精品解析：山西省阳高县第一中学校2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）

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这是一份精品解析：山西省阳高县第一中学校2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

大同市阳高一中2023学年高二年级第二学期期末测试
数学试题
姓名___________班级___________考号___________
一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合A={x|–11}，则A∪B=
A. （–1，1） B. （1，2） C. （–1，+∞） D. （1，+∞）
【答案】C
【解析】
【分析】根据并集的求法直接求出结果.
【详解】∵ ，
∴ ，
故选C.
【点睛】考查并集的求法，属于基础题.
2. 设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求出解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】等价于，故推不出；
由能推出．
故“”是“”必要不充分条件．
故选B．
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
3. 若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（）
A. （0，] B. （0，） C. [0，] D. [0，）
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数的讨论，根据即可求得结果.
【详解】要满足题意，只需在上恒成立即可.
当时，显然满足题意.
当时，只需，
解得.
综上所述，
故选：.
【点睛】本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.
4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
【答案】C
【解析】
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.

5. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】通过考察函数的定义域和对应关系可得.
【详解】A中，的定义域为，的定义域为R，故A错误；
B中，，B正确；
C中，的定义域为R，的定义域为，故C错误；
D中，的定义域为，由可得的定义域为，D错误.
故选：B
6. 已知复数z满足，则（）
A. 1＋8i B. 1－8i C. －1－8i D. －1＋8i
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得复数z，代入即可得到答案.
【详解】由，得，
故选：C.
7. “圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径，设出球的半径，求出圆柱的体积与球的体积，进而求出圆柱的体积与球的体积之比.
【详解】由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径，
设球的半径为R，
则圆柱的体积为：，
球的体积为，
所以圆柱的体积与球的体积之比为
故选：B
8. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】，列出不等式，求出，从而判断出答案.
【详解】，则要满足，解得：，
因为，但
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
9. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分.从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据.由下表可知其线性回归方程为，则表中的值为（）
月份代码
1
2
3
4
5
碳酸锂价格（万元/）
0.5

1
1.4
1.5

A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
【答案】B
【解析】
【分析】由于线性回归直线一定过样本中心点，所以将样本中心点坐标代入可求得结果.
【详解】由表中数据可得，，
将代入解得.
故选：B.
10. 展开式中的系数为（）
A. 200 B. 210 C. 220 D. 230
【答案】A
【解析】
【分析】根据，再根据二项展开式的通项公式求解中和的项即可
【详解】，又中含的项为，中含的项为，故展开式中含的项为，故展开式中的系数为200
故选：A
11. 导函数的图象如图所示，下列说法正确的个数是（）

①导函数在处有极小值
②函数在处有极大值
③函数在上是减函数
④函数在是增函数
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据导函数图象与原函数的单调性的关系逐项分析可得.
【详解】由的图象可知，故①正确；
在两边，所以在无极值，②错误；
由图象可知，在上先大于0，后小于0，故在上先增后减，③错误；
在上，所以函数在上单调递增，④正确.
故选：B
12. 在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值是（）
A. 4 B. 9 C. 8 D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】
由B，D，C三点共线得到，再利用基本不等式中“1”的替换求得最小值.
【详解】因为点是线段上任意一点（不包含端点），所以，
则，
因为，所以，，所以．因为，
所以，，则，当且仅当，时，等号成立．
故选：B
【点睛】关键点睛：注意当A，B，C三点共线时，若，则必有成立.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数的值域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性，结合定义域，即可得答案.
【详解】因为指数函数在上为单调递减函数，
所以当x=-3时，函数有最大值为，
当x=1时，函数有最小值为.
所以值域为.
故答案为：
14. 定义在上的奇函数满足是偶函数，且当时，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及已知条件，求得的周期性；再根据函数的周期性，结合奇偶性即可求得函数值.
【详解】是定义在上的奇函数，，
函数是定义在上的偶函数，，，可得，则的周期是，；
故答案：.
15. 如图，在中，M为AB的中点，点O满足，，若，则______．

【答案】2
【解析】
【分析】利用向量的线性运算及数量积的运算律可得，进而即得.
【详解】∵，M为AB的中点，
∴，又，，
∴
，
又，
∴，即，
∴.
故答案为：2.
16. 假设云南省40万学生数学模拟考试的成绩近似服从正态分布，已知某学生成绩排名进入全省前9100名，那么该生的数学成绩不会低于____________分.（参考数据：，）
【答案】118
【解析】
【分析】求出从40万名学生任取1名，成绩排名在前9100名的概率，再利用正态分布的对称性求出对应分数作答.
【详解】从40万名学生任取1名，成绩排名在前9100名的概率为，
因为成绩近似服从正态分布，则，，
，
显然，从而数学成绩大于等于118分的人数恰好为，
所以要进入前9100名，成绩不会低于118分.
故答案为：118
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 如图是某企业2016年至2022年的污水净化量（单位：吨）的折线图.
注：年份代码1~7分别对应年份2016~2022.

