6．三面角是立体几何的重要概念之一.三面角是指由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线之间的平面部分所组成的空间图形.三面角余弦定理告诉我们，若，，，平面与平面所成夹角为，则.现已知三棱锥，，，，，，则当三棱锥的体积最大时，它的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出图形，作，平面，则，先表示出，接着用条件表示成，要使三棱锥的体积最大，则最大，利用基本不等式得出时，其体积最大，然后补全三棱锥成棱柱，根据棱柱外接球半径即可求解.

【详解】由题知，，，，

平面与平面所成夹角为，

作，平面，

则，

由题意得，

，，

，

，

，

所以，

要使三棱锥的体积最大，则最大，

在中，由余弦定理得，

，

整理得，，

，即，

当且仅当时，等号成立，

则，，

，

因为，

解得，

所以，，

即，，，

所以补全三棱锥成棱柱，如下图，

则四边形是菱形，

点为其外接球的球心，即中点，

所以，，

，

所以外接球半径为，

即三棱锥外接球的表面积为.

故选：B

【点睛】三棱锥外接球表面积问题，从以下几个角度分析：

（1）面面角的定义以及辨析；

（2）求解最值时，基本不等式的利用；

（3）几何体割补法的应用；

（4）数形结合思想的应用.

7．已知函数在处取得极大值10，则的值为（    ）

A． B．或2 C．2 D．

【答案】A

【分析】求导，根据题意得到，代入数据解得答案，再验证排除即可.

【详解】，则，

根据题意：，解得或，

当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，故处取得极小值，舍去；

当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，故处取得极大值，满足.

故.

故选：A.

【点睛】本题考查了根据极值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，多解是容易发生的错误.

8．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为

A． B．

C．2 D．

【答案】A

【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．

【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，

又，为以为直径的圆的半径，

为圆心．

，又点在圆上，

，即．

，故选A．

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．

9．若函数的最小值是，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求时函数的最小值，再根据函数的最小值，得时，，求出m的取值范围.

【详解】当时，，，

，，单调递减，

，，单调递增，，

因为的最小值为，所以当时，，

当时，.

①若，在上单调递减，

，，得；

②若，在上单调递减，在上单调递增，，舍去.

综上.

故选：B.

10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M是椭圆C上任意一点，且的取值范围为．当点M不在x轴上时，设的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为（    ）．

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】由的取值范围为可求出，由正弦定理可得，再由焦点三角形的等面积法可得，所以，求出即可得出答案.

【详解】，

，所以，

所以，解得：，

设，

由正弦定理可得：，

，

可得：，

又因为，

设内切圆的圆心为A，所以，

所以，所以，

又因为当在短轴的端点时，最大，此时，，

，所以，

故当时，mn取得最大值为.

故选：C.

11．设随机变量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由结合二项分布概率公式以及方差公式求解即可.

【详解】因为，，所以，即，

解得，即，所以.

故选D.

12．三位同学获得本年度数学竞赛前三名，老师告知他们如下信息：①甲是第三名；②乙不是第一名；③丙不是第三名，并告知他们以上3条信息有且只有1条是正确信息，则该三位同学的数学竞赛成绩从高到低的排序为（   ）

A．甲、乙、丙 B．丙、乙、甲

C．乙、丙、甲 D．乙、甲、丙

【答案】A

【分析】利用反证法，逻辑推理处矛盾.

【详解】若①正确，②③不正确，即甲是第三名，乙是第一名，丙是第三名，则甲丙都是第三名，矛盾；

若②正确，①③不正确，即甲不是第三名，乙不是第一名，丙是第三名，则甲是第一名，乙是第二名，丙是第三名；

若③正确，①②不正确，即甲不是第三名，乙是第一名，丙不是第三名，此时没有人是第三名，不符合题意.

综上，甲是第一名，乙是第二名，丙是第三名.

故选：A.

二、填空题

13．已知具有相关关系的两个变量的一组观测数据如下表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程，则       .

【答案】3

【分析】根据题意计算样本中心点，代入回归方程即可得到答案.

【详解】解：，，

所以样本中心点为：.

因为回归方程，样本中心点在回归方程上，

所以，解得：.

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查根据样本中心点在回归方程上求参数，考查学生的计算能力，属于基础题.

14．有穷等差数列的各项均为正数，若，则的最小值是         .

