2022-2023学年山西省晋城市第一中学校高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年山西省晋城市第一中学校高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ）

A．－4 B．－3 C．4 D．3

【答案】D

【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.

【详解】因为，所以，

当时，，

所以曲线在点处的切线的斜率等于3，

所以直线的斜率等于，

即，解得，

故选:D.

2．已知向量，，若，则（    ）

A．0 B．

C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据平面向量的坐标运算求解.

【详解】由题意可得：，

若，则，解得.

故选：C.

3．天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形ABCD测得一座山的高（如图①），再于山顶T处悬一直径为SP且可以转动的圆环（如图②），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得．由此可以算得地球的半径（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据解直角三角形，结合正弦函数的概念即可求得答案.

【详解】由图可知，,故 ，解得，

故选：A．

4．已知A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有3％，4％，5％的人患了流感．假设这三个地区人口数的比为5∶6∶7∶，现从这三个地区中任意选取一个人，若此人患流感，则此人选自B地区的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用条件概率的定义和公式计算即可.

【详解】设此人患流感为事件M，则％％％．

设此人选自B地区为事件N，则 ；

故选：A.

5．某射手每次射击击中目标的概率固定，他准备进行次射击，设击中目标的次数为X，已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先分析出，求出和，套公式求出.

【详解】某射手每次射击击中目标的概率为.由题意可知：.

因为，所以，解得：.

又，解得：.

所以.

故选：D

6．在九位数123456789中，任意交换两个数字的位置，则交换后任意两个偶数不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定的九位数，求出任意交换两个数字的位置的试验含有的基本事件数，再分类求出偶数不相邻的事件含有的基本事件数即可计算作答.

【详解】交换九位数中的任意两个数字的试验有个基本事件，它们等可能，

由于原九位数的所有偶数字不相邻，因此交换后任意两个偶数不相邻的事件有3类：

交换两个偶数字，有种，交换两个奇数字，有种，1与2或8与9的交换，有2种，

所以交换后任意两个偶数不相邻的概率.

故选：A

7．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设函数，根据题意可判断在上单调递减，再求出，不等式整理得，所以，利用单调性解抽象不等式即可.

【详解】设函数，

所以，因为，

所以，即，所以在上单调递减，因为，

所以，因为，整理得，

所以，因为在上单调递减，所以.

故选：C.

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

8．已知数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用裂项相消法求出，对任意的，不等式恒成立，则恒成立，求出最大值即可得解.

【详解】，

则，

因为，

所以，

因为对任意的，不等式恒成立，

所以，解得或，

所以实数的取值范围是.

故选：C.

二、多选题

9．下列说法中正确的是（    ）

附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值

A．已知离散型随机变量，则

B．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158

C．若，则事件与相互独立

D．根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据的独立性检验可得：变量与独立，这个结论错误的概率不超过0.05

【答案】BC

【分析】A选项，根据二项分布的方差公式和方差的性质进行计算；

B选项，根据百分位数的定义进行计算；

C选项，根据对立事件的概率和事件独立的条件进行判断；

D选项，根据独立性检验的标准进行判断.

【详解】对于A：根据二项分布的方差公式，可得，

∴，∴A错误；

对于B：，根据百分位数的定义，

这组数据的第75百分位数为第8个数158，∴B正确；

对于C：∵，∴，∴，

根据事件独立性的定义可知，事件与相互独立，∴C正确；

对于D：根据的值以及常用的概率值与相应临界值可知，

依据的独立性检验，可得变量与相互独立，

即认为变量与不相互独立，犯错误的概率大于0.05小于0.1，∴D错误．

故选：BC

10．若随机变量X的对数服从正态分布，则称X服从对数正态分布、已知一批零件共2000只，零件的使用小时数Y的对数，则（    ）

（，，若，则，）

A．

B．

C．使用小时数不少于1808的零件约91只

D．使用小时数落在区间内的零件约1637只

【答案】BD

【分析】根据，可得，然后正态分布的原则，逐个分析判断即可.

【详解】因为，所以，

对于A，因为，，

所以，所以A错误，

对于B，因为，，

所以，所以B正确，

对于C，因为，，

所以，

所以使用小时数不少于1808的零件约为只，所以C错误，

对于D，因为

，

所以使用小时数落在区间内的零件约为只，所以D正确，

故选：BD

11．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．是数列中的最大值

D．若，则n最大为4038．

【答案】ABD

【分析】先根据题意可确定，根据可判断A；根据等比数列的性质结合可判断B；根据数列是递减数列，且，判断C；再根据的公式，结合，判断D即可.

【详解】对A，∵，，，且数列为等比数列，

∴，，∴，

因为，∴，故A正确；

对B，∵，∴，故B正确；

对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列，

因为，，所以是数列中的最大项，故C错误；

对D，，因为，，故，，故，即，故n最大为4038，故D正确．

故选：ABD．

12．椭圆：的左右焦点分别为，，过，分别作两条平行的射线，交椭圆C于A，B两点，（A，B均在x轴上方），则（    ）

A．当时，

B．的最小值为3

C．当时，四边形的面积为

D．四边形面积的最大值为3

【答案】ABD

【分析】设直线．把代入椭圆方程得出的一元二次方程，从而得两根和及两根积，由弦长公式得，再根据对称性判断A,B,C选项;写出平行四边形面积，应用导数求得最小值可得出D选项．

【详解】  

设，，：．

联立,得．

由韦达定理有，．

设，，由，得：．

联立,得．

∴，．

而，，

由对称性可知

,

当时，∴，．

,A选项正确;

,

,的最小值为3,B选项正确；

当时，

四边形的面积为,C选项错误.