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的回归方程，并预测2025年该企业的污水净化量；
（2）请用相关指数说明回归方程预报的效果.
参考数据：；
参考公式：线性回归方程；
相关指数：
【答案】（1），58.5吨
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）结合题目数据利用最小二乘法求出线性回归直线方程，代入计算即可；
（2）利用已知数据求出相关指数，利用统计知识说明即可.
【小问1详解】
由折线图中的数据得，，
，
所以，
所以y关于t的线性回归方程为，
将2025年对应的t=10代入得，
所以预测2025年该企业污水净化量约为58.5吨.
【小问2详解】
因为，
所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，说明回归方程预报的效果是良好的.
18. 如图，在四棱锥中，，平面PAB，且，F为PC中点．

（1）求证：平面PAB；
（2）求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取边的中点，连接，，由三角形的中位线定理和平行四边形的判定，可得四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，即可得证；
（2）过点作于点，即可得到平面，再根据，可得到平面的距离即为，求出、，再根据锐角三角函数计算可得；
【小问1详解】
证明：如图，取边的中点，连接，，
则三角形中位线可知，且，
由题可知，且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
故平面；
【小问2详解】
解：过点作于点，
因为平面，平面，
所以，因为，所以平面，
又，所以到平面的距离即为，
又，，
所以直线与平面所成角为，所以；

19. 为加强素质教育，提升学生综合素养，立德中学为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课.为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表：
（1）补全列联表；

选书法
选剪纸
共计
男生
40

50
女生

共计

30

（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？
参考附表：

0.100
0.050
0.025

2.706
3.841
5.024
参考公式：，其中.
【答案】（1）列联表见解析
（2）能
【解析】
【分析】（1）根据所给的数据补全列联表即可；
（2）计算卡方，再对比表中数据进行独立性检验即可
【小问1详解】
根据题意补全列联表，如下：

选书法
选剪纸
共计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
共计
70
30
100
【小问2详解】零假设为：选择“书法”或“剪纸”与性别无关.
根据列联表中数据，得，
根据小概率独立性检验，推断不成立，即有95%的把握认为选“书法”或“剪纸”与性别有关.
20. 设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%．现从这批工件中任取一件．
（1）求取到次品的概率；
（2）已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．（精确到0.01）
【答案】（1）0.0345；
（2）0.36.
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，即可求解；
（2）根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.
【小问1详解】
设事件，，分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取到的是次品.
易知，，两两互斥，根据全概率公式，
可得．
故取到次品的概率为0.0345．
【小问2详解】
．
故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.36．
21. 已知函数（），（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，函数、满足下面两个条件：①方程有唯一实数解；②直线（）与两条曲线和有四个不同的交点，从左到右依次为，，，.问是否存在1，2，3，4的一个排列，，，，使得？如果存在，请给出证明；如果不存在，说明理由.
【答案】（1）答案见解析
（2）存在，证明见解析
【解析】
【分析】（1）分类讨论参数的取值范围，利用导数求解函数的单调性即可；
（2）利用导数求解函数、的单调性，进而求解函数、的最值，结合已知条件①、②画出函数，的简图，可得，进而得到，，即可证明.
【小问1详解】
解：由题可知，，
当时，，函数在上单调递减；
当时，对于，，函数单调递减；，，函数单调递增；
【小问2详解】
解：由，，当时，；当时，，
又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，；
由，知当时，；当，，
又，可知上单调递减，在上单调递增，，
令，即当时，；当时，，
结合条件①中方程有唯一实数解，知：
当时，，当时，，
综上，画出函数，的简图：

其中，，，，，
则，，
即，得，，
因为，由，，得，
因为，由，，因此，
所以，，
所以存在满足条件的一个排列，如，，，，使.
22. 已知函数，当时，，当时，.
求的解析式；
若不等式的解集为，求的取值范围；
当时，求的最大值.
【答案】（1）（2）（3）最大值为.
【解析】
【详解】试题分析：（１）由已知条件有是方程的两根，由韦达定理求出的值，得到解析式；（２）依题意，是开口向下的抛物线，且，求出的范围；（３）当，有，由基本不等式求出最大值．
试题解析：（1）由当时，，当时，得-3，2是方程的两实根，所以，解得，所以
（2）由（1）知不等式化为，其解集为R，所以，即25，所以，的取值范围为
（3）=，
因为，所以，，当且仅当，即取等号，所以的最大值为.
点睛：本题主要考查了“三个二次”之间的关系，属于中档题．在（１）中，依题意，转化为一元二次方程的根的问题，在（２）中，将一元二次不等式转化为一元二次函数开口方向，根的个数问题，在（３）中，应用基本不等式求函数的最大值．

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