2022-2023学年山西省晋城市第一中学校高二下学期开学考试数学试题含答案

2022-2023学年山西省晋城市第一中学校高二下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知两条直线和相互垂直，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用两条直线垂直的充要条件，建立方程，即可求出a的值.

【详解】两条直线和相互垂直，

则，解得.

故选：D

2．数列满足，，则数列的前项的乘积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】推导出，对任意的，，计算出数列前五项的值，结合数列的周期性可求得数列的前项的乘积.

【详解】数列满足，，则，

，，，，

以此类推可知，对任意的，，且，

又因为，

因此，数列的前项的乘积为

.

故选：B.

3．若函数在处的切线方程为，则（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义得到，再根据导数的定义及极限的运算性质计算可得.

【详解】因为函数在处的切线方程为，

所以，

所以

.

故选：D

4．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分析可知，曲线表示圆的下半圆，作出图形，求出当直线与曲线相切以及直线过点时对应的的值，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】由可得，整理可得，其中，

所以，曲线表示圆的下半圆，如下图所示：

当直线与曲线相切时，由图可知，，

且有，解得，

当直线过点时，则有，

由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点，

故选：B.

5．已知点为抛物线：的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线的方程，代入的方程，设，根据根与系数关系即可得出与的关系，通过抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知，代入即可转化为关于的二元一次方程，即可求解.

【详解】由题意知的方程为，代入的方程，得，

设，则；

因为，且，

所以，整理得，

所以，结合，解得.

故选：C

6．若为圆上任意两点，为直线上一个动点，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由图上易知，当不动时，为两切线角最大，再将的最值问题转化为的最值问题可求.

【详解】

如图，为两切线，为直线上一个点，

所以当为两切线是取等号；

又，故只需求，

,又，

故选：B

7．已知，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设点为直线上的动点，题意可转化成求与的距离和与的距离之和的最小值，求出关于直线的对称点，故，即可求出答案

【详解】设点为直线上的动点，

由可看作与的距离和与的距离之和，

设点则点为点关于直线的对称点，

故，且，

所以，

当且仅当三点共线时，取等号，

所以的最小值为.

故选：C

8．若数列的通项公式分别是，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对分奇数和偶数进行讨论，结合对任意恒成立，即可求得实数的取值范围.

【详解】当为奇数时，由已知，所以，，

因为对任意恒成立，

所以，

所以，

当为偶数时，，

因为对任意恒成立，

所以，

所以，

综上：.

故选：C

二、多选题

9．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用基本函数的导数公式，导数的运算法则逐项计算判断作答.

【详解】对于A，，A不正确；

对于B，，B正确；

对于C，，C不正确；

对于D，，D正确.

故选：BD

10．已知椭圆，若P在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ）

A．若，则 B．面积的最大值为

C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有个

【答案】ABC

【分析】利用余弦定理可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用椭圆的定义可判断C选项；利用平面向量的数量积可判断D选项.

【详解】在椭圆中，，，，且，

对于A选项，当时，则，

由余弦定理可得，

因为，所以，，A对；

对于B选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，

所以，面积的最大值为，B对；

对于C选项，因为，即，

所以，，C对；

对于D选项，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，

当为直角顶点时，设点，则，

，，，

所以，，，此时，满足条件的点有个，

综上所述，满足是直角三角形的点有个，D错.

故选：ABC.

11．已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（    ）

A．若，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为

B．若MN与平面ABCD所成的角为，则N的轨迹为圆

C．若N到直线与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线

D．若与AB所成的角为，则N的轨迹为双曲线

【答案】BCD

【分析】设MN中点为H，DM中点为Q，连接PQ，计算出PQ可知P的轨迹为圆可判断A；根据已知算出DN，可判断B；根据抛物线定义可判断C；以DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，利用向量的夹角公式计算可判断D.

【详解】对于A，设MN中点为H，DM中点为Q，连接HQ，则，且，

如图，若，则所以，，则，所以点H的轨迹是以Q为圆心，半径为的圆，面积，故A错误；

对于B，，，则，所以N的轨迹是以D为圆心，半径为的圆，故B正确；

对于C，点N到直线的距离为BN，所以点N到定点B和直线DC的距离相等，且B点不在直线DC上，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故C正确；

对于D，如图，以DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设，，，，

所以，，，

化简得，即，所以的轨迹为双曲线，故D正确；

故选： BCD.

12．已知数列{an}满足，其中λ∈{－1，0，1}，下列说法正确的是（    ）

A．当λ=0时，数列{an}是等比数列

B．当λ=－1时，数列{（－2）nan}是等差数列

C．当λ=1时，数列是常数列

D．数列{an}总存在最大项.

【答案】ACD

【分析】由等比数列的定义判断A，由等差数列的定义判断BC，由数列的单调性判断D．

【详解】时，，又，所以是首项为，公比为的等比数列，A正确；

时，，，即，

所以数列是等差数列，因此数列不是等差数列，B错；

时，，，是等差数列，又，

所以，，从而是常数，C正确；

由以上讨论知时，最大值是，

时，，，时，，所以数列最大值为；

时，，，即，，有最大项，

D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为      .

【答案】

【分析】利用导数求的几何意义求出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点，结合三角形的面积公式可求得结果.

【详解】对函数求导得，所求切线斜率为，

当时，，切点坐标为，

所以，曲线在处的切线方程为，即，

直线交轴于点，交轴于点，

所以，曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.