，且．

四边形为平行四边形,

，

设（），，

∴在上单调递增，

∴．

故的最大值为6，此时． 四边形面积的最大值为3,D选项正确.

故选:ABD.

三、填空题

13．在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为        （结果用数值表示）．

【答案】

【详解】①男女，种；

②男女，种；

③男女，种；

∴一共有种．

故答案为120.

点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；

(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．

14．若，则二项式的展开式中，常数项是      ．

【答案】/

【分析】先由求出的值，再用二项式的展开式的通项可求解.

【详解】因为，所以，解得，

则二项式的展开式的通项公式为，

令，解得,

所以常数项是，

故答案为：

15．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，每次从该口袋中不放回地任取一个球，拿出红球即停止摸球，设拿出的黑球的个数为，则数学期望      ．

【答案】/0.6

【分析】先列出的所有可能取值，分别列出每一个取值对应的事件，即可求出概率，再用期望公式求出数学期望即可.

【详解】由题意得，的可能取值为：0，1，2，3，

因为对应的事件为：第一次拿到红球或第一次拿到白球，第二次拿到红球，不妨记为红或白红，

所以，

因为对应的事件为：黑红或黑白红或白黑红，

所以，

因为对应的事件为：黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红，

所以，

所以，

则，

故答案为：

16．若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为       ．

【答案】

【分析】变换得到，设得到，设，求导得到单调区间，计算最值得到答案.

【详解】，即，

，设，恒成立，函数单调递增，故，

故，设，，故，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

故，故，

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用同构的思想，变换得到是解题的关键.

四、解答题

17．已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．

(1)求角的值；

(2)求面积的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件，用正弦定理进行化简，再结合余弦定理即可得到结果；

（2）由正弦定理，结合三角形的面积公式可得，再结合三角函数的性质即可得到结果.

【详解】（1）由条件，可得，

由正弦定理，得，所以，

所以，因为，所以．

（2）由正弦定理，可知，

，

∵，∴，∴.

18．已知数列满足，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由递推关系，利用累加法求数列的通项公式；

（2）由（1）可得，再根据错位相减法求其前n项和．

【详解】（1）因为，所以，所以，

又，所以，

又当时也适合上式，

所以．

（2）因为，所以，

，①

，②

-②得，

所以，

所以

故．

19．如图，在三棱柱中，平面 .

(1)求证:;

(2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由平面 ，得到，再由，证得，进而证得平面，即可证得.

（2）以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（1）证明: 因为平面 ，平面，所以，

因为， 四边形是平行四边形， 所以四边形是菱形，

所以，

又因为，平面，平面，所以平面，

因为平面， 所以.

（2）解： 因为与平面所成角为平面，所以，

因为， 所以是正三角形，

设， 则，

以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

如图所示，则，

所以 ，

设平面的一个法向量为，则，

取，可得，所以，

设平面的一个法向量为，则，

取，可得，所以，

设二面角的大小为，

因为，

所以，

所以二面角的正弦值为.

20．2022年1月初，某市爆发了一种新型呼吸道传染疾病，该疾病具有较强的传染性，为了尽快控制住该传染病引起的疫情，该市疫情监控机构统计了1月12日到15日每天新增病例的情况，统计数据如表：

(1)已知在1月12日新增的26人病例中有16人年龄在60岁以上，工作人员从这26人中任选2人研究病人的感染情况，若这2人中60岁以上的人数为X，试求X的分布列；

(2)疫情监控机构对题中的统计数据作线性回归分析，可以根据表格中的数据建立y关于x的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(3)根据（2）中的线性回归方程，预测到哪一天新增病例人数将超过36人⋅

附：对于一组组数据，，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

参考数据：．

【答案】(1)分布列见解析

(2)y＝1.4x＋9.6

(3)1月19日新增病例人数将超过36人．

【分析】（1）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列；

（2）由所给数据，利用最小二乘法结论求即可；

（3）根据回归方程预测即可.

【详解】（1）X可能的值为，

，，，

∴X的分布列为

（2），

∴，

∴回归直线方程为y＝1.4x＋9.6；

（3）由，，解得．

所以1月19日新增病例人数将超过36人．

21．如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，定点

【分析】（1）根据椭圆的定义及其离心率即可求出椭圆的方程；

（2）直线与椭圆联立即可求出点的坐标,将与直线联立即可求出点的坐标，

假设存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点M，即可知，对等式变形可得，可得.

【详解】（1）由椭圆的定义可知△，的周长为，即，

∵，∴，

又∵，∴，

故椭圆C的方程为：，

（2）将联立，消元可得，

∵动直线：与椭圆E有且只有一个公共点P，

∴，

∴，

此时，，

∴

由得，

假设在x轴上存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M，

设，则，

，，

整理得，

对任意实数m，k恒成立，则，

故在x轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.

22．已知函数，

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）先求导函数得，分类讨论的值，判断函数单调性即可；

（2）结合（1）知对恒成立，构造函数，知在上恒成立，分离参数求解即可.

【详解】（1），

令，则两根分别为.

1.当时，在恒成立，故的单调递增区间为，无单调递减区间；

2.当时，令得或，令得，

所以单调递增区间为，单调递减区间为；

3.当时，令得或时，令得，

所以单调递增区间为，单调递减区间为.

综上当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由（1）知，若，则，

的在区间单调递增.

又，所以对恒成立

对恒成立，

对恒成立，

令，则在上单调递减，则在上恒成立，

又，且，

在上恒成立，即

令，则

令得，令得，

在上单调递增，在上单调递减，

所以

【点睛】思路点睛：第一问含有参数的单调性需要分类讨论，判定导函数的零点大小确定单调区间，讨论要不漏不重；第二问，对于恒成立问题可以利用分离参数的方法，将问题转化为参数与函数最值的关系即可.