【答案】/0.75

【分析】利用等差中项易知，再由基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件.

【详解】由，且，

则

，当且仅当时等号成立且满足题设.

故答案为：

15．如图，已知双曲线：与过其焦点的圆相交于，，，四个点，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为       .

【答案】

【分析】根据双曲线与圆的对称性确定关于原点对称，利用直线斜率的坐标运算与坐标关系即可得关系，从而可得双曲线离心率.

【详解】由题可知关于原点对称，所以

又在双曲线上，所以，则，

所以，

即，①

∴由，

连接，可得

可得，②

由①②联立，所以离心率.

故答案为：.

16．设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为          ．

【答案】/

【分析】根据双曲线方程求出、、，再由双曲线的定义求出、，最后由余弦定理计算可得.

【详解】因为双曲线，则，，所以，

因为为双曲线右支上一点，所以，又，

所以，，，

由余弦定理，

即，解得，又，

所以.

故答案为：

三、解答题

17．已知函数.

(1)若，求函数在点处的切线方程；

(2)若函数在处取得极值，求的单调区间.

【答案】(1)

(2)的单调递增区间为，，的单调递减区间为

【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）由可求得实数的值，然后利用导数判断函数的单调性可得答案.

【详解】（1）因为所以，

所以，所以，

又，

所以曲线在点处的切线方程为：；

（2）由函数在处取得极值可知：

，即，解得：，

此时，，，

当，时，，

当时，，

所以符合题意.

综上，的单调递增区间为，，的单调递减区间为.

18．已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，是斜边为的等腰直角三角形．

(1)若时，求证：平面平面；

(2)若时，求直线与平面所成的角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，证明，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答.

（2）作出二面角的平面角并求出其大小，再建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.

【详解】（1）因，，，则有，即有，

又，且，平面，

于是得平面，而平面，

所以平面平面.

（2）在平面内，过B作直线垂直于，交直线于E，有，，如图，

则为二面角的平面角，平面，，于是得，

中，，则，在中，，，，

由余弦定理得，则有，

显然平面平面，在平面内过B作，则平面，

以B为原点，分别以射线为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，

则，，，

设平面的法向量，则，令，得

而，设与平面所成的角为，

所以与平面所成的角的正弦值为.

19．在数列中，，.

(1)证明是等比数列；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据递推关系结合等比数列的定义即得；

（2）根据等比数列的通项公式结合条件可得，然后利用裂项相消法即得.

【详解】（1）由已知可得，

∴，又，，

所以是以2为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）可得，因此，，

所以.

20．根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据：

(1)请利用所给数据求不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；

(2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？

参考数据和公式：，

【答案】(1)；

(2)有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关

【分析】（1）先求得，进而求得不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；

（2）求得的值并与进行大小比较进而得到是否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.

【详解】（1）由题意知， ， ，

  ，

所以，回归直线方程为

（2）

故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关

21．某公司组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：每人从装有质地均匀、大小相同的4个黄球、4个红球的箱子中一次性地随机摸出3个球，若恰有1个红球可获得50元优惠券，恰有2个红球可获得100元优惠券，3个都是红球可获得200元优惠券，其他情况无优惠券.小王参加了公司的抽奖活动.

(1)求小王恰好摸出1个黄球的概率；

(2)设小王获得的优惠券金额为X，求X的分布列与期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据古典概型公式计算求解即可；

（2）分情况写出离散型随机变量的分布列及数学期望即得.

【详解】（1）记事件：小王恰好摸出1个黄球，则.

（2）由题意，得的可能取值为0，50，100，200，

，，

，.

所以X的分布列为

所以.

22．已知.

(1)若，求的极值；

(2)若，，，且，其中，，求证：.

【答案】(1)极大值为；无极小值

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数法求解；

（2）易得在单调递增，再由，两边取对数得到，则有，又，且，，进而转化为证明.

【详解】（1）解：由题：，，

令，解得，列表如图:

故当时，取得极大值，

极大值为；无极小值.

（2）证明：若，则，结论成立；

若，，令，得，当时，，

故在单调递增.

要证，只需证，又，且在单调递增，

故只需证明，

又因为，故只需证明，

由，，

故只需证明：，

令，只需证，

，

在单调递增，. 证毕.

【点睛】思路点睛：本题第二问基本思路是利用在单调递增，将证，转化为进而转化为证，再结合，，得到而得证.