故答案为：.

14．已知点为双曲线的左焦点，过点作倾斜角为60°的直线，直线与双曲线有唯一交点，且，则双曲线的方程为                ．

【答案】

【分析】根据题意得，，由，得，代入方程解决即可.

【详解】由题知，

因为点为双曲线的左焦点，过点作倾斜角为60°的直线，直线与双曲线有唯一交点，

所以直线与渐近线平行，

所以，即，

所以双曲线为，

因为，

所以，即，

所以，解得，或（舍去），

所以，

所以双曲线的方程为，

故答案为：.

15．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为      .

【答案】

【分析】先设切点为，利用导数与切线斜率的关系表示出切线方程，再根据切线经过坐标原点，将坐标原点代入切线方程所得方程有2个不同的根，即可求解.

【详解】设切点坐标为：，，

所以切线斜率为，

即切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，

整理得，

又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解，

所以，解得

故答案为：

四、双空题

16．若数列满足，，则           ，           .

【答案】         

【分析】根据，，令，可求得，再由求解.

【详解】因为，，

所以，解得，

又因为，所以，

又因为，所以；

所以，

，

.

故答案为：，

五、解答题

17．设是公比大于0的等比数列，为数列的前n项和．且是一元二次方程的两根．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据和来求得数列的通项公式.

（2）利用错位相减求和法求得.

【详解】（1）由于一元二次方程的两根为和.

由于，所以若，则，与矛盾.

所以，

即，

，

由于，所以，

所以.

（2），

①，

②，

①-②得

，

所以.

18．已知圆和直线.

(1)证明：不论m为何实数，直线l都与圆C相交；

(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程；

(3)已知点在圆C上，求的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）把直线的方程变形后，根据直线恒过定点，得到关于与的二元一次方程组，求出方程组的解即为直线恒过的定点坐标，然后利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离,发现小于圆的半径，得到此点在圆内，故直线与圆恒交于两点；

（2）根据直线与圆相交弦长公式，可确定当圆心到直线的距离最大值时，弦长最小，即直线与垂直时，求得直线方程；

（3）表示圆C上的点到的距离的平方，求其最值即转化为点与圆上的点的距离最大值的平方，结合圆的性质可求．

【详解】（1）证明：因为，

所以，

令解得，所以直线l过定点，

而，即点在圆内部，所以直线l与圆C相交；

（2）解：如图所示，过圆心作于，设所过定点为

由图可知圆心到直线的距离，且，

又直线l被圆C截得的弦长为，故当取最大值时，弦长最小

所以当，即直线时直线被圆C截得的弦长最小时，

又圆心，所以，所以直线l的斜率，

所以直线l的方程为，即.

（3）解：因为，表示圆C上的点到的距离的平方，因为圆心到原点的距离，

所以.

19．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.

(1)求角B的大小；

(2)若，D为边上的一点，，且是的平分线，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据同角三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可；

（2）由，得，结合余弦定理，求出的值即可求得的面积.

【详解】（1），

又，

则，即，

又，则；

（2）由平分，，，

则有：，即，

在中，由余弦定理可得：，

又，则有：，

联立，可得：，

解得：或(舍去)，

故.

20．已知函数.

(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；

(2)若函数在区间内存在极小值，求实数的取值范围.

【答案】(1)最大值为，最小值为

(2)

【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定最值；（2）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定极值点，注意讨论与的大小关系.

【详解】（1）当时，则函数，，

令，解得或，

当时，，当时，，

则函数在上单调递减，函数在上单调递增，

∴在时取得极小值为，且，

故在上的最大值为，最小值为.

（2）∵，则

①当时，，函数单调递增，无极值，不合题意，舍去；

②当时，令，得或，

∴在，上单调递增，在上单调递减，

故函数在时取得极大值，在时取得极小值，

∴；

③当时，令，得或，

∴在和上单调递增，在上单调递减，

故函数在时取得极大值，在时取得极小值，

∴，解得.

综上所述：实数的取值范围是.

21．如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，．

(1)求证：平面；

(2)若点在线段上，直线与直线所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据面面垂直性质可证得平面，则，利用勾股定理可证得，结合，由线面垂直的判定可得结论；

（2）作，垂足为，作，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，根据线线角的向量求法可构造方程求得，利用面面角的向量求法可求得结果.

【详解】（1）四边形为正方形，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面，，

，，；

，，又，平面，

平面.

（2）作，垂足为，作，交于，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

由（1）知：，，，，

，，，

以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，，

设，则，，

，解得：，

，

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

，

即平面与平面夹角的余弦值为.

22．已知椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于P，Q两点，且的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知过点与椭圆E相切的直线分别为，直线与椭圆E相交于A，B两点，与分别交于点M，N，若，求t的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意知，的周长为，又，求得a，c，再由a，b，c的关系得到b，进而得到椭圆的方程；

（2）设过点的直线方程为，联立直线方程和椭圆方程，由求得直线，的方程．由得，结合韦达定理即可得到答案．

【详解】（1）由题意知，的周长为，所以，

又，所以，所以，

所以椭圆E的方程为.

（2）设过点的直线方程为，

联立方程，得，

由，得，

所以直线，的方程分别为．

由，得与的中点重合，从而．

由，可得，

由得，从而，

又由，可得，

又由，可得，

从而．

所以，解得．