高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课后作业题

备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）专题05 基本不等式（核心考点精讲精练）

1. 4年真题考点分布

2. 命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易上手学习，但高考常作为压轴题考查，难度较难，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”

2.能正确处理常数“1”求最值           

3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值

            4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用与函数和解析几何的求解过程中求最值

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。

知识讲解

1. 基本不等式

，当且仅当时取等号

其中叫做正数，的算术平均数，

叫做正数，的几何平均数

通常表达为：（积定和最小）

应用条件：“一正，二定，三相等”

（1）基本不等式的推论1

（和定积最大）

当且仅当时取等号

（2）基本不等式的推论2

当且仅当时取等号

（3）其他结论

①＋≥2(ab＞0)．

②≤≤≤ (a＞0，b＞0)．

③已知a，b，x，y为正实数，

若ax＋by＝1，则有＋＝＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.

若＋＝1，则有x＋y＝＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.

注意1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

注意2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．

注意3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．

考点一、直接用基本不等式求最值

1．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知实数，则的最小值为___________.

2．（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）的最小值为______.

1．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．

2．（2023·浙江台州·统考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为_____________.

考点二、巧用“1”或常数关系求最值

1．（2023·湖北·统考二模）若正数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．

2．（2023·湖南邵阳·统考二模）若，，，则的最小值为______．

1．（2023·重庆·统考一模）已知，则的最小值是___________.

2．（2023·山西晋中·统考三模）设且，则的最小值为_________．

3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知，且，则的最小值为______．

4．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）若，且，则的最小值为（    ）

A．9 B．3 C．1 D．

考点三、变形为分式的“分母”形式求最值

1．2023·浙江·校联考模拟预测）已知，则的最小值为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

2．（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知，则的最小值是（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知都是正数，且，则的最小值为__________．

2．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知，若的最小值大于7，写出满足条件的一个a的值：__________．

3．（2023·河北邯郸·统考一模）已知，，且，则的最小值是（    ）

A．2 B．4 C． D．9

4．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数，且，则的最小值为___________.

考点四、两次应用基本不等式求最值

1．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数，满足，则当取得最小值时，的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

1．（2023·吉林长春·统考模拟预测）若，，则的最小值为___________.

2．（2023·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

考点五、条件等式变形求最值

1.（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（    ）

A． B．

C． D．

2．（2020年新高考全国II卷数学真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A． B．

C． D．

3．（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知，，若，则的最小值为_____________.

2．（2023·安徽马鞍山·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ）

A．6 B． C． D．

1．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ）

A．2 B．1 C． D．

2．（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）若，则的最小值是___________.

3．（2023·全国·模拟预测）已知a，b，c均为正数，且满足，则的最小值为______．

考点六、构造法或换元法求最值

1．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ）

A． B．2 C．6 D．

2．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为______．

1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．

2．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为___________.

3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）若，，则的最大值为____________．

考点七、利用基本不等式判断或证明不等式关系

1．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（    ）

A． B．

C． D．

1．（多选）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

2．（多选）（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

考点八、基本不等式的实际应用问题

1．（2023·江苏常州·校考一模）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ）

A．甲更合算 B．乙更合算

C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算

1．（2023·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）．

A． B．

C． D．

2．（多选）（2023·安徽淮北·统考二模）设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

考点九、基本不等式多选题综合

1．（2023·全国·模拟预测）已知为实数，且，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正实数a，b满足，则（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·辽宁·校联考模拟预测）设均为正数，且，则（    ）

A． B．当时，可能成立

C． D．

3．（2023·江苏·二模）已知，，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【基础过关】

1．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（   ）

A．12 B．25 C．27 D．36

3．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

4．（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）已知正实数，则“”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

二、多选题

5．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

7．（2023·湖南邵阳·统考三模）,则下列命题中，正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

三、填空题

8．（2023·吉林延边·统考二模）设，，若，则取最小值时a的值为______．

9．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知a，b为两个正实数，且，则的最大值为__________．

10．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知非负数满足，则的最小值是___________.

【能力提升】

1．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．9

2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ）

A．2 B．1 C． D．

二、多选题

3．（2023·山东济宁·统考二模）已知，且，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）若，且，则（    ）

A． B．

C． D．

5．（2023·山东烟台·统考三模）已知且，则（    ）

A．的最大值为 B．的最大值为2

C．的最小值为6 D．的最小值为4

三、填空题

6．（2023·山东济南·统考三模）已知正数满足，则的最小值为___________.

7．（2023·山东·校联考模拟预测）设，则的最小值为______.

8．（2023·辽宁辽阳·统考二模）若，则的值可以是__________．

9．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，，则的最小值为________．

10．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知，且，则的最小值为___________.

【真题感知】

1．（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A．13 B．12 C．9 D．6

2．（2020·全国·统考高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

二、填空题

3．（2021·天津·统考高考真题）若，则的最小值为____________．

4．（2020·江苏·统考高考真题）已知，则的最小值是_______．

5．（2020·天津·统考高考真题）已知，且，则的最小值为_________．

三、解答题

6．（2020·山东·统考高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

7．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)若，求B；

(2)求的最小值．

8．（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．

(1)求的方程；

(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．